Escala (geometría)

transformación geométrica

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Cada iteración del triángulo de Sierpinski contiene triángulos relacionados con la siguiente iteración por un factor de escala de 1/2

En la geometría euclidiana , la escala uniforme (o escala isotrópica ^[1] ) es una transformación lineal que agranda (aumenta) o encoge (disminuye) los objetos en un factor de escala que es el mismo en todas las direcciones. El resultado de la escala uniforme es similar (en el sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, por lo que las formas congruentes también se clasifican como similares. El escalado uniforme ocurre, por ejemplo, al ampliar o reducir una fotografía , o al crear un modelo a escala de un edificio, automóvil, avión, etc.

Más general es el escalado con un factor de escala separado para cada dirección de eje. Escalamiento no uniforme ( anisotrópico de escala se obtiene) cuando al menos uno de los factores de escala es diferente de los otros; un caso especial es el escalado o estiramiento direccional (en una dirección). La escala no uniforme cambia la forma del objeto; por ejemplo, un cuadrado puede convertirse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escala (los ángulos entre las líneas paralelas a los ejes se conservan, pero no todos los ángulos). Ocurre, por ejemplo, cuando una valla publicitaria lejana se ve desde un ángulo oblicuo., o cuando la sombra de un objeto plano cae sobre una superficie que no es paralela a él.

Cuando el factor de escala es mayor que 1, la escala (uniforme o no uniforme) a veces también se denomina dilatación o ampliación . Cuando el factor de escala es un número positivo menor que 1, la escala a veces también se llama contracción .

En el sentido más general, una escala incluye el caso en el que las direcciones de escala no son perpendiculares. También incluye el caso en el que uno o más factores de escala son iguales a cero ( proyección ) y el caso de uno o más factores de escala negativos (una escala direccional de -1 equivale a una reflexión ).

El escalado es una transformación lineal y un caso especial de transformación homotética . En la mayoría de los casos, las transformaciones homotéticas son transformaciones no lineales.

Representación matricial

Una escala se puede representar mediante una matriz de escala . Para escalar un objeto por un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada punto p = ( p _x , p _y , p _z ) debería multiplicarse con esta matriz de escala:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Tal escala cambia el diámetro de un objeto por un factor entre los factores de escala, el área por un factor entre el producto más pequeño y más grande de dos factores de escala y el volumen por el producto de los tres.

La escala es uniforme si y solo si los factores de escala son iguales ( v _x = v _y = v _z ). Si todos excepto uno de los factores de escala son iguales a 1, tenemos una escala direccional.

En el caso donde v _x = v _y = v _z = k , la escala aumenta el área de cualquier superficie por un factor de k ² y el volumen de cualquier objeto sólido por un factor de k ³ .

Escala en dimensiones arbitrarias

En el espacio dimensional , la escala uniforme por un factor se logra mediante la multiplicación escalar con , es decir, multiplicando cada coordenada de cada punto por . Como caso especial de transformación lineal, también se puede lograr multiplicando cada punto (visto como un vector columna) con una matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal son todas iguales a , a saber .${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vI}$

El escalado no uniforme se logra mediante la multiplicación con cualquier matriz simétrica . Los valores propios de la matriz son los factores de escala, y los vectores propios correspondientes son los ejes a lo largo de los cuales se aplica cada factor de escala. Un caso especial es una matriz diagonal, con números arbitrarios a lo largo de la diagonal: los ejes de escala son entonces los ejes de coordenadas y la transformación escala a lo largo de cada eje por el factor .${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

En la escala uniforme con un factor de escala distinto de cero, todos los vectores distintos de cero conservan su dirección (como se ve desde el origen), o todos tienen la dirección invertida, según el signo del factor de escala. En el escalado no uniforme, solo los vectores que pertenecen a un espacio propio conservarán su dirección. Un vector que es la suma de dos o más vectores distintos de cero que pertenecen a diferentes espacios propios se inclinará hacia el espacio propio con el valor propio más grande.

Usando coordenadas homogéneas

En la geometría proyectiva , que se usa a menudo en gráficos por computadora , los puntos se representan usando coordenadas homogéneas . Para escalar un objeto por un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada vector de coordenadas homogéneo p = ( p _x , p _y , p _z , 1) necesitaría multiplicarse con esta matriz de transformación proyectiva :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Dado que el último componente de una coordenada homogénea puede verse como el denominador de los otros tres componentes, se puede lograr una escala uniforme por un factor común s (escala uniforme) utilizando esta matriz de escala:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Para cada vector p = ( p _x , p _y , p _z , 1) tendríamos

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

que sería equivalente a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Función dilatación y contracción

Dado un punto , la dilatación lo asocia con el punto a través de las ecuaciones${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$para .${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

Por lo tanto, dada una función , la ecuación de la función dilatada es${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Casos particulares

Si , la transformación es horizontal; cuando es una dilatación, cuando es una contracción.${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m<1}$

Si , la transformación es vertical; cuando es una dilatación, cuando es una contracción.${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n<1}$

Si o , la transformación es un mapeo de compresión .${\displaystyle m=1/n}$${\displaystyle n=1/m}$

Ver también

• Dilatación (espacio métrico)
• Función homogénea
• Transformación homotética
• Escala (proporción)
• Escala (mapa)
• Escalas de maquetas
• Escala (desambiguación)
• Escalando en gravedad
• Mapeo de compresión
• Matriz de transformación

Notas al pie

1. Durand; Cuchillero. "Transformaciones" (PowerPoint) . Instituto de Tecnología de Massachusetts . Consultado el 12 de septiembre de 2008 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Escala (geometría) .

• Comprensión de la escala 2D y comprensión de la escala 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .