El método de Schulze ( / ʃ ʊ l t s ə / ) es un sistema electoral desarrollado en 1997 por Markus Schulze que selecciona un solo ganador usando votos que expresan preferencias . El método también se puede utilizar para crear una lista ordenada de ganadores. El método de Schulze también se conoce como caída secuencial de Schwartz ( SSD ), caída secuencial de Schwartz a prueba de clonación ( CSSD ), el método de la ruta del ritmo , el ganador de la ruta del ritmo , la votación de la ruta y el ganador de la ruta..
El método Schulze es un método Condorcet , lo que significa que si hay un candidato que es preferido por una mayoría sobre cualquier otro candidato en las comparaciones por pares, este candidato será el ganador cuando se aplique el método Schulze.
El resultado del método Schulze (definido a continuación) da un orden de candidatos. Por lo tanto, si hay varios puestos disponibles, el método se puede utilizar para este propósito sin modificación, permitiendo que los k candidatos mejor clasificados ganen los k puestos disponibles. Además, para las elecciones de representación proporcional , se ha propuesto una variante de voto único transferible .
El método Schulze es utilizado por varias organizaciones, incluidas Wikimedia , Debian , Ubuntu , Gentoo , los partidos políticos del Partido Pirata y muchas otras .
Descripción del método
Votación
La entrada para el método Schulze es la misma que para otros sistemas electorales de un solo ganador clasificado : cada votante debe proporcionar una lista de preferencias ordenada sobre los candidatos en los que se permiten empates ( un orden estrictamente débil ). [1]
Una forma típica de que los votantes especifiquen sus preferencias en una boleta es la siguiente. Cada boleta enumera a todos los candidatos y cada votante clasifica esta lista en orden de preferencia usando números: el votante coloca un '1' al lado del candidato (s) más preferido, un '2' al lado del segundo más preferido, y así sucesivamente. . Cada votante puede, opcionalmente:
- dar la misma preferencia a más de un candidato. Esto indica que este votante es indiferente entre estos candidatos.
- use números no consecutivos para expresar preferencias. Esto no tiene ningún impacto en el resultado de las elecciones, ya que solo importa el orden en que los candidatos son clasificados por el votante, y no los números absolutos de las preferencias.
- mantener a los candidatos sin clasificar. Cuando un votante no clasifica a todos los candidatos, entonces esto se interpreta como si este votante (i) prefiere estrictamente todos los clasificados a todos los candidatos no clasificados, y (ii) es indiferente entre todos los candidatos no clasificados.
Cálculo
Dejar ser el número de votantes que prefieren candidato al candidato .
Un camino desde el candidato al candidato es una secuencia de candidatos con las siguientes propiedades:
- y .
- Para todos .
En otras palabras, en una comparación por pares, cada candidato en el camino vencerá al siguiente candidato.
La fuerza de un camino de candidato al candidato es el número más pequeño de votantes en la secuencia de comparaciones:
- Para todos .
Para un par de candidatos y que están conectados por al menos un camino, la fuerza del camino más fuerte es la fuerza máxima de los caminos que los conectan. Si no hay camino desde el candidato al candidato en absoluto, entonces .
Candidato es mejor que el candidato si y solo si .
Candidato es un ganador potencial si y solo si para todos los demás candidatos .
Se puede probar que y juntos implican . [1] : §4.1 Por lo tanto, se garantiza (1) que la definición anterior de " mejor " realmente define una relación transitiva y (2) que siempre hay al menos un candidato con para todos los demás candidatos .
Ejemplo
En el siguiente ejemplo, 45 votantes clasifican a 5 candidatos.
Las preferencias por pares deben calcularse primero. Por ejemplo, al comparar A y B pairwise, hay 5 + 5 + 3 + 7 = 20 votantes que prefieren la A a B , y 8 + 2 + 7 + 8 = 25 votantes que prefieren B a A . Entonces y . El conjunto completo de preferencias por pares es:
20 | 26 | 30 | 22 | ||
25 | dieciséis | 33 | 18 | ||
19 | 29 | 17 | 24 | ||
15 | 12 | 28 | 14 | ||
23 | 27 | 21 | 31 |
Las celdas para d [X, Y] tienen un fondo verde claro si d [X, Y]> d [Y, X]; de lo contrario, el fondo es rojo claro. No hay un ganador indiscutible si solo observamos las diferencias por pares aquí.
Ahora hay que identificar los caminos más fuertes. Para ayudar a visualizar las rutas más fuertes, el conjunto de preferencias por pares se representa en el diagrama de la derecha en forma de gráfico dirigido . Una flecha desde el nodo que representa a un candidato X al que representa a un candidato Y se etiqueta con d [X, Y]. Para evitar saturar el diagrama, solo se ha dibujado una flecha de X a Y cuando d [X, Y]> d [Y, X] (es decir, las celdas de la tabla con fondo verde claro), omitiendo la que está en la dirección opuesta (la celdas de tabla con fondo rojo claro).
Un ejemplo de cálculo de la fuerza del camino más fuerte es p [B, D] = 33: el camino más fuerte de B a D es el camino directo (B, D) que tiene una fuerza 33. Pero cuando se calcula p [A, C], el El camino más fuerte de A a C no es el camino directo (A, C) de la fuerza 26, más bien el camino más fuerte es el camino indirecto (A, D, C) que tiene fuerza min (30, 28) = 28. La fuerza de un camino es la fuerza de su eslabón más débil.
Para cada par de candidatos X e Y, la siguiente tabla muestra la ruta más fuerte del candidato X al candidato Y en rojo, con el eslabón más débil subrayado .
A De | A | B | C | D | mi | |
---|---|---|---|---|---|---|
A | N / A | A- (30) -D- (28) -C- (29) -B | A- (30) -D- (28) -C | A- (30) -D | A- (30) -D- (28) -C- (24) -E | A |
B | B- (25) -A | N / A | B- (33) -D- (28) -C | B- (33) -D | B- (33) -D- (28) -C- (24) -E | B |
C | C- (29) -B- (25) -A | C- (29) -B | N / A | C- (29) -B- (33) -D | C- (24) -E | C |
D | D- (28) -C- (29) -B- (25) -A | D- (28) -C- (29) -B | D- (28) -C | N / A | D- (28) -C- (24) -E | D |
mi | E- (31) -D- (28) -C- (29) -B- (25) -A | E- (31) -D- (28) -C- (29) -B | E- (31) -D- (28) -C | E- (31) -D | N / A | mi |
A | B | C | D | mi | De A |
28 | 28 | 30 | 24 | ||
25 | 28 | 33 | 24 | ||
25 | 29 | 29 | 24 | ||
25 | 28 | 28 | 24 | ||
25 | 28 | 28 | 31 |
Ahora se puede determinar el resultado del método Schulze. Por ejemplo, al comparar A y B , ya que, Para el método de Schulze candidato A es mejor que el candidato B . Otro ejemplo es que, entonces el candidato E es mejor que el candidato D. Continuando de esta manera, el resultado es que la clasificación de Schulze es, y E gana. En otras palabras, E gana ya que para todos los demás candidatos X.
Implementación
El único paso difícil en la implementación del método Schulze es calcular las fortalezas de la ruta más fuerte. Sin embargo, este es un problema bien conocido en la teoría de grafos, a veces llamado problema de la ruta más amplia . Una forma sencilla de calcular las fortalezas, por lo tanto, es una variante del algoritmo Floyd-Warshall . El siguiente pseudocódigo ilustra el algoritmo.
# Entrada: d [i, j], el número de votantes que prefieren al candidato i al candidato j.# Resultado: p [i, j], la fuerza del camino más fuerte del candidato i al candidato j.para i de 1 a C para j de 1 a C si (i ≠ j) entonces si (d [i, j]> d [j, i]) entonces p [i, j]: = d [i, j] demás p [i, j]: = 0para i de 1 a C para j de 1 a C si (i ≠ j) entonces para k de 1 a C si (i ≠ k y j ≠ k) entonces p [j, k]: = max (p [j, k], min (p [j, i], p [i, k]))
Este algoritmo es eficiente y tiene un tiempo de ejecución O ( C 3 ) donde C es el número de candidatos.
Vínculos e implementaciones alternativas
Al permitir que los usuarios tengan vínculos en sus preferencias, el resultado del método Schulze depende naturalmente de cómo se interpreten estos vínculos al definir d [*, *]. Dos opciones naturales son que d [A, B] representa el número de votantes que prefieren estrictamente A a B (A> B), o el margen de (votantes con A> B) menos (votantes con B> A). Pero no importa cómo se definan las d s, la clasificación de Schulze no tiene ciclos y, asumiendo que las d s son únicas, no tiene ataduras. [1]
Aunque los empates en el ranking de Schulze son poco probables, [2] [ cita requerida ] son posibles. El artículo original de Schulze [1] proponía romper los lazos de acuerdo con un votante seleccionado al azar e iterar según sea necesario.
Una forma alternativa de describir al ganador del método Schulze es el siguiente procedimiento: [ cita requerida ]
- Dibujar un gráfico dirigido completo con todos los candidatos y todos los bordes posibles entre candidatos.
- iterativamente [a] elimine todos los candidatos que no estén en el conjunto de Schwartz (es decir, cualquier candidato x que no pueda llegar a todos los demás que alcancen x ) y [b] elimine el borde del gráfico con el valor más pequeño (si por márgenes, margen más pequeño; si por votos, menos votos).
- el ganador es el último candidato no eliminado.
Hay otra forma alternativa de demostrar el ganador del método Schulze. Este método es equivalente a los otros que se describen aquí, pero la presentación está optimizada para que la importancia de los pasos sea visualmente aparente a medida que los recorre, no para el cálculo.
- Cree la tabla de resultados, denominada "matriz de preferencias por pares", como la que se utilizó anteriormente en el ejemplo. Si usa márgenes en lugar de totales de votos brutos, réstelos de su transposición. Entonces, cada número positivo es una victoria por parejas para el candidato en esa fila (y marcada en verde), los empates son ceros y las pérdidas son negativas (marcadas en rojo). Ordena a los candidatos por cuánto tiempo duran en eliminación.
- Si hay un candidato sin rojo en su línea, gana.
- De lo contrario, dibuje un cuadro cuadrado alrededor del conjunto de Schwartz en la esquina superior izquierda. Puede describirlo como el "círculo de ganadores" mínimo de candidatos que no pierden ante nadie fuera del círculo. Tenga en cuenta que a la derecha del cuadro no hay rojo, lo que significa que es un círculo de ganadores, y tenga en cuenta que dentro del cuadro no hay reordenación posible que produciría un círculo de ganadores más pequeño.
- Recorta todas las partes de la mesa que no estén en la caja.
- Si todavía no hay ningún candidato sin rojo en su línea, es necesario comprometer algo; todos los candidatos perdieron alguna carrera, y la derrota que mejor toleramos es aquella en la que el perdedor obtuvo más votos. Por lo tanto, tome el glóbulo rojo con el número más alto (si va por márgenes, el menos negativo), hágalo verde, o cualquier color que no sea rojo, y vuelva al paso 2.
Aquí hay una tabla de márgenes hecha del ejemplo anterior. Tenga en cuenta el cambio de orden utilizado para fines de demostración.
mi | A | C | B | D | |
---|---|---|---|---|---|
mi | 1 | -3 | 9 | 17 | |
A | -1 | 7 | -5 | 15 | |
C | 3 | -7 | 13 | -11 | |
B | -9 | 5 | -13 | 21 | |
D | -17 | -15 | 11 | -21 |
La primera caída (la derrota de A ante E por 1 voto) no ayuda a reducir el conjunto de Schwartz.
mi | A | C | B | D | |
---|---|---|---|---|---|
mi | 1 | -3 | 9 | 17 | |
A | -1 | 7 | -5 | 15 | |
C | 3 | -7 | 13 | -11 | |
B | -9 | 5 | -13 | 21 | |
D | -17 | -15 | 11 | -21 |
Así que pasamos directamente a la segunda caída (la derrota de E ante C por 3 votos), y eso nos muestra al ganador, E, con su fila clara.
mi | A | C | B | D | |
---|---|---|---|---|---|
mi | 1 | -3 | 9 | 17 | |
A | -1 | 7 | -5 | 15 | |
C | 3 | -7 | 13 | -11 | |
B | -9 | 5 | -13 | 21 | |
D | -17 | -15 | 11 | -21 |
Este método también se puede usar para calcular un resultado, si crea la tabla de tal manera que pueda reorganizar de manera conveniente y confiable el orden de los candidatos tanto en la fila como en la columna (use el mismo orden en ambas en todo momento).
Criterios satisfechos y fallidos
Criterios satisfechos
El método Schulze satisface los siguientes criterios:
- Dominio sin restricciones
- No imposición ( también conocida como soberanía ciudadana )
- No dictadura
- Criterio de Pareto [1] : §4.3
- Criterio de monotonicidad [1] : §4.5
- Criterio de mayoría
- Criterio de perdedor mayoritario
- Criterio de Condorcet
- Criterio del perdedor de Condorcet
- Criterio de Schwartz
- Criterio de Smith [1] : §4.7
- Independencia de las alternativas dominadas por Smith [1] : §4.7
- Criterio de mayoría mutua
- Independencia de los clones [1] : §4.6
- Simetría de inversión [1] : §4.4
- Agregar mono [3]
- Mono-add-regordete [3]
- Criterio de resolubilidad [1] : §4.2
- Tiempo de ejecución polinomial [1] : §2.3 "
- prudencia [1] : §4.9 "
- Conjuntos MinMax [1] : §4.8 "
- Criterio de pluralidad de Woodall si los votos ganadores se utilizan para d [X, Y]
- Compleción simétrica [3] si los márgenes se utilizan para d [X, Y]
Criterios fallidos
Dado que el método Schulze satisface el criterio de Condorcet, falla automáticamente los siguientes criterios:
- Participación [1] : §3.4
- Consistencia
- Invulnerabilidad al compromiso
- Invulnerabilidad al enterramiento
- Más tarde sin daño
Asimismo, dado que el método de Schulze no es una dictadura y concuerda con los votos unánimes, el teorema de Arrow implica que falla el criterio
- Independencia de alternativas irrelevantes
El método Schulze también falla
- Criterio de Peyton Young Independencia local de alternativas irrelevantes .
Tabla de comparación
La siguiente tabla compara el método Schulze con otros métodos de elección preferencial de un solo ganador:
Sistema | Monotónico | Condorcet | Mayoria | Perdedor de Condorcet | Perdedor de la mayoría | Mayoría mutua | Herrero | ISDA | LIIA | Independencia de los clones | Simetría de inversión | Participación , consistencia | Más tarde sin daño | Más tarde sin ayuda | Tiempo polinomial | Resolubilidad |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schulze | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | sí | sí | No | No | No | sí | sí |
Parejas clasificadas | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | No | No | sí | sí |
Ciclo dividido | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | sí | sí | No | No | No | sí | No |
La alternativa de Tideman | No | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | sí | No | No | No | No | sí | sí |
Kemeny – Young | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | sí | No | No | No | No | sí |
Copeland | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | No | sí | No | No | No | sí | No |
Nanson | No | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | No | No | sí | No | No | No | sí | sí |
Negro | sí | sí | sí | sí | sí | No | No | No | No | No | sí | No | No | No | sí | sí |
Votación de segunda vuelta instantánea | No | No | sí | sí | sí | sí | No | No | No | sí | No | No | sí | sí | sí | sí |
Smith / IRV | No | sí | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | sí | No | No | No | No | sí | sí |
Borda | sí | No | No | sí | sí | No | No | No | No | No | sí | sí | No | sí | sí | sí |
Baldwin | No | sí | sí | sí | sí | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí |
Bucklin | sí | No | sí | No | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí | sí |
Pluralidad | sí | No | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí | sí | sí | sí |
Voto contingente | No | No | sí | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí | sí | sí |
Coombs [4] | No | No | sí | sí | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí |
MiniMax | sí | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí |
Anti-pluralidad [4] | sí | No | No | No | sí | No | No | No | No | No | No | sí | No | No | sí | sí |
Voto contingente de Sri Lanka | No | No | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí | sí | sí |
Votación suplementaria | No | No | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | No | sí | sí | sí | sí |
Dodgson [4] | No | sí | sí | No | No | No | No | No | No | No | No | No | No | No | No | sí |
La principal diferencia entre el método de Schulze y el método de pares clasificados se puede ver en este ejemplo:
Supongamos que la puntuación MinMax de un conjunto X de candidatos es la fuerza de la victoria por pares más fuerte de un candidato A ∉ X contra un candidato B ∈ X . Entonces, el método Schulze, pero no las parejas clasificadas, garantiza que el ganador es siempre un candidato del conjunto con una puntuación mínima de MinMax. [1] : §4.8 Entonces, en cierto sentido, el método Schulze minimiza la mayoría más grande que debe revertirse al determinar el ganador.
Por otro lado, los pares clasificados minimizan la mayoría más grande que tiene que revertirse para determinar el orden de llegada, en el sentido minlexmax. [ cita requerida ] [5] En otras palabras, cuando las parejas clasificadas y el método Schulze producen diferentes órdenes de finalización, para las mayorías en las que las dos órdenes de finalización no están de acuerdo, la orden de Schulze invierte una mayoría mayor que la orden de las parejas clasificadas.
Historia
El método Schulze fue desarrollado por Markus Schulze en 1997. Se discutió por primera vez en listas de correo públicas en 1997-1998 [6] y en 2000. [7] Posteriormente, los usuarios del método Schulze incluyeron Debian (2003), [8] Gentoo (2005). ), [9] Topcoder (2005), [10] Wikimedia (2008), [11] KDE (2008), [12] el Partido Pirata de Suecia (2009), [13] y el Partido Pirata de Alemania (2010). . [14] En la Wikipedia francesa, el método Schulze fue uno de los dos métodos multicandidatos aprobados por mayoría en 2005, [15] y se ha utilizado varias veces. [16] El capítulo recién formado de Boise, Idaho de los Socialistas Democráticos de América en febrero eligió este método para su primera elección especial celebrada en marzo de 2018. [17]
En 2011, Schulze publicó el método en la revista académica Social Choice and Welfare . [1]
Usuarios
La ciudad de Silla utiliza el método Schulze para todos los referendos. Es utilizado por el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos , por la Asociación de Maquinaria de Computación y por USENIX mediante el uso de la herramienta de decisión HotCRP. El método Schulze es utilizado por las ciudades de Turín y San Donà di Piave y por el distrito londinense de Southwark mediante el uso de la plataforma WeGovNow, que a su vez utiliza la herramienta de decisión LiquidFeedback . Las organizaciones que actualmente utilizan el método Schulze incluyen:
- AEGEE - Foro de estudiantes europeos [18]
- Asociación Annodex [19]
- Gobierno estudiantil asociado en la Universidad Northwestern [20]
- Gobierno estudiantil asociado en la Universidad de Friburgo [21]
- Gobierno estudiantil asociado en el Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Kaiserslautern [22]
- Berufsverband der Kinder- und Jugendärzte (BVKJ) [23]
- BoardGameGeek [24]
- Club der Ehemaligen der Deutschen SchülerAkademien e. V. [25]
- Agencia Colectiva [26]
- Highpointers del condado [27]
- Debian [8]
- EuroBillTracker [28]
- Comunidad Europea de Educación Democrática (EUDEC) [29]
- FFmpeg [30]
- Movimiento Cinco Estrellas de Campobasso , [31] Fondi , [32] Monte Compatri , [33] Montemurlo , [34] Pescara , [35] y San Cesareo [36]
- Sociedad Flamenca de Estudiantes de Ingeniería de Lovaina [37]
- Free Geek [38]
- Fundación de Hardware Libre de Italia [39]
- Fundación Gentoo [9]
- GlitzerKollektiv [40]
- Guardia de privacidad GNU (GnuPG) [41]
- Organización de estudiantes de posgrado en la Universidad Estatal de Nueva York: Ciencias de la Computación (GSOCS) [42]
- Haskell [43]
- Casa de Hillegass Parker [44]
- Corporación de Internet para la Asignación de Nombres y Números (ICANN) [45]
- Generador Ithaca [46]
- Club de Scrabble del Valle de Kanawha [47]
- KDE eV [12]
- Kingman Hall [48]
- Fundación Knight [49]
- Kubuntu [50]
- Kumoricon [51]
- Liga de Administradores de Sistemas Profesionales (LOPSA) [52]
- LiquidFeedback [53]
- Madisonium [54]
- Metalab [55]
- Music Television (MTV) [56]
- Neo [57]
- Nuevos liberales [58]
- Puente de ruido [59]
- OpenEmbedded [60]
- OpenStack [61]
- OpenSwitch [62]
- Partido pirata de Australia [63]
- Partido Pirata de Austria [64]
- Partido Pirata de Bélgica [65]
- Partido Pirata de Brasil
- Partido Pirata de Alemania [14]
- Partido Pirata de Islandia [66]
- Partido Pirata de Italia [67]
- Partido Pirata de los Países Bajos [68]
- Partido Pirata de Nueva Zelanda [69]
- Partido Pirata de Suecia [13]
- Partido Pirata de Suiza [70]
- Partido Pirata de los Estados Unidos [71]
- RLLMUK [72]
- Chirrido [73]
- Estudiantes por la cultura libre [74]
- Laboratorios de azúcar [75]
- SustainableUnion [76]
- Sverok [77]
- TestPAC [78]
- TopCoder [10]
- Ubuntu [79]
- Premios Vidya Gaem [80]
- Voltio Europa [81]
- Wikipedia en francés , [15] hebreo , [82] húngaro , [83] ruso , [84] y persa . [85]
Notas
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q Markus Schulze, Un nuevo método de elección de un solo ganador monótono, independiente de clones, simétrico de reversión y consistente con condorcet , Elección social y bienestar, volumen 36, número 2, páginas 267-303, 2011. Versión preliminar en Voting Matters , 17: 9-19, 2003.
- ^ Bajo supuestos probabilísticos razonables cuando el número de votantes es mucho mayor que el número de candidatos
- ^ a b c Douglas R. Woodall, Propiedades de las reglas de elección preferencial , Asuntos de votación , número 3, páginas 8 a 15, diciembre de 1994
- ^ a b c En contra de la pluralidad, se supone que Coombs y Dodgson reciben preferencias truncadas al distribuir por igual las posibles clasificaciones de las alternativas no incluidas en la lista; por ejemplo, la papeleta A> B = C se cuenta como A> B> C y A> C> B. Si se supone que estos métodos no reciben preferencias truncadas, entonces no se aplican más tarde sin daño y más tarde sin ayuda .
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- ^ a b 11 de las 16 secciones regionales y la sección federal del Partido Pirata de Alemania están utilizando LiquidFeedback para desvincular las encuestas de opinión internas. En 2010/2011, los partidos piratas de Neukölln ( enlace ), Mitte ( enlace ), Steglitz-Zehlendorf ( enlace ), Lichtenberg ( enlace ) y Tempelhof-Schöneberg ( enlace ) adoptaron el método Schulze para sus primarias. Además, el Partido Pirata de Berlín (en 2011) ( enlace ) y el Partido Pirata de Ratisbona (en 2012) ( enlace ) adoptaron este método para sus primarias.
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enlaces externos
- El método de votación Schulze por Markus Schulze
- Cálculos de Condorcet por Johannes Grabmeier
- Spieltheorie (en alemán) de Bernhard Nebel
- Democracia precisa por Rob Loring
- Christoph Börgers (2009), Matemáticas de la elección social: votación, compensación y división , SIAM, ISBN 0-89871-695-0
- Nicolaus Tideman (2006), Decisiones colectivas y votación: el potencial de la elección pública , Burlington: Ashgate, ISBN 0-7546-4717-X
- herramientas previas del Public Software Group
- Arizonenses para la votación por rango de Condorcet
- Condorcet PHP Aplicación de línea de comandos y biblioteca PHP , que admite múltiples métodos Condorcet, incluido Schulze.
- Implementación en Java
- Implementación en Ruby
- Implementación en Python 2
- Implementación en Python 3