Escala (mapa)

Relación entre la distancia en un mapa y la distancia correspondiente en el suelo

Este artículo trata sobre la escala, la escala nominal, la escala principal, la fracción representativa y el factor de escala de un mapa. Para la escala de barras en un mapa, consulte Escala lineal . Para otros usos, consulte Escala .

Una escala gráfica o de barras. Un mapa también suele dar su escala numéricamente ("1: 50.000", por ejemplo, significa que un cm en el mapa representa 50.000 cm de espacio real, que son 500 metros).

Una escala de barras con la escala nominal, expresada como "1 cm = 6 km" y "1: 600 000" (equivalente, porque 6 km = 600 000 cm)

La escala de un mapa es la relación entre una distancia en el mapa y la distancia correspondiente en el suelo. Este simple concepto se complica por la curvatura de la superficie de la Tierra , que obliga a que la escala varíe a lo largo de un mapa. Debido a esta variación, el concepto de escala adquiere significado de dos formas distintas.

La primera forma es la relación entre el tamaño del globo generador y el tamaño de la Tierra. El globo generador es un modelo conceptual al que se contrae la Tierra ya partir del cual se proyecta el mapa . La relación entre el tamaño de la Tierra y el tamaño del globo generador se llama escala nominal (= escala principal = fracción representativa ). Muchos mapas establecen la escala nominal e incluso pueden mostrar una escala de barras (a veces simplemente llamada "escala") para representarla.

El segundo concepto distinto de escala se aplica a la variación de escala en un mapa. Es la relación entre la escala del punto mapeado y la escala nominal. En este caso, 'escala' significa el factor de escala (= escala de puntos = escala particular ).

Si la región del mapa es lo suficientemente pequeña como para ignorar la curvatura de la Tierra, como en un plano urbano, entonces se puede usar un solo valor como escala sin causar errores de medición. En mapas que cubren áreas más grandes, o toda la Tierra, la escala del mapa puede ser menos útil o incluso inútil para medir distancias. La proyección del mapa se vuelve fundamental para comprender cómo varía la escala a lo largo del mapa. ^{[1] [2]} Cuando la escala varía notablemente, puede contabilizarse como el factor de escala. La indicatriz de Tissot se utiliza a menudo para ilustrar la variación de la escala de puntos en un mapa.

Historia

Los fundamentos para el escalado cuantitativo de mapas se remontan a la antigua China con evidencia textual de que la idea del escalado de mapas se entendió en el siglo II a. C. Los topógrafos y cartógrafos de la antigua China tenían amplios recursos técnicos utilizados para producir mapas como varillas de contar , escuadras de carpintero , plomada , brújulas para dibujar círculos y tubos de observación para medir la inclinación. Los antiguos astrónomos chinos insinuaron marcos de referencia que postulaban un sistema de coordenadas incipiente para identificar ubicaciones, que dividían el cielo en varios sectores o logias lunares. ^[3]

El cartógrafo y geógrafo chino Pei Xiu del período de los Tres Reinos creó un conjunto de mapas de gran superficie que se dibujaron a escala. Produjo un conjunto de principios que enfatizaban la importancia de una escala consistente, mediciones direccionales y ajustes en las mediciones terrestres en el terreno que se estaba cartografiando. ^[3]

La terminología de las escalas

Representación de escala

Las escalas de los mapas pueden expresarse en palabras (una escala léxica), como una proporción o como una fracción. Algunos ejemplos son:

'un centímetro a cien metros' o 1: 10,000 o 1 / 10,000

'una pulgada a una milla' o 1: 63,360 o 1 / 63,360

'un centímetro a mil kilómetros' o 1: 100.000.000 o 1 / 100.000.000. (La proporción generalmente se abreviaría a 1: 100M)

Escala de barras frente a escala léxica

Además de lo anterior, muchos mapas llevan una o más escalas de barras (gráficas) . Por ejemplo, algunos mapas británicos modernos tienen tres escalas de barras, una para kilómetros, millas y millas náuticas.

Una escala léxica en un idioma conocido por el usuario puede ser más fácil de visualizar que una proporción: si la escala es de una pulgada a dos millas y el usuario del mapa puede ver dos aldeas que están separadas por aproximadamente dos pulgadas en el mapa, entonces es fácil para averiguar que las aldeas están a unas cuatro millas de distancia en el suelo.

Una escala léxica puede causar problemas si se expresa en un idioma que el usuario no comprende o en unidades obsoletas o mal definidas. Por ejemplo, muchas personas mayores entenderán una escala de una pulgada a un furlong (1: 7920) en países donde las unidades imperiales solían enseñarse en las escuelas. Pero una escala de un pouce a una liga puede ser de aproximadamente 1: 144,000, dependiendo de la elección del cartógrafo de las muchas definiciones posibles para una liga, y solo una minoría de los usuarios modernos estarán familiarizados con las unidades utilizadas.

Gran escala, mediana escala, pequeña escala

Contraste con la escala espacial .

Un mapa se clasifica en pequeña o gran escala o, a veces, en mediana . La pequeña escala se refiere a mapas del mundo o mapas de grandes regiones, como continentes o naciones grandes. En otras palabras, muestran grandes áreas de tierra en un espacio pequeño. Se les llama pequeña escala porque la fracción representativa es relativamente pequeña.

Los mapas a gran escala muestran áreas más pequeñas con más detalle, como los mapas del condado o los planos de la ciudad. Estos mapas se denominan a gran escala porque la fracción representativa es relativamente grande. Por ejemplo, un plano de la ciudad, que es un mapa a gran escala, puede estar en una escala de 1: 10,000, mientras que el mapa del mundo, que es un mapa a pequeña escala, puede estar en una escala de 1: 100,000,000.

La siguiente tabla describe los rangos típicos para estas escalas, pero no debe considerarse autoritario porque no existe un estándar:

Clasificación	Distancia	Ejemplos de
Gran escala	1: 0 - 1: 600.000	1: 0,00001 para mapa de virus; 1: 5,000 para el mapa a pie de la ciudad
escala media	1: 600.000 - 1: 2.000.000	Mapa de un pais
pequeña escala	1: 2.000.000 - 1: ∞	1: 50.000.000 para el mapa del mundo; 1:10 21 para el mapa de la galaxia

Los términos a veces se usan en el sentido absoluto de la tabla, pero otras veces en un sentido relativo. Por ejemplo, un lector de mapas cuyo trabajo se refiere únicamente a mapas a gran escala (como se tabula arriba) podría referirse a un mapa a 1: 500,000 como a pequeña escala.

En el idioma inglés, la palabra gran escala se usa a menudo para significar "extenso". Sin embargo, como se explicó anteriormente, los cartógrafos usan el término "gran escala" para referirse a mapas menos extensos, aquellos que muestran un área más pequeña. Los mapas que muestran un área extensa son mapas de "pequeña escala". Esto puede causar confusión.

Variación de escala

El mapeo de grandes áreas causa distorsiones notables porque aplana significativamente la superficie curva de la tierra. La forma en que se distribuye la distorsión depende de la proyección del mapa . La escala varía a lo largo del mapa y la escala del mapa indicada es solo una aproximación. Esto se analiza en detalle a continuación.

Mapas a gran escala con curvatura descuidada

La región sobre la que se puede considerar que la tierra es plana depende de la precisión de las mediciones del levantamiento . Si se mide solo al metro más cercano, entonces la curvatura de la Tierra es indetectable en una distancia meridiana de aproximadamente 100 kilómetros (62 millas) y en una línea este-oeste de aproximadamente 80 km (a una latitud de 45 grados). Si se mide con una precisión de 1 milímetro (0,039 pulgadas), la curvatura es indetectable en una distancia meridiana de unos 10 km y en una línea este-oeste de unos 8 km. ^[4] Así, un plan de la ciudad de Nueva Yorkcon una precisión de un metro o un plano del lugar de construcción con una precisión de un milímetro, ambos cumplirían las condiciones anteriores para el descuido de la curvatura. Pueden tratarse mediante topografía plana y mapearse mediante dibujos a escala en los que dos puntos cualesquiera a la misma distancia en el dibujo están a la misma distancia en el suelo. Las distancias terrestres reales se calculan midiendo la distancia en el mapa y luego multiplicando por el inverso de la fracción de escala o, de manera equivalente, simplemente usando divisores para transferir la separación entre los puntos en el mapa a una escala de barras en el mapa.

Reducción de altitud

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Agosto de 2014 )

La variación de altitud, desde el nivel del suelo hasta la superficie de la esfera o elipsoide, también cambia la escala de las medidas de distancia. ^[5]

Escala de puntos (o escala particular)

Ver también: Proyección cartográfica § Escala

Como demostrado por Gauss ‘s Theorema Egregium , una esfera (o elipsoide) no puede ser proyectado sobre un plano sin distorsión. Esto se ilustra comúnmente por la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin rasgarla ni deformarla. La única representación verdadera de una esfera a escala constante es otra esfera, como un globo .

Dado el tamaño práctico limitado de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar mapas detallados. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica distorsión: una separación constante en el mapa no corresponde a una separación constante en el suelo. Si bien un mapa puede mostrar una escala de barras gráfica, la escala debe usarse con el entendimiento de que será precisa solo en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).

Sea P un punto en latitud y longitud en la esfera (o elipsoide ). Sea Q un punto vecino y sea ​​el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo azimutal del elemento PQ. Sean P 'y Q' puntos correspondientes en la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q 'y la proyección del meridiano es el rumbo . En general . Comentario: esta distinción precisa entre acimut (en la superficie de la Tierra) y rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, muchos escritores usan los términos casi indistintamente.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Definición: la escala de puntos en P es la razón de las dos distancias P'Q 'y PQ en el límite en el que Q se acerca a P. Escribimos esto como

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

donde la notación indica que la escala de puntos es función de la posición de P y también de la dirección del elemento PQ.

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se indica con .${\displaystyle (\alpha =0)}$${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si la escala de puntos depende solo de la posición, no de la dirección, decimos que es isotrópica y denotamos convencionalmente su valor en cualquier dirección mediante el factor de escala paralelo .${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

Definición: Se dice que una proyección de mapa es conforme si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P ', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. Por el contrario, los factores de escala isotrópicos en el mapa implican una proyección conforme.

La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad del ortomorfismo (del griego "forma derecha"). La calificación "pequeña" significa que con una precisión de medición determinada no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se han denominado proyecciones ortomórficas . Por ejemplo, la proyección de Mercator es conformal ya que está construido para preservar ángulos y su factor de escala es isotópica, una función solamente de la latitud: Mercator hace conservar la forma en regiones pequeñas.

Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala . Estos no están trazados en mapas para usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Ver Snyder ^[1] páginas 203-206.)

La fracción representativa (RF) o escala principal

Hay dos convenciones que se utilizan para establecer las ecuaciones de cualquier proyección. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirrectangular se puede escribir como

cartógrafos:        ${\displaystyle x=a\lambda }$      ${\displaystyle y=a\varphi }$

matemáticos:       ${\displaystyle x=\lambda }$      ${\displaystyle y=\varphi }$

Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso en las encuestas de Snyder). Claramente, las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro envuelto alrededor de la Tierra y luego desenrollado. Decimos que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas impresos (o visualizados) reales . Si la definición de escala de puntos en la sección anterior es en términos del mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala estén cerca de la unidad. Para proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k = 1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k lejos de su verdadero valor de unidad.

Los mapas impresos reales se producen a partir del mapa de proyección mediante una escala constante indicada por una proporción como 1: 100M (para mapas del mundo entero) o 1: 10000 (para tales como planos urbanos). Para evitar confusiones en el uso de la palabra 'escala', esta fracción de escala constante se denomina fracción representativa (RF) del mapa impreso y debe identificarse con la relación impresa en el mapa. Las coordenadas reales del mapa impreso para la proyección cilíndrica equirrectangular son

mapa impreso:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$      ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Esta convención permite una clara distinción entre la escala de proyección intrínseca y la escala de reducción.

A partir de este punto ignoramos la RF y trabajamos con el mapa de proyección.

Visualización de la escala de puntos: la indicatriz de Tissot

Artículo principal: Tissot indicatrix

La proyección tripel de Winkel con la indicatriz de deformación de Tissot

Considere un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P en latitud y longitud . Dado que la escala de puntos varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo en la proyección se distorsionará. Tissot demostró que, siempre que la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse en la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán a lo largo de la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión en la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos está cambiando sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatriz de Tissot . El ejemplo que se muestra aquí es la proyección tripel de Winkel , la proyección estándar para mapas del mundo realizada por el${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$Sociedad Geográfica Nacional . La distorsión mínima está en el meridiano central en latitudes de 30 grados (norte y sur). (Otros ejemplos ^{[6] [7]} ).

Escala de puntos para proyecciones cilíndricas normales de la esfera

La clave para una comprensión cuantitativa de la escala es considerar un elemento infinitesimal en la esfera. La figura muestra un punto P en latitud y longitud en la esfera. El punto Q está en latitud y longitud . Las líneas PK y MQ son arcos de meridianos de longitud donde está el radio de la esfera y está en radianes. Las líneas de PM y KQ son arcos de círculos paralelos de longitud con en medida de arco. Al derivar una propiedad puntual de la proyección en${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$${\displaystyle a\,\delta \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$${\displaystyle \lambda }$ P basta tomar un elemento infinitesimal PMQK de la superficie: en el límite de Q acercándose a P dicho elemento tiende a un rectángulo plano infinitesimalmente pequeño.

Elementos infinitesimales en la esfera y una proyección cilíndrica normal.

Las proyecciones cilíndricas normales de la esfera tienen e igual a una función de latitud solamente. Por lo tanto, el elemento infinitesimal PMQK en la esfera se proyecta a un elemento infinitesimal P'M'Q'K 'que es un rectángulo exacto con una base y una altura  . Al comparar los elementos en la esfera y la proyección, podemos deducir inmediatamente expresiones para los factores de escala en los paralelos y meridianos. (El tratamiento de la escala en una dirección general se puede encontrar a continuación ).${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta y}$

factor de escala paralelo   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

factor de escala meridiano  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

Tenga en cuenta que el factor de escala paralelo es independiente de la definición de, por lo que es el mismo para todas las proyecciones cilíndricas normales. Es útil notar que${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle y(\varphi )}$

a 30 grados de latitud, la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

a 45 grados de latitud, la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

a 60 grados de latitud, la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

a 80 grados de latitud, la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

a 85 grados de latitud, la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

Los siguientes ejemplos ilustran tres proyecciones cilíndricas normales y, en cada caso, la variación de la escala con la posición y la dirección se ilustra mediante el uso de la indicatriz de Tissot .

Tres ejemplos de proyección cilíndrica normal

La proyección equirrectangular

La proyección equidistante con la indicatriz de deformación de Tissot

La proyección equirrectangular , ^{[1] [2] [4]} también conocida como Plate Carrée (francés para "cuadrado plano") o (algo engañosamente) la proyección equidistante, se define por

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

donde es el radio de la esfera, es la longitud desde el meridiano central de la proyección (aquí tomado como el meridiano de Greenwich en ) y es la latitud. Tenga en cuenta que y están en radianes (obtenidos multiplicando la medida en grados por un factor de / 180). La longitud está en el rango y la latitud está en el rango .${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Dado que la sección anterior da${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

escala paralela,  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

Para el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria, consulte el anexo .

La figura ilustra la indicatriz de Tissot para esta proyección. En el ecuador h = k = 1 y los elementos circulares no están distorsionados en la proyección. En latitudes más altas, los círculos se distorsionan en una elipse dada por el estiramiento en la dirección paralela solamente: no hay distorsión en la dirección del meridiano. La relación del eje mayor al eje menor es . Claramente, el área de la elipse aumenta en el mismo factor.${\displaystyle \sec \varphi }$

Es instructivo considerar el uso de escalas de barra que podrían aparecer en una versión impresa de esta proyección. La escala es verdadera (k = 1) en el ecuador, de modo que multiplicar su longitud en un mapa impreso por la inversa de RF (o escala principal) da la circunferencia real de la Tierra. La escala de barras en el mapa también se dibuja en la escala real, de modo que la transferencia de una separación entre dos puntos en el ecuador a la escala de barras dará la distancia correcta entre esos puntos. Lo mismo ocurre con los meridianos. En un paralelo que no sea el ecuador, la escala es${\displaystyle \sec \varphi }$así que cuando transferimos una separación de un paralelo a la escala de la barra, debemos dividir la distancia de la escala de la barra por este factor para obtener la distancia entre los puntos cuando se mide a lo largo del paralelo (que no es la distancia verdadera a lo largo de un círculo máximo). En una línea con un rumbo de, digamos, 45 grados ( ), la escala varía continuamente con la latitud y la transferencia de una separación a lo largo de la línea a la escala de barras no da una distancia relacionada con la distancia real de forma sencilla. (Pero vea el apéndice ). Incluso si pudiéramos calcular una distancia a lo largo de esta línea de rumbo constante, su relevancia es cuestionable, ya que tal línea en la proyección corresponde a una curva complicada en la esfera. Por estas razones, las escalas de barra en mapas a pequeña escala deben usarse con extrema precaución.${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

Proyección de Mercator

La proyección de Mercator con la indicatriz de deformación de Tissot . (La distorsión aumenta sin límite en latitudes más altas)

La proyección de Mercator asigna la esfera a un rectángulo (de extensión infinita en la dirección-) mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]}${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son:${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

escala paralela     ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

escala meridiana   ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

En el apéndice matemático se muestra que la escala de puntos en una dirección arbitraria también es igual a, por lo que la escala es isótropa (la misma en todas las direcciones), y su magnitud aumenta con la latitud como . En el diagrama de Tissot, cada elemento circular infinitesimal conserva su forma, pero se agranda cada vez más a medida que aumenta la latitud.${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

Proyección de áreas iguales de Lambert

Proyección cilíndrica normal de Lambert de igual área con la indicatriz de deformación de Tissot

La proyección de área igual de Lambert mapea la esfera a un rectángulo finito mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

escala paralela      ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

El cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria se da a continuación .

Las escalas vertical y horizontal ahora se compensan entre sí (hk = 1) y en el diagrama de Tissot cada elemento circular infinitesimal se distorsiona en una elipse de la misma área que los círculos no distorsionados en el ecuador.

Gráficos de factores de escala

El gráfico muestra la variación de los factores de escala para los tres ejemplos anteriores. El gráfico superior muestra la función de escala isotrópica de Mercator: la escala en el paralelo es la misma que la escala en el meridiano. Las otras gráficas muestran el factor de escala de meridianos para la proyección equirrectangular (h = 1) y para la proyección de área igual de Lambert. Estas dos últimas proyecciones tienen una escala paralela idéntica a la del diagrama de Mercator. Para el Lambert observe que la escala paralela (como Mercator A) aumenta con la latitud y la escala del meridiano (C) disminuye con la latitud de tal manera que hk = 1, garantizando la conservación del área.

Variación de escala en la proyección de Mercator

La escala de puntos de Mercator es la unidad en el ecuador porque es tal que el cilindro auxiliar utilizado en su construcción es tangencial a la Tierra en el ecuador. Por esta razón, la proyección habitual debería llamarse proyección tangente . La escala varía con la latitud como . Dado que tiende al infinito a medida que nos acercamos a los polos, el mapa de Mercator está muy distorsionado en latitudes altas y, por esta razón, la proyección es totalmente inapropiada para los mapas del mundo (a menos que estemos hablando de navegación y líneas de rumbo ). Sin embargo, en una latitud de aproximadamente 25 grados, el valor de es aproximadamente 1,1, por lo que Mercator es${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$con una precisión del 10% en una franja de 50 grados de ancho centrada en el ecuador. Las franjas más estrechas son mejores: una franja de 16 grados de ancho (centrada en el ecuador) tiene una precisión de 1% o 1 parte en 100.

Un criterio estándar para buenos mapas a gran escala es que la precisión debe estar dentro de 4 partes en 10,000, o 0.04%, correspondiente a . Dado que alcanza este valor en grados (ver figura siguiente, línea roja). Por lo tanto, la proyección de Mercator tangente es muy precisa dentro de una franja de 3,24 grados de ancho centrada en el ecuador. Esto corresponde a una distancia norte-sur de unos 360 km (220 millas). Dentro de esta franja, Mercator es muy${\displaystyle k=1.0004}$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \varphi =1.62}$bueno, muy preciso y que conserva la forma porque es conforme (conserva el ángulo). Estas observaciones impulsaron el desarrollo de las proyecciones transversales de Mercator en las que un meridiano se trata "como un ecuador" de la proyección, de modo que obtengamos un mapa preciso dentro de una distancia estrecha de ese meridiano. Estos mapas son buenos para países alineados casi de norte a sur (como Gran Bretaña ) y se utiliza un conjunto de 60 mapas de este tipo para Universal Transverse Mercator (UTM) . Tenga en cuenta que en ambas proyecciones (que se basan en varios elipsoides) las ecuaciones de transformación para xey y la expresión para el factor de escala son funciones complicadas de latitud y longitud.

Variación de escala cerca del ecuador para las proyecciones de Mercator tangente (rojo) y secante (verde).

Proyecciones secantes o modificadas

La idea básica de una proyección secante es que la esfera se proyecta a un cilindro que interseca a la esfera en dos paralelos, digamos norte y sur. Claramente, la escala ahora es verdadera en estas latitudes, mientras que los paralelos debajo de estas latitudes son contraídos por la proyección y su factor de escala (paralelo) debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala de la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes.${\displaystyle \varphi _{1}}$

Como ejemplo, una posible proyección de Mercator secante se define por

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

Los multiplicadores numéricos no alteran la forma de la proyección pero sí significa que los factores de escala se modifican:

escala de Mercator secante   ${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

Por lo tanto

• la escala en el ecuador es 0.9996,
• la escala es k  = 1 en una latitud dada por donde de modo que grados,${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k = 1.0004 en una latitud dada por qué grados. Por lo tanto, la proyección tiene una precisión de 0.04% sobre una franja más ancha de 4.58 grados (en comparación con 3.24 grados para la forma tangente).${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$${\displaystyle 1<k<1.0004}$

Esto se ilustra mediante la curva inferior (verde) en la figura de la sección anterior.

Estas zonas estrechas de alta precisión se utilizan en la proyección UTM y OSGB británica, las cuales son secantes, Mercator transversal en el elipsoide con la escala en el meridiano central constante en . Las líneas de isoescala son líneas ligeramente curvas aproximadamente a 180 km al este y al oeste del meridiano central. El valor máximo del factor de escala es 1.001 para UTM y 1.0007 para OSGB.${\displaystyle k_{0}=0.9996}$${\displaystyle k=1}$

Las líneas de la unidad de escala en la latitud (norte y sur), donde la superficie de proyección cilíndrica se cruza con la esfera, son los paralelos estándar de la proyección secante.${\displaystyle \varphi _{1}}$

Si bien una banda estrecha es importante para el mapeo de alta precisión a gran escala, para los mapas del mundo se utilizan paralelos estándar espaciados mucho más amplios para controlar la variación de escala. Ejemplos son ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• Behrmann con paralelos estándar a 30N, 30S.
• Áreas iguales de agallas con paralelos estándar a 45N, 45S.

Variación de escala para las proyecciones de áreas iguales de Lambert (verde) y Gall (rojo).

Las gráficas de escala para este último se muestran a continuación en comparación con los factores de escala de áreas iguales de Lambert. En este último, el ecuador es un paralelo estándar único y la escala del paralelo aumenta de k = 1 para compensar la disminución de la escala del meridiano. Para el Gall, la escala paralela se reduce en el ecuador (hasta k = 0,707) mientras que la escala del meridiano aumenta (hasta k = 1,414). Esto da lugar a una gran distorsión de la forma en la proyección de Gall-Peters. (En el mundo, África es tan larga como ancha). Tenga en cuenta que las escalas de meridianos y paralelos son unidades en los paralelos estándar.

Apéndice matemático

Elementos infinitesimales en la esfera y una proyección cilíndrica normal.

Para proyecciones cilíndricas normales, la geometría de los elementos infinitesimales da

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

La relación entre los ángulos y es${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

Para la proyección de Mercator entrega : se conservan los ángulos. (No es de extrañar ya que esta es la relación utilizada para derivar Mercator). Para las proyecciones equidistantes y de Lambert tenemos y, respectivamente, la relación entre y depende de la latitud  . Denote la escala de puntos en P cuando el elemento infinitesimal PQ forma un ángulo con el meridiano por Está dado por la relación de distancias:${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle y'(\varphi )=a}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Estableciendo y sustituyendo y a partir de las ecuaciones (a) y (b), respectivamente, se obtiene${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta \varphi }$${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

Para las proyecciones distintas de Mercator, primero debemos calcular a partir de la ecuación (c) y usarla, antes de que podamos encontrar . Por ejemplo, la proyección equirrectangular tiene tal que ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu _{\alpha }}$${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Si consideramos una línea de pendiente constante en la proyección, tanto el valor correspondiente de como el factor de escala a lo largo de la línea son funciones complicadas de . No existe una forma sencilla de transferir una separación finita general a una escala de barras y obtener resultados significativos.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$

Símbolo de proporción

Mientras que los dos puntos se utilizan a menudo para expresar proporciones, Unicode puede expresar un símbolo específico para las proporciones, que se eleva ligeramente: U + 2236 ∶ RATIO (HTML  ∶ · ∶ ).

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con escalas gráficas .

• Escala (herramienta analítica)
• Escala (proporción)
• Escala (geometría)
• Escala espacial

Referencias

1. Snyder, John P. (1987). Proyecciones de mapas: un manual de trabajo. Documento profesional del Servicio Geológico de EE. UU . 1395 . Oficina de Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, DCEste documento se puede descargar de las páginas de USGS. Proporciona detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con las secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones de los primeros principios. La derivación de todas las fórmulas para las proyecciones de Mercator se puede encontrar en Las proyecciones de Mercator .
2. Aplanando la Tierra: Dos mil años de proyecciones cartográficas , John P. Snyder, 1993, págs. 5-8, ISBN 0-226-76747-7 . Este es un estudio de prácticamente todas las proyecciones conocidas desde la antigüedad hasta 1993. 
3. Selin, Helaine (2008). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en las culturas no occidentales . Springer (publicado el 17 de marzo de 2008). pag. 567. ISBN 978-1402049606.
4. Osborne, Peter (2013), The Mercator Projections , doi : 10.5281 / zenodo.35392 . (Suplementos: archivos Maxima y código y figuras de Latex )
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de agosto de 2014 . Consultado el 26 de agosto de 2014 .
6. Ejemplos de indicatriz de Tissot. Algunas ilustraciones del Tissot Indicatrix aplicadas a una variedad de proyecciones distintas de las cilíndricas normales.
7. Más ejemplos de indicatriz de Tissot en Wikimedia Commons.