Una red sin escala es una red cuya distribución de grados sigue una ley de potencia , al menos asintóticamente. Es decir, la fracción P ( k ) de nodos en la red que tienen k conexiones a otros nodos va para valores grandes de k como
dónde es un parámetro cuyo valor suele estar en el rango 2 < <3 (donde el segundo momento ( parámetro de escala )es infinito pero el primer momento es finito), aunque ocasionalmente puede estar fuera de estos límites. [1] [2]
Se ha informado que muchas redes no tienen escala, aunque el análisis estadístico ha refutado muchas de estas afirmaciones y cuestionado seriamente otras. [3] [4] Además, algunos han argumentado que saber si una distribución de grados es de cola ancha es más importante que saber si una red está libre de escala de acuerdo con definiciones estadísticamente rigurosas. [5] [6] El apego preferencial y el modelo de aptitud se han propuesto como mecanismos para explicar las distribuciones de grados de la ley de potencias conjeturadas en redes reales. Los modelos alternativos como el apego preferencial superlineal y el apego preferencial de segundo vecino pueden parecer que generan redes transitorias sin escala, pero la distribución de grados se desvía de una ley de potencia a medida que las redes se vuelven muy grandes. [7] [8]
Historia
En estudios de las redes de citas entre artículos científicos, Derek de Solla Price mostró en 1965 que el número de enlaces a artículos, es decir, el número de citas que reciben, tenía una distribución de cola pesada siguiendo una distribución de Pareto o ley de potencia , y por lo tanto, la red de citas está libre de escala. Sin embargo, no utilizó el término "red sin escala", que no se acuñó hasta algunas décadas más tarde. En un artículo posterior en 1976, Price también propuso un mecanismo para explicar la ocurrencia de leyes de poder en las redes de citas, que llamó "ventaja acumulativa" pero que hoy se conoce más comúnmente con el nombre de apego preferencial .
El interés reciente en las redes libres de escala comenzó en 1999 con el trabajo de Albert-László Barabási y sus colegas de la Universidad de Notre Dame, quienes mapearon la topología de una porción de la World Wide Web, [9] encontrando que algunos nodos, a los que llamaron " hubs ", tenían muchas más conexiones que otras y que la red en su conjunto tenía una distribución de ley de potencia del número de enlaces que se conectaban a un nodo. Después de descubrir que algunas otras redes, incluidas algunas redes sociales y biológicas, también tenían distribuciones de grados de cola pesada, Barabási y sus colaboradores acuñaron el término "red sin escala" para describir la clase de redes que exhiben una distribución de grados de ley de potencia. Sin embargo, al estudiar siete ejemplos de redes en sistemas sociales, económicos, tecnológicos, biológicos y físicos, Amaral et al. no pudieron encontrar una red sin escala entre estos siete ejemplos. Solo uno de estos ejemplos, la red de actores de películas, tenía una distribución de grados P ( k ) siguiendo un régimen de ley de potencia para k moderado , aunque finalmente este régimen de ley de potencia fue seguido por un corte brusco que mostraba un decaimiento exponencial para k grande . [10]
Barabási y Réka Albert propusieron un mecanismo generativo para explicar la aparición de distribuciones de ley de potencia, que llamaron " apego preferencial " y que es esencialmente el mismo propuesto por Price. Las soluciones analíticas para este mecanismo (también similar a la solución de Price) fueron presentadas en 2000 por Dorogovtsev, Mendes y Samukhin [11] e independientemente por Krapivsky, Redner y Leyvraz, y luego rigurosamente probadas por el matemático Béla Bollobás . [12] Notablemente, sin embargo, este mecanismo solo produce un subconjunto específico de redes en la clase libre de escala, y desde entonces se han descubierto muchos mecanismos alternativos. [13]
La historia de las redes sin escala también incluye algunos desacuerdos. A nivel empírico, se ha cuestionado la naturaleza libre de escala de varias redes. Por ejemplo, los tres hermanos Faloutsos creían que Internet tenía una distribución de títulos de derecho de la energía sobre la base de datos de traceroute ; sin embargo, se ha sugerido que se trata de una ilusión de capa 3 creada por enrutadores, que aparecen como nodos de alto grado mientras ocultan la estructura interna de capa 2 de los AS que interconectan. [14]
A nivel teórico, se han propuesto refinamientos a la definición abstracta de libre de escala. Por ejemplo, Li et al. (2005) ofrecieron recientemente una "métrica sin escala" potencialmente más precisa. Brevemente, sea G una gráfica con un conjunto de aristas E , y denote el grado de un vértice (es decir, el número de aristas incidentes a ) por . Definir
Esto se maximiza cuando los nodos de alto grado están conectados a otros nodos de alto grado. Ahora define
donde s max es el valor máximo de s ( H ) para H en el conjunto de todos los gráficos con grado de distribución idéntica a la de G . Esto da una métrica entre 0 y 1, donde un gráfico G con S ( G ) pequeño es "rico en escala", y un gráfico G con S ( G ) cercano a 1 es "libre de escala". Esta definición captura la noción de auto-similitud implícita en el nombre "sin escamas".
Descripción general
Hay dos componentes principales que explican el surgimiento de la propiedad libre de escala en redes complejas: el crecimiento y el apego preferencial. [15] Por "crecimiento" se denomina proceso de crecimiento en el que, durante un período prolongado de tiempo, nuevos nodos se unen a un sistema ya existente, una red (como la World Wide Web, que ha crecido en miles de millones de páginas web durante 10 años). Finalmente, por "adjunto preferencial" se denomina un nuevo nodo entrante que prefiere conectarse a otro nodo que ya tiene un cierto número de enlaces con otros. Por lo tanto, hay una mayor probabilidad de que más y más nodos se enlace a sí mismos para que uno que tiene ya muchos enlaces, lo que lleva este nodo a un concentrador en-fino . [9] Dependiendo de la red, los concentradores pueden ser clasificatorios o desasortativos. La asociatividad se encontraría en las redes sociales en las que las personas famosas / bien conectadas tenderían a conocerse mejor entre sí. La desasortatividad se encontraría en redes tecnológicas (Internet, World Wide Web) y biológicas (interacción de proteínas, metabolismo). [15]
Caracteristicas
La característica más notable de una red sin escala es la relativa frecuencia de vértices con un grado que supera con creces el promedio. Los nodos de mayor grado a menudo se denominan "concentradores" y se cree que sirven para fines específicos en sus redes, aunque esto depende en gran medida del dominio.
Filtración
La propiedad libre de escala se correlaciona fuertemente con la solidez de la red ante fallas. Resulta que los centros principales son seguidos de cerca por los más pequeños. Estos concentradores más pequeños, a su vez, son seguidos por otros nodos con un grado aún menor y así sucesivamente. Esta jerarquía permite un comportamiento tolerante a fallas . Si las fallas ocurren al azar y la gran mayoría de los nodos son aquellos con un grado pequeño, la probabilidad de que un concentrador se vea afectado es casi insignificante. Incluso si se produce una falla en el concentrador, la red generalmente no perderá su conexión debido a los concentradores restantes. Por otro lado, si elegimos algunos concentradores principales y los sacamos de la red, la red se convierte en un conjunto de gráficos bastante aislados. Por lo tanto, los hubs son tanto una fortaleza como una debilidad de las redes sin escala. Estas propiedades han sido estudiadas analíticamente utilizando la teoría de la percolación por Cohen et al [16] [17] y por Callaway et al. [18] Cohen et al [19] demostró que para una amplia gama de redes libres de escala, para el umbral de percolación crítico, . Esto significa que eliminar aleatoriamente cualquier fracción de nodos de la red no destruirá la red. Esto contrasta con el gráfico de Erdős-Rényi donde, dónde es el grado medio. Los fallos discutidos anteriormente son aleatorios, como suele suponerse en la teoría de la percolación. Sin embargo, al generalizar la percolación también a ataques no aleatorios pero dirigidos, por ejemplo, en los nodos de mayor grado, los resultados, como, cambiar significativamente. [17] [18] Recientemente, se ha desarrollado un nuevo tipo de fallas en las redes, llamados ataques localizados. [20] En este caso, uno elige aleatoriamente un nodo y elimina sus vecinos y los siguientes vecinos más cercanos hasta que se elimina una fracción de 1-p nodos. Los ataques localizados hacen que la red sin escala sea más vulnerable en comparación con los ataques aleatorios y. Los exponentes críticos de la filtración en las redes libres de escala son diferentes de las redes Erdős-Rényi aleatorias. ^ [16a] Por lo tanto, las redes libres de escala están en una clase de universalidad diferente de las redes Erdős-Rényi. [21]
Agrupación
Otra característica importante de las redes sin escala es la distribución del coeficiente de agrupamiento , que disminuye a medida que aumenta el grado del nodo. Esta distribución también sigue una ley de potencia. Esto implica que los nodos de bajo grado pertenecen a subgráficos muy densos y esos subgráficos están conectados entre sí a través de hubs. Considere una red social en la que los nodos son personas y los enlaces son relaciones de conocimiento entre personas. Es fácil ver que las personas tienden a formar comunidades, es decir, grupos pequeños en los que todos conocen a todos (se puede pensar en esa comunidad como un gráfico completo ). Además, los miembros de una comunidad también tienen algunas relaciones conocidas con personas fuera de esa comunidad. Algunas personas, sin embargo, están conectadas con un gran número de comunidades (por ejemplo, celebridades, políticos). Esas personas pueden considerarse los centros responsables del fenómeno del mundo pequeño .
En la actualidad, las características más específicas de las redes libres de escala varían con el mecanismo generativo utilizado para crearlas. Por ejemplo, las redes generadas por la vinculación preferencial suelen colocar los vértices de alto grado en el medio de la red, conectándolos entre sí para formar un núcleo, con nodos progresivamente de menor grado que forman las regiones entre el núcleo y la periferia. La eliminación aleatoria de incluso una gran fracción de vértices afecta muy poco la conectividad general de la red, lo que sugiere que tales topologías podrían ser útiles para la seguridad , mientras que los ataques dirigidos destruyen la conectividad muy rápidamente. Otras redes libres de escala, que colocan los vértices de alto grado en la periferia, no exhiben estas propiedades. De manera similar, el coeficiente de agrupamiento de redes sin escala puede variar significativamente según otros detalles topológicos.
Distancia en redes libres de escala
Otra característica se refiere a la distancia media entre dos vértices en una red. Como ocurre con la mayoría de las redes desordenadas, como el modelo de red de mundo pequeño , esta distancia es muy pequeña en relación con una red muy ordenada, como un gráfico de celosía . En particular, un gráfico de ley de potencias no correlacionado que tenga 2 <γ <3 tendrá un diámetro ultrapequeño d ~ ln ln N donde N es el número de nodos en la red, como lo demostraron Cohen y Havlin. [22] Por lo tanto, el diámetro de una red sin escala en crecimiento podría considerarse casi constante en la práctica.
Inmunización
Se ha estudiado ampliamente la cuestión de cómo inmunizar de manera eficiente las redes libres a escala que representan redes realistas como Internet y las redes sociales. Una de esas estrategias es inmunizar los nodos de mayor grado, es decir, ataques dirigidos (intencionales) [16] [17] ya que para este caso pes relativamente alto y se necesitan menos ganglios para inmunizar. Sin embargo, en muchos casos realistas, la estructura global no está disponible y no se conocen los nodos de grado más grandes. Para tales casos, se ha desarrollado el método de inmunización de conocidos. [23] En este caso, que es bastante eficiente, uno elige nodos al azar pero inmuniza a sus vecinos. Otro método, aún más eficaz, se basa en el método de partición de gráficos [24] .
Las propiedades del gráfico aleatorio pueden cambiar o permanecer invariantes bajo transformaciones de gráficos. Mashaghi A. et al., Por ejemplo, demostraron que una transformación que convierte gráficos aleatorios en sus gráficos de borde dual (o gráficos de líneas) produce un conjunto de gráficos con casi la misma distribución de grados, pero con correlaciones de grados y una agrupación significativamente mayor. coeficiente. Los gráficos sin escala, como tales, permanecen libres de escala bajo tales transformaciones. [25]
Ejemplos de
Aunque se cree que muchas redes del mundo real no tienen escala, la evidencia a menudo no es concluyente, principalmente debido a la creciente conciencia de las técnicas de análisis de datos más rigurosas. [3] Como tal, la naturaleza libre de escala de muchas redes todavía está siendo debatida por la comunidad científica. Algunos ejemplos de redes que se afirma que no tienen escala son:
- Algunas redes sociales , incluidas las redes de colaboración. Dos ejemplos que se han estudiado ampliamente son la colaboración de actores cinematográficos en películas y la coautoría de los matemáticos de los trabajos .
- Muchos tipos de redes informáticas , incluido Internet y el webgraph de la World Wide Web .
- Gráficos de dependencia de software, [26] algunos de ellos se describen con un modelo generativo. [27]
- Algunas redes financieras, como las redes de pago interbancarias [28] [29]
- Redes de interacción proteína-proteína .
- Redes semánticas . [30]
- Redes de aerolíneas.
También se ha encontrado topología libre de incrustaciones en superconductores de alta temperatura. [31] Las cualidades de un superconductor de alta temperatura, un compuesto en el que los electrones obedecen las leyes de la física cuántica y fluyen en perfecta sincronía, sin fricción, parecen vinculadas a las disposiciones fractales de átomos de oxígeno aparentemente aleatorios y la distorsión de la red. [32]
Recientemente se ha propuesto una estructura celular que llena el espacio, una red estocástica plana ponderada (WPSL), cuya distribución del número de coordinación sigue una ley de potencias. Implica que la celosía tiene unos pocos bloques que tienen un número asombrosamente grande de vecinos con los que comparten fronteras comunes. Su construcción comienza con un iniciador, digamos un cuadrado de área unitaria, y un generador que lo divide al azar en cuatro bloques. A partir de entonces, el generador se aplica secuencialmente una y otra vez a solo uno de los bloques disponibles seleccionados preferentemente con respecto a sus áreas. Da como resultado la división del cuadrado en bloques rectangulares cada vez más pequeños, mutuamente excluyentes. El dual del WPSL (DWPSL) se obtiene reemplazando cada bloque con un nodo en su centro y el borde común entre bloques con un borde que une los dos vértices correspondientes surge como una red cuya distribución de grados sigue una ley de potencias. [33] [34] La razón de esto es que crece siguiendo la regla del modelo de apego impulsado por la mediación que también encarna la regla de apego preferencial pero disfrazada.
Modelos generativos
Las redes libres de escala no surgen solo por casualidad. Erdős y Rényi (1960) estudiaron un modelo de crecimiento para gráficos en el que, en cada paso, se eligen dos nodos uniformemente al azar y se inserta un vínculo entre ellos. Las propiedades de estos gráficos aleatorios son diferentes de las propiedades que se encuentran en las redes sin escala y, por lo tanto, se necesita un modelo para este proceso de crecimiento.
El modelo generativo más conocido para un subconjunto de redes libres de escala es el modelo generativo rico se vuelve más rico de Barabási y Albert (1999) en el que cada nueva página web crea enlaces a páginas web existentes con una distribución de probabilidad que no es uniforme, sino proporcional a el grado actual de las páginas web. Este modelo fue inventado originalmente por Derek J. de Solla Price en 1965 bajo el término ventaja acumulativa , pero no alcanzó popularidad hasta que Barabási redescubrió los resultados con su nombre actual ( Modelo BA ). De acuerdo con este proceso, una página con muchos in-links atraerá más in-links que una página normal. Esto genera una ley de potencias, pero el gráfico resultante difiere del gráfico web real en otras propiedades, como la presencia de pequeñas comunidades estrechamente conectadas. Se han propuesto y estudiado modelos y características de red más generales. Por ejemplo, Pachon et al. (2018) propuso una variante del modelo generativo rico se hace rico que tiene en cuenta dos reglas de apego diferentes: un mecanismo de apego preferencial y una elección uniforme solo para los nodos más recientes. [35] Véase una reseña en el libro de Dorogovtsev y Mendes . [ cita requerida ] Algunos mecanismos como el apego preferencial superlineal y el apego del segundo vecino generan redes que son transitoriamente libres de escala, pero que se desvían de una ley de poder a medida que las redes crecen. [7] [8]
Pennock et al. Han sugerido un modelo generativo algo diferente para los enlaces web. (2002). Examinaron comunidades con intereses en un tema específico, como las páginas de inicio de universidades, empresas públicas, periódicos o científicos, y descartaron los principales ejes de la Web. En este caso, la distribución de enlaces ya no era una ley de potencia, sino que se parecía a una distribución normal . Con base en estas observaciones, los autores propusieron un modelo generativo que mezcla el apego preferencial con una probabilidad de referencia de obtener un vínculo.
Otro modelo generativo es el modelo de copia estudiado por Kumar et al. [36] (2000), en el que los nuevos nodos eligen un nodo existente al azar y copian una fracción de los enlaces del nodo existente. Esto también genera una ley de potencia.
El crecimiento de las redes (agregando nuevos nodos) no es una condición necesaria para crear una red sin escala. Una posibilidad (Caldarelli et al. 2002) es considerar la estructura como estática y trazar un vínculo entre vértices de acuerdo con una propiedad particular de los dos vértices involucrados. Una vez especificada la distribución estadística para estas propiedades de vértice (aptitud), resulta que en algunas circunstancias también las redes estáticas desarrollan propiedades libres de escala.
Modelo sin escala generalizado
Ha habido una explosión de actividad en el modelado de redes complejas libres de escala . La receta de Barabási y Albert [37] ha sido seguida por varias variaciones y generalizaciones [38] [39] [40] [41] [35] y la renovación de trabajos matemáticos anteriores. [42] Siempre que haya una distribución de la ley de potencia en un modelo, es una red sin escala, y un modelo de esa red es un modelo sin escala.
Características
Muchas redes reales están (aproximadamente) libres de escala y, por lo tanto, requieren modelos libres de escala para describirlas. En el esquema de Price, se necesitan dos ingredientes para construir un modelo sin escala:
1. Agregar o eliminar nodos . Por lo general, nos concentramos en hacer crecer la red, es decir, agregar nodos.
2. Apego preferencial : la probabilidad que los nuevos nodos se conectarán al nodo "antiguo".
Tenga en cuenta que los modelos Fitness (ver más abajo) también podrían funcionar de forma estática, sin cambiar el número de nodos. También debe tenerse en cuenta que el hecho de que los modelos de "apego preferencial" den lugar a redes sin escala no prueba que este sea el mecanismo subyacente a la evolución de las redes sin escala del mundo real, ya que podrían existir diferentes mecanismos en funcionan en sistemas del mundo real que, sin embargo, dan lugar a escalas.
Ejemplos de
Ha habido varios intentos de generar propiedades de red sin escala. Aquí hay unos ejemplos:
El modelo Barabási-Albert
El modelo Barabási-Albert , una versión no dirigida del modelo de precios tiene un vínculo preferencial lineal y agrega un nuevo nodo en cada paso de tiempo.
(Nota, otra característica general de en redes reales es que , es decir, existe una probabilidad distinta de cero de que un nuevo nodo se una a un nodo aislado. Así en general tiene la forma , dónde es el atractivo inicial del nodo).
Modelo de red de dos niveles
Dangalchev [43] construye un modelo de 2 L considerando la importancia de cada uno de los vecinos de un nodo objetivo en el apego preferencial. El atractivo de un nodo en el modelo 2-L depende no solo del número de nodos vinculados a él, sino también del número de enlaces en cada uno de estos nodos.
donde C es un coeficiente entre 0 y 1.
Una variante del modelo 2-L, el modelo k2, donde el primer y segundo nodos vecinos contribuyen igualmente al atractivo de un nodo objetivo, demuestra la aparición de redes transitorias sin escala. [8] En el modelo k2, la distribución de grados parece aproximadamente libre de escala siempre que la red sea relativamente pequeña, pero surgen desviaciones significativas del régimen libre de escala a medida que la red crece. Esto da como resultado el atractivo relativo de los nodos con diferentes grados que cambian con el tiempo, una característica que también se observa en las redes reales.
Modelo de apego impulsado por mediación (MDA)
En el modelo de adjunto impulsado por mediación (MDA) , un nuevo nodo viene con bordes elige un nodo conectado existente al azar y luego se conecta, no con ese, sino con de sus vecinos, también elegidos al azar. La probabilidad que el nodo del nodo existente elegido es
El factor es la inversa de la media armónica (IHM) de grados de la vecinos de un nodo . Una extensa investigación numérica sugiere que durante aproximadamente el valor IHM medio en el gran El límite se convierte en una constante que significa . Implica que cuanto más altos son los enlaces (grado) que tiene un nodo, mayor es su probabilidad de obtener más enlaces, ya que se puede llegar a ellos en un mayor número de formas a través de mediadores, que esencialmente encarna la idea intuitiva del mecanismo de rico se vuelve más rico (o el mecanismo preferencial). regla de apego del modelo Barabasi-Albert). Por lo tanto, se puede ver que la red MDA sigue la regla PA pero disfrazada. [44]
Sin embargo, para describe que el ganador se lo lleva todo, ya que encontramos que casi del total de nodos tiene grado uno y uno es súper rico en grados. Como el valor aumenta la disparidad entre los superricos y los pobres disminuye y a medida que Nos encontramos con un mecanismo de transición de rico se vuelve súper rico a rico se vuelve más rico.
Accesorio preferencial no lineal
El modelo de Barabási-Albert asume que la probabilidad que un nodo se une al nodo es proporcional al grado de nodo . Esta suposición involucra dos hipótesis: primero, que depende de , en contraste con los gráficos aleatorios en los que , y segundo, que la forma funcional de es lineal en . La forma precisa de no es necesariamente lineal, y estudios recientes han demostrado que la distribución de grados depende en gran medida de
Krapivsky, Redner y Leyvraz [40] demuestran que la naturaleza libre de escala de la red se destruye por el apego preferencial no lineal. El único caso en el que la topología de la red está libre de escala es aquél en el que la conexión preferencial es asintóticamente lineal, es decir como . En este caso, la ecuación de la tasa conduce a
De esta forma, el exponente de la distribución de grados se puede ajustar a cualquier valor entre 2 y .
Modelo de red jerárquica
Los modelos de red jerárquica son, por diseño, libres de escala y tienen una alta agrupación de nodos. [45]
La construcción iterativa conduce a una red jerárquica. A partir de un clúster de cinco nodos completamente conectado, creamos cuatro réplicas idénticas que conectan los nodos periféricos de cada clúster al nodo central del clúster original. De esto, obtenemos una red de 25 nodos ( N = 25). Repitiendo el mismo proceso, podemos crear cuatro réplicas más del clúster original, los cuatro nodos periféricos de cada uno se conectan al nodo central de los nodos creados en el primer paso. Esto da N = 125 y el proceso puede continuar indefinidamente.
Modelo de fitness
La idea es que el vínculo entre dos vértices no se asigna al azar con una probabilidad p igual para todos los dos vértices. Más bien, para cada vértice j hay una intrínseca aptitud x j y un enlace entre vértice i y j se crea con una probabilidad. [46] En el caso de World Trade Web es posible reconstruir todas las propiedades utilizando como aptitud del país su PIB, y tomando
- [47]
Gráficos geométricos hiperbólicos
Suponiendo que una red tiene una geometría hiperbólica subyacente, se puede utilizar el marco de las redes espaciales para generar distribuciones de grados sin escala. Esta distribución de grados heterogénea simplemente refleja la curvatura negativa y las propiedades métricas de la geometría hiperbólica subyacente. [48]
Transformación dual de bordes para generar gráficos sin escala con las propiedades deseadas
Comenzando con gráficos sin escala con correlación de bajo grado y coeficiente de agrupamiento, se pueden generar nuevos gráficos con correlaciones de grado y coeficientes de agrupamiento mucho más altos aplicando transformación de borde-dual. [25]
Modelo de unión preferencial uniforme (modelo UPA)
El modelo UPA es una variante del modelo de apego preferencial (propuesto por Pachon et al.) Que tiene en cuenta dos reglas de apego diferentes: un mecanismo de apego preferencial (con probabilidad 1 − p) que enfatiza el sistema de ricos se hacen más ricos, y una elección uniforme (con probabilidad p) para los nodos más recientes. Esta modificación es interesante para estudiar la robustez del comportamiento libre de escala de la distribución de grados. Está comprobado analíticamente que se conserva la distribución de grados asintóticamente de la ley de potencias. [35]
Redes ideales sin escala
En el contexto de la teoría de redes, una red ideal sin escala es una red aleatoria con una distribución de grados que sigue la distribución de densidad de gas ideal sin escala . Estas redes pueden reproducir distribuciones de tamaño de ciudad y resultados electorales al desentrañar la distribución de tamaño de los grupos sociales con la teoría de la información en redes complejas cuando se aplica un proceso de crecimiento de clúster competitivo a la red. [49] [50] En modelos de redes ideales sin escala es posible demostrar que el número de Dunbar es la causa del fenómeno conocido como los " seis grados de separación ".
Características novedosas
Para una red sin escala con nodos y exponente de la ley de potencias , el subgrafo inducido construido por vértices con grados mayores que es una red sin escala con , casi seguro . [51]
Ver también
- Gráfico aleatorio : gráfico generado por un proceso aleatorio
- Modelo de Erdős-Rényi : dos modelos estrechamente relacionados para generar gráficos aleatorios
- Accesorio preferencial no lineal
- Condensación de Bose-Einstein (teoría de redes)
- Invarianza de escala : características que no cambian si las escalas de longitud o energía se multiplican por un factor común
- Red compleja : red con características topológicas no triviales
- Webgraph
- Modelo de Barabási-Albert
- Modelo Bianconi – Barabási
Referencias
- ^ Onnela, J. -P .; Saramaki, J .; Hyvonen, J .; Szabo, G .; Lazer, D .; Kaski, K .; Kertesz, J .; Barabasi, A. -L. (2007). "Estructurar y vincular fortalezas en redes de comunicaciones móviles" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 104 (18): 7332–7336. arXiv : física / 0610104 . Código bibliográfico : 2007PNAS..104.7332O . doi : 10.1073 / pnas.0610245104 . PMC 1863470 . PMID 17456605 .
- ^ Choromański, K .; Matuszak, M .; MiȩKisz, J. (2013). "Gráfico sin escala con apego preferencial y estructura de vértice interno en evolución" . Revista de física estadística . 151 (6): 1175-1183. Código bibliográfico : 2013JSP ... 151.1175C . doi : 10.1007 / s10955-013-0749-1 .
- ^ a b Clauset, Aaron; Cosma Rohilla Shalizi; ME J Newman (2009). "Distribuciones de ley de potencias en datos empíricos". Revisión SIAM . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Código bibliográfico : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137 / 070710111 . S2CID 9155618 .
- ^ Broido, Anna; Aaron Clauset (4 de marzo de 2019). "Las redes sin escala son raras" . Comunicaciones de la naturaleza . 10 (1): 1017. arXiv : 1801.03400 . doi : 10.1038 / s41467-019-08746-5 . PMC 6399239 . PMID 30833554 .
- ^ Holme, Petter (diciembre de 2019). "Raro y en todas partes: perspectivas sobre redes sin escala" . Comunicaciones de la naturaleza . 10 (1): 1016. doi : 10.1038 / s41467-019-09038-8 .
- ^ Stumpf, MPH; Porter, MA (10 de febrero de 2012). "Verdades críticas sobre las leyes de energía". Ciencia . 335 (6069): 665–666. doi : 10.1126 / science.1216142 .
- ^ a b Krapivsky, Paul; Krioukov, Dmitri (21 de agosto de 2008). "Redes libres de escala como regímenes preasintóticos de apego preferencial superlineal". Revisión E física . 78 (2): 026114. arXiv : 0804.1366 . doi : 10.1103 / PhysRevE.78.026114 .
- ^ a b c Falkenberg, Max; Lee, Jong-Hyeok; Amano, Shun-ichi; Ogawa, Ken-ichiro; Yano, Kazuo; Miyake, Yoshihiro; Evans, Tim S .; Christensen, Kim (18 de junio de 2020). "Identificación de la dependencia del tiempo en el crecimiento de la red" . Investigación de revisión física . 2 (2): 023352. doi : 10.1103 / PhysRevResearch.2.023352 .
- ^ a b Barabási, Albert-László ; Albert, Réka. (15 de octubre de 1999). "Aparición del escalado en redes aleatorias". Ciencia . 286 (5439): 509–512. arXiv : cond-mat / 9910332 . Código Bibliográfico : 1999Sci ... 286..509B . doi : 10.1126 / science.286.5439.509 . Señor 2091634 . PMID 10521342 . S2CID 524106 .
- ↑ Entre los siete ejemplos estudiados por Amaral et al, seis de ellos eran de una sola escala y solo el ejemplo iii , la red de actores de películas tenía un régimen de ley de poder seguido de un corte brusco. Ninguno de los ejemplos de Amaral et al obedeció el régimen de la ley de potencias para k grandes, es decir, ninguno de estos siete ejemplos mostró estar libre de escala. Vea especialmente el comienzo de la sección de discusión de Amaral LAN, Scala A, Barthelemy M, Stanley HE (2000). "Clases de redes de pequeños mundos" . PNAS . 97 (21): 11149–52. arXiv : cond-mat / 0001458 . Código Bibliográfico : 2000PNAS ... 9711149A . doi : 10.1073 / pnas.200327197 . PMC 17168 . PMID 11005838 .
- ^ Dorogovtsev, S .; Mendes, J .; Samukhin, A. (2000). "Estructura de redes en crecimiento con vinculación preferencial". Cartas de revisión física . 85 (21): 4633–4636. arXiv : cond-mat / 0004434 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4633D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4633 . PMID 11082614 .
- ^ Bollobás, B .; Riordan, O .; Spencer, J .; Tusnády, G. (2001). "La secuencia de grados de un proceso de gráfico aleatorio sin escala". Estructuras y algoritmos aleatorios . 18 (3): 279–290. doi : 10.1002 / rsa.1009 . Señor 1824277 .
- ^ Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (2002). "Evolución de las redes". Avances en Física . 51 (4): 1079-1187. arXiv : cond-mat / 0106144 . Código Bibliográfico : 2002AdPhy..51.1079D . doi : 10.1080 / 00018730110112519 . S2CID 429546 .
- ^ Willinger, Walter ; David Alderson; John C. Doyle (mayo de 2009). "Matemáticas e Internet: una fuente de enorme confusión y gran potencial" (PDF) . Avisos del AMS . Sociedad Matemática Estadounidense. 56 (5): 586–599 . Consultado el 3 de febrero de 2011 .
- ^ a b Barabási, Albert-László ; Zoltán N., Oltvai. (2004). "Biología de la red: comprensión de la organización funcional de la célula". Nature Reviews Genética . 5 (2): 101-113. doi : 10.1038 / nrg1272 . PMID 14735121 . S2CID 10950726 .
- ^ a b Cohen, Reoven; Erez, K .; ben-Avraham, D .; Havlin, S. (2000). "Resiliencia de Internet a averías aleatorias". Cartas de revisión física . 85 (21): 4626–8. arXiv : cond-mat / 0007048 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4626C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4626 . PMID 11082612 . S2CID 15372152 .
- ^ a b c Cohen, Reoven; Erez, K .; ben-Avraham, D .; Havlin, S. (2001). "Desglose de Internet bajo ataque intencional". Cartas de revisión física . 86 (16): 3682–5. arXiv : cond-mat / 0010251 . Código Bibliográfico : 2001PhRvL..86.3682C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.86.3682 . PMID 11328053 . S2CID 3852896 .
- ^ a b Callaway, Duncan S .; Newman, MEJ; Strogatz, SH; Watts, DJ (2000). "Robustez y fragilidad de la red: filtración en gráficos aleatorios". Cartas de revisión física . 85 (25): 5468–71. arXiv : cond-mat / 0007300 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.5468C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.5468 . PMID 11136023 . S2CID 2325768 .
- ^ Cohen, Reuven; Erez, Keren; ben-Avraham, Daniel; Havlin, Shlomo (2000). "Resiliencia de Internet a averías aleatorias". Cartas de revisión física . 85 (21): 4626–4628. arXiv : cond-mat / 0007048 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4626C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4626 . PMID 11082612 . S2CID 15372152 .
- ^ S. Shao, X. Huang, HE Stanley, S. Havlin (2015). "Percolación de ataque localizado en redes complejas" . New J. Phys . 17 (2): 023049. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 17/2/023049 . S2CID 7165448 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ R. Cohen, D. Ben-Avraham, S. Havlin (2002). "Exponentes críticos de filtración en redes libres de escala". Phys. Rev. E . 66 (3): 036113. arXiv : cond-mat / 0202259 . doi : 10.1103 / PhysRevE.66.036113 . PMID 12366190 . S2CID 678598 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Cohen, Reuven; Havlin, Shlomo (2003). "Las redes sin escala son ultrapequeñas". Cartas de revisión física . 90 (5): 058701. arXiv : cond-mat / 0205476 . Código Bibliográfico : 2003PhRvL..90e8701C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.90.058701 . PMID 12633404 . S2CID 10508339 .
- ^ R. Cohen, S. Havlin, D. Ben-Avraham (2003). "Estrategias de inmunización eficientes para redes informáticas y poblaciones". Phys. Rev. Lett . 91 (24): 247901. arXiv : cond-mat / 0207387 . Código Bibliográfico : 2003PhRvL..91x7901C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.91.247901 . PMID 14683159 . S2CID 919625 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Y. Chen, G. Paul, S. Havlin, F. Liljeros, HE Stanley (2008). "Encontrar una mejor estrategia de inmunización". Phys. Rev. Lett . 101 (5): 058701. doi : 10.1103 / PhysRevLett.101.058701 . PMID 18764435 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b Ramezanpour, A .; Karimipour, V .; Mashaghi, A. (2003). "Generación de redes correlacionadas a partir de redes no correlacionadas". Phys. Rev. E . 67 (4): 046107. arXiv : cond-mat / 0212469 . Código Bibliográfico : 2003PhRvE..67d6107R . doi : 10.1103 / PhysRevE.67.046107 . PMID 12786436 . S2CID 33054818 .
- ^ Louridas, Panagiotis; Spinellis, Diomidis; Vlachos, Vasileios (1 de septiembre de 2008). "Leyes de potencia en software". Transacciones ACM en Ingeniería y Metodología de Software . 18 (1): 2. doi : 10.1145 / 1391984.1391986 . S2CID 14122048 .
- ^ Papoudakis, Georgios; Preux, Philippe; Monperrus, Martin (27 de noviembre de 2017). "Un modelo generativo para dígrafos en evolución, dispersos" . Estudios en Inteligencia Computacional . 689 : 531–542. arXiv : 1710.06298 . doi : 10.1007 / 978-3-319-72150-7_43 . ISBN 978-3-319-72149-1. S2CID 10311221 .
- ^ De Masi, Giulia; et al. (2006). "Modelo de aptitud para el mercado monetario interbancario italiano". Revisión E física . 74 (6): 066112. arXiv : física / 0610108 . Código bibliográfico : 2006PhRvE..74f6112D . doi : 10.1103 / PhysRevE.74.066112 . PMID 17280126 . S2CID 30814484 .
- ^ Soramäki, Kimmo; et al. (2007). "La topología de los flujos de pagos interbancarios". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 379 (1): 317–333. Código Bibliográfico : 2007PhyA..379..317S . doi : 10.1016 / j.physa.2006.11.093 . hdl : 10419/60649 .
- ^ Steyvers, Mark; Joshua B. Tenenbaum (2005). "La estructura a gran escala de las redes semánticas: análisis estadísticos y un modelo de crecimiento semántico". Ciencia cognitiva . 29 (1): 41–78. arXiv : cond-mat / 0110012 . doi : 10.1207 / s15516709cog2901_3 . PMID 21702767 . S2CID 6000627 .
- ^ Fratini, Michela; Poccia, Nicola; Ricci, Alessandro; Campi, Gaetano; Burghammer, Manfred; Aeppli, Gabriel; Bianconi, Antonio (2010). "Organización estructural libre de escala de intersticiales de oxígeno en La2CuO4 + y". Naturaleza . 466 (7308): 841–4. arXiv : 1008.2015 . Código Bibliográfico : 2010Natur.466..841F . doi : 10.1038 / nature09260 . PMID 20703301 . S2CID 4405620 .
- ^ Poccia, Nicola; Ricci, Alessandro; Campi, Gaetano; Fratini, Michela; Puri, Alessandro; Di Gioacchino, Daniele; Marcelli, Augusto; Reynolds, Michael; Burghammer, Manfred; Saini, Naurang L .; Aeppli, Gabriel; Bianconi, Antonio (2012). "Inhomogeneidad óptima de las distorsiones de celosía local en La2CuO4 + y" . PNAS . 109 (39): 15685-15690. arXiv : 1208.0101 . Código bibliográfico : 2012PNAS..10915685P . doi : 10.1073 / pnas.1208492109 . PMC 3465392 . PMID 22961255 .
- ^ Hassan, MK; Hassan, MZ; Pavel, NI (2010). "Topología de red libre de escala y multifractalidad en una celosía estocástica plana ponderada" . Nueva Revista de Física . 12 (9): 093045. arXiv : 1008.4994 . Código Bibliográfico : 2010NJPh ... 12i3045H . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 12/9/093045 .
- ^ Hassan, MK; Hassan, MZ; Pavel, NI (2010). "Trastorno de número de coordinación sin escala y trastorno de tamaño multifractal en celosía estocástica plana ponderada". J. Phys .: Conf. Ser . 297 : 01.
- ^ a b c Pachón, Angélica; Sacerdote, Laura; Yang, Shuyi (2018). "Comportamiento libre de escala de las redes con la copresencia de reglas de apego preferenciales y uniformes". Physica D: Fenómenos no lineales . 371 : 1-12. arXiv : 1704.08597 . Código bibliográfico : 2018PhyD..371 .... 1P . doi : 10.1016 / j.physd.2018.01.005 . S2CID 119320331 .
- ^ Kumar, Ravi; Raghavan, Prabhakar (2000). Modelos estocásticos para Web Graph (PDF) . Fundamentos de la informática, 41º Simposio anual sobre. págs. 57–65. doi : 10.1109 / SFCS.2000.892065 .
- ^ Barabási, A.-L. y R. Albert, Science 286 , 509 (1999).
- ^ R. Albert y AL Barabási, Phys. Rev. Lett. 85 , 5234 (2000).
- ^ SN Dorogovtsev, JFF Mendes y AN Samukhim, cond-mat / 0011115.
- ^ a b P.L. Krapivsky, S. Redner y F. Leyvraz, Phys. Rev. Lett. 85 , 4629 (2000).
- ^ B. Tadic, Physica A 293 , 273 (2001).
- ^ S. Bomholdt y H. Ebel, cond-mat / 0008465; HA Simon, Bimetrika 42 , 425 (1955).
- ^ Dangalchev, Chavdar (julio de 2004). "Modelos de generación para redes sin escala" (PDF) . Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 338 (3–4): 659–671. doi : 10.1016 / j.physa.2004.01.056 .
- ^ Hassan, MK; Islam, Liana; Arefinul Haque, Syed (2017). "Distribución de grado, distribución de rango de tamaño y persistencia de liderazgo en redes de apego impulsadas por mediación". Un Physica . 469 : 23-30. arXiv : 1411.3444 . Código bibliográfico : 2017PhyA..469 ... 23H . doi : 10.1016 / j.physa.2016.11.001 . S2CID 51976352 .
- ^ Ravasz, E .; Barabási (2003). "Organización jerárquica en redes complejas". Phys. Rev. E . 67 (2): 026112. arXiv : cond-mat / 0206130 . Código Bibliográfico : 2003PhRvE..67b6112R . doi : 10.1103 / physreve.67.026112 . PMID 12636753 . S2CID 17777155 .
- ^ Caldarelli, G .; et al. (2002). "Redes sin escala de diferentes aptitud intrínseca de vértice" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 89 (25): 258702. Código Bibliográfico : 2002PhRvL..89y8702C . doi : 10.1103 / physrevlett.89.258702 . PMID 12484927 .
- ^ Garlaschelli, D .; et al. (2004). "Propiedades topológicas dependientes de la aptitud de la World Trade Web". Phys. Rev. Lett . 93 (18): 188701. arXiv : cond-mat / 0403051 . Código Bibliográfico : 2004PhRvL..93r8701G . doi : 10.1103 / physrevlett.93.188701 . PMID 15525215 . S2CID 16367275 .
- ^ Krioukov, Dmitri; Papadopoulos, Fragkiskos; Kitsak, Maksim; Vahdat, Amin; Boguñá, Marián (2010). "Geometría hiperbólica de redes complejas". Revisión E física . 82 (3): 036106. arXiv : 1006.5169 . Código bibliográfico : 2010PhRvE..82c6106K . doi : 10.1103 / PhysRevE.82.036106 . PMID 21230138 . S2CID 6451908 .
- ^ A. Hernando; D. Villuendas; C. Vesperinas; M. Abad; A. Plastino (2009). "Desentrañar la distribución de tamaño de los grupos sociales con la teoría de la información en redes complejas". arXiv : 0905.3704 [ physics.soc-ph ]., enviado a European Physical Journal B
- ^ André A. Moreira; Demétrius R. Paula; Raimundo N. Costa Filho; José S. Andrade, Jr. (2006). "Crecimiento competitivo de clústeres en redes complejas". Revisión E física . 73 (6): 065101. arXiv : cond-mat / 0603272 . Código Bibliográfico : 2006PhRvE..73f5101M . doi : 10.1103 / PhysRevE.73.065101 . PMID 16906890 . S2CID 45651735 .
- ^ Heydari, H .; Taheri, SM; Kaveh, K. (2018). "Conjunto independiente máximo distribuido en redes sin escala". arXiv : 1804.02513 [ cs.DC ].
Otras lecturas
- Albert R .; Barabási A.-L. (2002). "Mecánica estadística de redes complejas" . Rev. Mod. Phys . 74 (1): 47–97. arXiv : cond-mat / 0106096 . Código Bibliográfico : 2002RvMP ... 74 ... 47A . doi : 10.1103 / RevModPhys.74.47 . S2CID 60545 .
- Amaral LAN, Scala A, Barthelemy M, Stanley HE (2000). "Clases de redes de pequeños mundos" . PNAS . 97 (21): 11149–52. arXiv : cond-mat / 0001458 . Código Bibliográfico : 2000PNAS ... 9711149A . doi : 10.1073 / pnas.200327197 . PMC 17168 . PMID 11005838 .
- Barabási, Albert-László (2004). Vinculado: cómo todo está conectado con todo lo demás . ISBN 0-452-28439-2.
- Barabási, Albert-László; Bonabeau, Eric (mayo de 2003). "Redes sin escala" (PDF) . Scientific American . 288 (5): 50–9. Código Bibliográfico : 2003SciAm.288e..60B . doi : 10.1038 / scientificamerican0503-60 . PMID 12701331 .
- Dan Braha; Yaneer Bar-Yam (2004). "Topología de redes de resolución de problemas de ingeniería a gran escala" (PDF) . Phys. Rev. E . 69 (1): 016113. Código Bibliográfico : 2004PhRvE..69a6113B . doi : 10.1103 / PhysRevE.69.016113 . PMID 14995673 . S2CID 1001176 .
- Caldarelli G. " Redes sin escala" Oxford University Press, Oxford (2007).
- Caldarelli G .; Capocci A .; De Los Rios P .; Muñoz MA (2002). "Redes libres de escala de diferentes aptitud intrínseca de vértice". Cartas de revisión física . 89 (25): 258702. arXiv : cond-mat / 0207366 . Código bibliográfico : 2002PhRvL..89y8702C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.89.258702 . PMID 12484927 .
- R. Cohen; K. Erez; D. ben-Avraham; S. Havlin (2000). "Resiliencia de Internet a averías aleatorias". Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4626–8. arXiv : cond-mat / 0007048 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4626C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4626 . PMID 11082612 . S2CID 15372152 .
- R. Cohen; K. Erez; D. ben-Avraham; S. Havlin (2001). "Desglose de Internet bajo ataque intencional". Phys. Rev. Lett . 86 (16): 3682–5. arXiv : cond-mat / 0010251 . Código Bibliográfico : 2001PhRvL..86.3682C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.86.3682 . PMID 11328053 . S2CID 3852896 .
- R. Cohen; K. Erez; D. ben-Avraham; S. Havlin (2002). "Redes libres de escala en celosías" . Phys. Rev. Lett . 89 (21): 218701. arXiv : cond-mat / 0205613 . Código bibliográfico : 2002PhRvL..89u8701R . doi : 10.1103 / physrevlett.89.218701 . PMID 12443452 . S2CID 13379794 .
- Dangalchev, cap. (2004). "Modelos de generación para redes sin escala" . Un Physica . 338 (3–4): 659–671. Código Bibliográfico : 2004PhyA..338..659D . doi : 10.1016 / j.physa.2004.01.056 .
- Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF; Samukhin, AN (2000). "Estructura de redes en crecimiento: solución exacta del modelo de Barabási-Albert". Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4633–6. arXiv : cond-mat / 0004434 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4633D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4633 . PMID 11082614 .
- Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (2003). Evolución de las redes: de las redes biológicas a Internet y WWW . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-851590-1.
- Dorogovtsev, SN; Goltsev AV; Mendes, JFF (2008). "Fenómenos críticos en redes complejas". Rev. Mod. Phys . 80 (4): 1275-1335. arXiv : 0705.0010 . Código Bibliográfico : 2008RvMP ... 80.1275D . doi : 10.1103 / RevModPhys.80.1275 . S2CID 3174463 .
- Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (2002). "Evolución de las redes". Avances en Física . 51 (4): 1079-1187. arXiv : cond-mat / 0106144 . Código Bibliográfico : 2002AdPhy..51.1079D . doi : 10.1080 / 00018730110112519 . S2CID 429546 .
- Erdős, P .; Rényi, A. (1960). Sobre la evolución de los gráficos aleatorios (PDF) . 5 . Publicación del Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de Hungría. págs. 17–61.
- Faloutsos, M .; Faloutsos, P .; Faloutsos, C. (1999). "Sobre las relaciones potencia-ley de la topología de Internet". Comp. Comm. Rev . 29 (4): 251-262. doi : 10.1145 / 316194.316229 .
- Pequeño.; Alderson, D .; Tanaka, R .; Doyle, JC; Willinger, W. (2005). "Hacia una teoría de gráficos sin escala: definición, propiedades e implicaciones (versión extendida)". arXiv : cond-mat / 0501169 .
- Kumar, R .; Raghavan, P .; Rajagopalan, S .; Sivakumar, D .; Tomkins, A .; Upfal, E. (2000). "Modelos estocásticos para el web graph" (PDF) . Actas del 41º Simposio Anual sobre Fundamentos de las Ciencias de la Computación (FOCS) . Redondo Beach, CA: IEEE CS Press. págs. 57–65.
- Matlis, Jan (4 de noviembre de 2002). "Redes sin escala" .
- Newman, Mark EJ (2003). "La estructura y función de redes complejas". Revisión SIAM . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat / 0303516 . Código bibliográfico : 2003SIAMR..45..167N . doi : 10.1137 / S003614450342480 . S2CID 221278130 .
- Pastor-Satorras, R .; Vespignani, A. (2004). Evolución y estructura de Internet: un enfoque de física estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-82698-5.
- Pennock, DM; Escamas, GW; Lawrence, S .; Glover, EJ; Giles, CL (2002). "Los ganadores no se lo llevan todo: caracterizar la competencia por los enlaces en la web" . PNAS . 99 (8): 5207-11. Código Bibliográfico : 2002PNAS ... 99.5207P . doi : 10.1073 / pnas.032085699 . PMC 122747 . PMID 16578867 .
- Robb, John. Redes libres de escala y terrorismo , 2004.
- Keller, EF (2005). "Revisando las redes" libres de escala " . BioEssays . 27 (10): 1060–8. doi : 10.1002 / bies.20294 . PMID 16163729 . Archivado desde el original el 13 de agosto de 2011.
- Onody, RN; de Castro, PA (2004). "Estudio de redes complejas de futbolistas brasileños". Phys. Rev. E . 70 (3): 037103. arXiv : cond-mat / 0409609 . Código Bibliográfico : 2004PhRvE..70c7103O . doi : 10.1103 / PhysRevE.70.037103 . PMID 15524675 . S2CID 31653489 .
- Reuven Cohen; Shlomo Havlin (2003). "Las redes sin escala son ultrapequeñas" . Phys. Rev. Lett . 90 (5): 058701. arXiv : cond-mat / 0205476 . Código Bibliográfico : 2003PhRvL..90e8701C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.90.058701 . PMID 12633404 . S2CID 10508339 .
- Kasthurirathna, D .; Piraveenan, M. (2015). "Estudio de redes complejas de futbolistas brasileños". Sci. Rep . En prensa.