En matemáticas, la linterna de Schwarz (también conocida como linterna china o bota de Schwarz , en honor al matemático Hermann Schwarz ) es un ejemplo patológico de la dificultad de definir el área de una superficie lisa (curva) como el límite de las áreas de poliedros . [1] La superficie curva en cuestión es una parte de un cilindro circular recto . La aproximación poliédrica discreta considerada tiene "cortes" axiales. Los vértices se colocan radialmente a lo largo de cada corte a una distancia circunferencial de de cada uno. Es importante destacar que los vértices se colocan de modo que cambien de fase porcon cada rebanada. [2] [3]
Como mostró Schwarz, no es suficiente simplemente aumentar y si deseamos que el área de la superficie del poliedro converja con el área de la superficie de la superficie curva. Dependiendo de la relación de y el área de la linterna puede converger con el área del cilindro, hasta un límite arbitrariamente mayor que el área del cilindro, hasta el infinito o, en otras palabras, divergir. Por lo tanto, la linterna de Schwarz demuestra que simplemente conectar los vértices inscritos no es suficiente para garantizar la convergencia del área de la superficie. [2] [3]
La superficie poliédrica se parece a una linterna de papel cilíndrica . La suma de los ángulos en cada vértice es igual a dos ángulos planos (radianes). Esto tiene como consecuencia que la linterna Schwarz se puede plegar en una hoja de papel plana. El patrón de pliegue para esta superficie plegada, una teselación del papel por triángulos isósceles , también se ha llamado patrón de Yoshimura , [4] por el trabajo de Y. Yoshimura en el patrón de pandeo de Yoshimura de superficies cilíndricas bajo compresión axial, que puede ser similar en forma a la linterna Schwarz. [5]
Relación con la longitud del arco y el área de la superficie
En la obra de Arquímedes ya parece que la longitud de un círculo puede aproximarse por la longitud de poliedros regulares inscritos o circunscritos en el círculo. [6] [7] En general, para curvas lisas o rectificables, su longitud puede definirse como el supremo de las longitudes de las curvas poligonales inscritas en ellas. La linterna de Schwarz muestra que el área de la superficie no se puede definir como el supremo de las superficies poliédricas inscritas. [8]
Historia
Schwarz ideó su construcción como un contraejemplo a la definición errónea en el libro de JA Serret Cours de calcul differentiel et integral , segundo volumen, página 296 de la primera edición o página 298 de la segunda edición, en la que se dice:
Soit une parte de la superficie courbe terminee par un contorno ; nous nommerons aire de cette surface la limite vers laquelle tender l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal ayant pour limite le contour .
Il faut demontrer que la limite existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite '.
En Inglés
Deje que una parte de la superficie curva termine con un contorno ; llamaremos al área de esta superficie el límite hacia el cual el área de una superficie poliedro inscrita forma caras triangulares y termina con un contorno poligonal cuyo límite es el contorno .
Debe demostrarse que el límite existe y que es independiente de la ley según la cual disminuyen las caras de la superficie poliédrica inscrita.
Independientemente de Schwarz, Giuseppe Peano encontró el mismo contraejemplo mientras era alumno de su maestro Angelo Genocchi , quien ya conocía la dificultad de definir la superficie por su comunicación con Schwarz. Genocchi informó a Charles Hermite , que había estado usando la definición errónea de Serret en su curso. Después de solicitar detalles a Schwarz, Hermite revisó su curso y publicó el ejemplo en la segunda edición de sus notas de conferencia (1883). La nota original de Schwarz no se publicó hasta la segunda edición de sus obras completas en 1890. [9]
Límites del área
Un cilindro circular recto de radio y altura se puede parametrizar en coordenadas cartesianas usando las ecuaciones
por y . La linterna Schwarz es un poliedro con caras triangulares inscritas en el cilindro.
Los vértices del poliedro corresponden en la parametrización a los puntos
y los puntos
con y . Todas las caras son triángulos isósceles congruentes entre sí. La base y la altura de cada uno de estos triángulos tienen longitudes
respectivamente. Esto da una superficie total para la linterna Schwarz.
- .
Simplificando los senos cuando
- .
De esta fórmula se sigue que:
- Si por alguna constante , luego Cuándo . Este límite es el área de la superficie del cilindro en el que está inscrita la linterna Schwarz.
- Si por alguna constante , luego Cuándo . Este límite depende del valor de y puede hacerse igual a cualquier número no menor que el área del cilindro .
- Si , luego como .
Referencias
- ^ Zames, Frieda (septiembre de 1977). "El área de la superficie y la paradoja del área del cilindro" . El diario universitario de matemáticas de dos años . 8 (4): 207–211. doi : 10.2307 / 3026930 . JSTOR 3026930 .
- ^ a b Dubrovsky, Vladimir (marzo-abril de 1991). "En busca de una definición de superficie" (PDF) . Quantum . 1 (4): 6-9 y 64.
- ^ a b Berger, Marcel (1987). Geometría I . Universitext. Springer-Verlag, Berlín. págs. 263-264. doi : 10.1007 / 978-3-540-93815-6 . ISBN 978-3-540-11658-5. Señor 2724360 .
- ^ Miura, Koryo; Tachi, Tomohiro (2010). "Síntesis de poliedros cilíndricos rígidos-plegables" (PDF) . Symmetry: Art and Science, VIII Congreso y Exposición de ISIS . Gmünd.
- ^ Yoshimura, Yoshimaru (julio de 1955). Sobre el mecanismo de pandeo de una carcasa cilíndrica circular bajo compresión axial . Memorando Técnico 1390. Comité Asesor Nacional de Aeronáutica.
- ^ Traub, Gilbert (1984). El desarrollo del análisis matemático de la longitud de la curva de Arquímedes a Lebesgue (tesis doctoral). Universidad de Nueva York. pag. 470. MR 2633321 .
- ^ Brodie, Scott E. (1980). "Axiomas de Arquímedes para longitud de arco y área". Revista de Matemáticas . 53 (1): 36–39. doi : 10.1080 / 0025570X.1980.11976824 . JSTOR 2690029 . Señor 0560018 .
- ^ Makarov, Boris; Podkorytov, Anatolii (2013). "Sección 8.2.4". Análisis real: medidas, integrales y aplicaciones . Universitext. Springer-Verlag, Berlín. págs. 415–416. doi : 10.1007 / 978-1-4471-5122-7 . ISBN 978-1-4471-5121-0. Señor 3089088 .
- ^ Schwarz, HA (1890). "Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe" . Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz (en francés). Verlag von Julius Springer. págs. 309–311.
enlaces externos
- Bogomolny, Alexander. "Explicación de la linterna de Schwarz" . Corta el nudo .