En la mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador correspondiente a la energía total de dicho sistema, que incluye tanto la energía cinética y la energía potencial . Su espectro , el espectro de energía del sistema o su conjunto de valores propios de energía , es el conjunto de posibles resultados que se pueden obtener a partir de una medición de la energía total del sistema. Debido a su estrecha relación con el espectro de energía y la evolución temporal de un sistema, es de fundamental importancia en la mayoría de las formulaciones de la teoría cuántica .
El hamiltoniano lleva el nombre de William Rowan Hamilton , quien desarrolló una reformulación revolucionaria de la mecánica newtoniana , conocida como mecánica hamiltoniana , que fue históricamente importante para el desarrollo de la física cuántica. Similar a la notación vectorial , típicamente se denota por, donde el sombrero indica que es un operador. También se puede escribir como o .
Introducción
El hamiltoniano de un sistema es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas, más la energía potencial de las partículas asociadas con el sistema. El hamiltoniano toma diferentes formas y se puede simplificar en algunos casos teniendo en cuenta las características concretas del sistema bajo análisis, como una o varias partículas en el sistema, interacción entre partículas, tipo de energía potencial, potencial variable en el tiempo o independiente del tiempo. uno.
Hamiltoniano Schrödinger
Una partícula
Por analogía con la mecánica clásica , el hamiltoniano se expresa comúnmente como la suma de operadores correspondientes a las energías cinética y potencial de un sistema en la forma
dónde
es el potencial operador de energía y
es el operador de energía cinética en el quees la masa de la partícula, el punto denota el producto escalar de los vectores, y
es el operador de impulso donde unes el operador del . El producto escalar deconsigo mismo es el laplaciano . En tres dimensiones usando coordenadas cartesianas, el operador de Laplace es
Aunque esta no es la definición técnica del hamiltoniano en la mecánica clásica , es la forma que adopta con más frecuencia. La combinación de estos produce la forma familiar utilizada en la ecuación de Schrödinger :
que permite aplicar el hamiltoniano a sistemas descritos por una función de onda . Este es el enfoque comúnmente adoptado en los tratamientos introductorios de la mecánica cuántica, utilizando el formalismo de la mecánica ondulatoria de Schrödinger.
También se pueden realizar sustituciones de ciertas variables para que se ajusten a casos específicos, como algunos que involucran campos electromagnéticos.
Muchas partículas
El formalismo se puede extender a partículas:
dónde
es la función de energía potencial, ahora una función de la configuración espacial del sistema y el tiempo (un conjunto particular de posiciones espaciales en algún instante de tiempo define una configuración) y;
es el operador de energía cinética de la partícula , y es el gradiente de partícula , es el laplaciano para partícula usando las coordenadas:
Combinando estos rendimientos se obtiene el hamiltoniano de Schrödinger para el -caja de partículas:
Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos . Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas del sistema. Por esta razón, pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética en el hamiltoniano; una mezcla de gradientes para dos partículas:
dónde denota la masa de la colección de partículas que resulta en esta energía cinética adicional. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el hamiltoniano de muchos átomos de electrones (ver más abajo).
Para partículas que interactúan, es decir, partículas que interactúan mutuamente y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencial no es simplemente una suma de los potenciales separados (y ciertamente no es un producto, ya que esto es dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial solo se puede escribir como se indicó anteriormente: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula.
Para partículas que no interactúan, es decir, partículas que no interactúan entre sí y se mueven independientemente, el potencial del sistema es la suma de la energía potencial separada para cada partícula, [1] es decir
La forma general del hamiltoniano en este caso es:
donde se toma la suma de todas las partículas y sus correspondientes potenciales; el resultado es que el hamiltoniano del sistema es la suma de los hamiltonianos separados para cada partícula. Ésta es una situación idealizada; en la práctica, las partículas casi siempre están influenciadas por algún potencial y hay interacciones de muchos cuerpos. Un ejemplo ilustrativo de una interacción de dos cuerpos donde esta forma no se aplicaría es para los potenciales electrostáticos debidos a partículas cargadas, porque interactúan entre sí mediante la interacción de Coulomb (fuerza electrostática), como se muestra a continuación.
Ecuación de Schrödinger
El hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en el momento , luego
Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger . Toma la misma forma que la ecuación de Hamilton-Jacobi , que es una de las razonestambién se llama hamiltoniano. Dado el estado en algún momento inicial (), podemos resolverlo para obtener el estado en cualquier momento posterior. En particular, si es independiente del tiempo, entonces
El operador exponencial en el lado derecho de la ecuación de Schrödinger generalmente se define por la correspondiente serie de potencias en. Uno podría notar que tomar polinomios o series de potencias de operadores ilimitados que no están definidos en todas partes puede no tener sentido matemático. De manera rigurosa, para asumir funciones de operadores ilimitados, se requiere un cálculo funcional . En el caso de la función exponencial, es suficiente el cálculo funcional continuo , o simplemente holomórfico . Sin embargo, notamos nuevamente que para cálculos comunes la formulación de los físicos es bastante suficiente.
Por la propiedad * - homomorfismo del cálculo funcional, el operador
es un operador unitario . Es el operador de evolución temporal , o propagador , de un sistema cuántico cerrado. Si el hamiltoniano es independiente del tiempo,formar un grupo unitario de un parámetro (más de un semigrupo ); esto da lugar al principio físico del equilibrio detallado .
Formalismo de Dirac
Sin embargo, en el formalismo más general de Dirac , el hamiltoniano se implementa típicamente como un operador en un espacio de Hilbert de la siguiente manera:
Los mercados propios ( vectores propios ) de, denotado , proporcionan una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos del sistema está dado por el conjunto de valores propios, denotado, resolviendo la ecuación:
Desde es un operador hermitiano , la energía es siempre un número real .
Desde un punto de vista matemáticamente riguroso, se debe tener cuidado con los supuestos anteriores. Los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita no necesitan tener valores propios (el conjunto de valores propios no coincide necesariamente con el espectro de un operador ). Sin embargo, todos los cálculos mecánicos cuánticos de rutina se pueden realizar utilizando la formulación física. [ aclaración necesaria ]
Expresiones para el hamiltoniano
Las siguientes son expresiones para el hamiltoniano en varias situaciones. [2] Las formas típicas de clasificar las expresiones son el número de partículas, el número de dimensiones y la naturaleza de la función de energía potencial, lo que es importante, la dependencia del espacio y el tiempo. Las masas se denotan por, y cargos por .
Formas generales para una partícula
Partícula libre
La partícula no está limitada por ninguna energía potencial, por lo que el potencial es cero y este hamiltoniano es el más simple. Para una dimensión:
y en dimensiones superiores:
Pozo de potencial constante
Para una partícula en una región de potencial constante (sin dependencia del espacio o del tiempo), en una dimensión, el hamiltoniano es:
en tres dimensiones
Esto se aplica al problema elemental de " partícula en una caja " y potenciales de paso .
Oscilador armónico simple
Para un oscilador armónico simple en una dimensión, el potencial varía con la posición (pero no el tiempo), de acuerdo con:
donde la frecuencia angular , constante de resorte efectiva y masa del oscilador satisfacen:
entonces el hamiltoniano es:
Para tres dimensiones, esto se convierte en
donde el vector de posición tridimensional el uso de coordenadas cartesianas es (, , ), su magnitud es
Escribir el hamiltoniano en su totalidad muestra que es simplemente la suma de los hamiltonianos unidimensionales en cada dirección:
Rotor rígido
Para un rotor rígido , es decir, un sistema de partículas que pueden rotar libremente alrededor de cualquier eje, sin ningún potencial (como moléculas libres con grados de libertad vibracionales insignificantes , digamos debido a enlaces químicos dobles o triples ), el hamiltoniano es:
dónde , , y son los componentes del momento de inercia (técnicamente los elementos diagonales del tensor del momento de inercia ), y, y son los operadores (componentes) del momento angular total , sobre el, , y ejes respectivamente.
Potencial electrostático o de culombio
La energía potencial de Coulomb para dos cargas puntuales y (es decir, aquellos que no tienen extensión espacial de forma independiente), en tres dimensiones, es (en unidades SI, en lugar de unidades gaussianas que se usan con frecuencia en electromagnetismo ):
Sin embargo, esto es solo la posibilidad de que una carga puntual se deba a otra. Si hay muchas partículas cargadas, cada carga tiene una energía potencial debido a cualquier otra carga puntual (excepto a sí misma). Para cargas, la energía potencial de carga debido a todas las demás cargas es (ver también Energía potencial electrostática almacenada en una configuración de cargas puntuales discretas ): [3]
dónde es el potencial electrostático de carga a . El potencial total del sistema es entonces la suma de:
entonces el hamiltoniano es:
Dipolo eléctrico en un campo eléctrico
Por un momento dipolar eléctrico constituyendo cargas de magnitud , en un campo electrostático uniforme (independiente del tiempo), posicionado en un solo lugar, el potencial es:
el momento dipolar en sí mismo es el operador
Dado que la partícula es estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:
Dipolo magnético en un campo magnético
Para un momento dipolar magnético en un campo magnetostático uniforme (independiente del tiempo) , posicionado en un solo lugar, el potencial es:
Dado que la partícula es estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:
Para una partícula de ½ espín, el momento magnético de espín correspondiente es: [4]
dónde es la relación giromagnética de espín (también conocida como " factor g de espín "), es la carga de electrones, es el vector operador de espín , cuyos componentes son las matrices de Pauli , por lo tanto
Partícula cargada en un campo electromagnético
Para una partícula con masa y cargar en un campo electromagnético, descrito por el potencial escalar y potencial vectorial , hay dos partes del hamiltoniano para sustituir. [1] El operador de impulso canónico, que incluye una contribución de la campo y cumple la relación de conmutación canónica , debe ser cuantificado;
- ,
dónde es el operador de momento cinético . La prescripción de cuantificación dice
- ,
por lo que el operador de energía cinética correspondiente es
y la energía potencial, que se debe a la campo, está dado por
- .
Poner todo esto en el hamiltoniano da
- .
Leyes de conservación, simetría y degeneración de la bolsa propia de energía
En muchos sistemas, dos o más estados propios de energía tienen la misma energía. Un ejemplo simple de esto es una partícula libre, cuyos estados propios de energía tienen funciones de onda que propagan ondas planas. La energía de cada una de estas ondas planas es inversamente proporcional al cuadrado de su longitud de onda . Una onda que se propaga en el dirección es un estado diferente de uno que se propaga en el dirección, pero si tienen la misma longitud de onda, entonces sus energías serán las mismas. Cuando esto sucede, se dice que los estados están degenerados .
Resulta que la degeneración ocurre siempre que un operador unitario no trivial conmuta con el hamiltoniano. Para ver esto, suponga quees un eigenket de energía. Luego es un eigenket de energía con el mismo valor propio, ya que
Desde no es trivial, al menos un par de y debe representar estados distintos. Por lo tanto,tiene al menos un par de mercados propios de energía degenerados. En el caso de la partícula libre, el operador unitario que produce la simetría es el operador de rotación , que rota las funciones de onda en algún ángulo mientras conserva su forma.
La existencia de un operador de simetría implica la existencia de un observable conservado . Dejar ser el generador hermitiano de :
Es sencillo demostrar que si viaja con , entonces también lo hace :
Por lo tanto,
Para obtener este resultado, hemos utilizado la ecuación de Schrödinger, así como su dual ,
Por tanto, el valor esperado del observablese conserva para cualquier estado del sistema. En el caso de la partícula libre, la cantidad conservada es el momento angular .
Ecuaciones de Hamilton
Hamilton ecuaciones clásicas 's en mecánica hamiltoniana tienen una analogía directa en la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un conjunto de estados base, que no tienen por qué ser necesariamente estados propios de la energía. Para simplificar, asumimos que son discretos y que son ortonormales, es decir,
Tenga en cuenta que se supone que estos estados base son independientes del tiempo. Supondremos que el hamiltoniano también es independiente del tiempo.
El estado instantáneo del sistema en el momento , , se puede ampliar en términos de estos estados base:
dónde
Los coeficientes son variables complejas . Podemos tratarlos como coordenadas que especifican el estado del sistema, como las coordenadas de posición y momento que especifican un sistema clásico. Como las coordenadas clásicas, generalmente no son constantes en el tiempo y su dependencia temporal da lugar a la dependencia temporal del sistema en su conjunto.
El valor esperado del hamiltoniano de este estado, que también es la energía media, es
donde se obtuvo el último paso al expandir en términos de los estados base.
Cada en realidad corresponde a dos grados de libertad independientes, ya que la variable tiene una parte real y una parte imaginaria. Ahora realizamos el siguiente truco: en lugar de usar las partes real e imaginaria como variables independientes, usamosy su complejo conjugado . Con esta elección de variables independientes, podemos calcular la derivada parcial
Aplicando la ecuación de Schrödinger y usando la ortonormalidad de los estados base, esto se reduce aún más a
Del mismo modo, se puede demostrar que
Si definimos variables de "momento conjugado" por
entonces las ecuaciones anteriores se convierten en
que es precisamente la forma de las ecuaciones de Hamilton, con la s como las coordenadas generalizadas, el s como los momentos conjugados, y tomando el lugar del hamiltoniano clásico.
Ver también
- Mecánica hamiltoniana
- Sistema cuántico de dos estados
- Operador (física)
- Notación bra-ket
- Estado cuántico
- Álgebra lineal
- Conservacion de energia
- Teoría potencial
- Problema de muchos cuerpos
- Electrostática
- Campo eléctrico
- Campo magnético
- La desigualdad de Lieb-Thirring
Referencias
- ^ a b Resnick, R .; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-87373-X.
- ^ Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855493-1.
- ^ Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Manchester Physics Series (2ª ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
- ^ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.