Métrica de Schwarzschild

Parte de una serie de artículos sobre
Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de relatividad Teoría de la relatividad Covarianza general Simultaneidad Relatividad de la simultaneidad Movimiento relativo Evento Marco de referencia Marco de referencia inercial Masa Masa inercial Marco de descanso Marco de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Principio de equivalencia Masa en relatividad general Equivalencia masa-energía Invariante Masa invariante Simetrías del espacio-tiempo Relatividad especial Relatividad doblemente especial Relatividad especial invariante de De Sitter Relatividad de escala Velocidad de la luz Derivada de tiempo Momento apropiado Longitud adecuada Contracción de la longitud Acción a distancia Principio de localidad Geometría riemanniana Condición energética
Fenómenos Gravitoelectromagnetismo Problema de Kepler Gravedad Campo gravitacional Pozo de gravedad Lente gravitacional Ondas gravitacionales Desplazamiento al rojo gravitacional Redshift Cambio azúl Dilatación del tiempo Dilatación del tiempo gravitacional Retraso de tiempo de Shapiro Potencial gravitacional Compresión gravitacional Colapso gravitacional Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidad gravitacional Singularidad desnuda Calabozo Agujero blanco Tiempo espacial Flecha del tiempo Cono de luz Línea mundial Espacio tridimensional Espacio de cuatro dimensiones Espacio Hora Colector Colector liso Colector de Riemann Espacio de configuración Espacio de Estados Espacio de fase Espacio Hilbert Espacio euclidiano Espacio topológico Defecto topológico Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva de tiempo cerrada (CTC) Agujero de gusano Ellis agujero de gusano
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividad general) Transformación de Lorentz Variedad lorentziana Variedad globalmente hiperbólica Condiciones de causalidad Estructura causal Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Brans-Dicke Hipótesis de la censura cósmica Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica Supergravedad
Soluciones Disco relativista Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solución de vacío
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de la división de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de lovelock Teorema sin pelo Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking Teorema de la energía positiva
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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En Einstein teoría de la 's relatividad general , la métrica de Schwarzschild (también conocido como el vacío Schwarzschild o solución de Schwarzschild ) es la solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitatorio fuera de una masa esférica, en el supuesto de que la carga eléctrica de la la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son todos cero. La solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos que giran lentamente, como muchas estrellas y planetas., incluyendo la Tierra y el Sol. Fue encontrado por Karl Schwarzschild en 1916, y casi al mismo tiempo de forma independiente por Johannes Droste , quien publicó su discusión mucho más completa y de aspecto moderno solo cuatro meses después de Schwarzschild.

Según el teorema de Birkhoff , la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein. Un agujero negro de Schwarzschild o un agujero negro estático es un agujero negro que no tiene carga eléctrica ni momento angular. Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild excepto por su masa.

El agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por un límite esférico circundante, llamado horizonte de sucesos , que está situado en el radio de Schwarzschild , a menudo llamado radio de un agujero negro. El límite no es una superficie física, y si una persona cayera a través del horizonte de eventos (antes de ser destrozada por las fuerzas de las mareas), no notarían ninguna superficie física en esa posición; es una superficie matemática que es importante para determinar las propiedades del agujero negro. Cualquier masa no giratoria y sin carga que sea más pequeña que su radio de Schwarzschild forma un agujero negro. La solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa M, así que en principio (según la teoría de la relatividad general) podría existir un agujero negro de Schwarzschild de cualquier masa si las condiciones fueran lo suficientemente favorables para permitir su formación.

Formulación

Más información: Derivación de la solución de Schwarzschild

La métrica de Schwarzschild es una métrica de Lorentzian esféricamente simétrica (aquí, con la convención de firma (-, +, +, +) ,) definida en (un subconjunto de)

${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$

donde es el espacio euclidiano tridimensional y las dos esferas. El grupo de rotación actúa sobre el factor o como rotaciones alrededor del centro , dejando el primer factor sin cambios. La métrica de Schwarzschild es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el espacio vacío, lo que significa que es válida solo fuera del cuerpo gravitante. Es decir, para un cuerpo esférico de radio la solución es válida . Para describir el campo gravitacional tanto dentro como fuera del cuerpo gravitante, la solución de Schwarzschild debe coincidir con alguna solución interior adecuada en , ^[1] como la métrica interior de Schwarzschild .${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$${\displaystyle SO(3)=SO(E^{3})}$${\displaystyle E^{3}-O}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r=R}$

En las coordenadas de Schwarzschild, la métrica de Schwarzschild (o equivalentemente, el elemento de línea para el tiempo adecuado ) tiene la forma${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle g=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega },}$

donde está la métrica en las dos esferas, es decir . Es más, ${\displaystyle g_{\Omega }}$${\displaystyle g_{\Omega }=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$es positivo para el tiempo como curvas, y es el tiempo adecuado (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea del mundo con la partícula de prueba )${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle t}$ es la coordenada de tiempo (medida por un reloj estacionario ubicado infinitamente lejos del cuerpo masivo),
• ${\displaystyle r}$es la coordenada radial (medida como la circunferencia, dividida por 2 π , de una esfera centrada alrededor del cuerpo masivo),
• ${\displaystyle \Omega }$es un punto en las dos esferas ,${\displaystyle S^{2}}$
• ${\displaystyle \theta }$ es la colatitud de (ángulo desde el norte, en unidades de radianes ) definida después de elegir arbitrariamente un eje z ,${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \phi }$es la longitud de (también en radianes) alrededor del eje z elegido , y${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle r_{s}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, un factor de escala que está relacionado con su masa por , donde es la constante gravitacional . ^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$${\displaystyle G}$

La métrica de Schwarzschild tiene una singularidad para la cual es una singularidad de curvatura intrínseca. También parece tener una singularidad en el horizonte de eventos . Dependiendo del punto de vista, la métrica se define, por tanto, solo en la región exterior , solo en la región interior o su unión disjunta. Sin embargo, la métrica no es singular en todo el horizonte de eventos, como se ve en las coordenadas adecuadas (ver más abajo). Porque , la métrica de Schwarzschild es asintótica con la métrica estándar de Lorentz en el espacio de Minkowski. Para casi todos los objetos astrofísicos, la proporción es extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es aproximadamente${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r=r_{s}}$${\displaystyle r>r_{s}}$${\displaystyle r<r_{s}}$${\displaystyle r\gg r_{s}}$${\displaystyle {\frac {r_{s}}{R}}}$${\displaystyle r_{s}^{(\mathrm {Earth} )}}$8,9 mm , mientras que el Sol, que es3,3 × 10 ⁵ veces más masivo ^[3] tiene un radio de Schwarzschild de aproximadamente 3,0 km. La proporción se vuelve grande solo en las proximidades de los agujeros negros y otros objetos ultra densos como las estrellas de neutrones .${\displaystyle r_{s}^{(\mathrm {Sun} )}}$

La coordenada radial resulta tener un significado físico como la "distancia adecuada entre dos eventos que ocurren simultáneamente en relación con los relojes geodésicos que se mueven radialmente, los dos eventos que se encuentran en la misma línea de coordenadas radiales". ^[4]

La solución de Schwarzschild es análoga a una teoría de la gravedad newtoniana clásica que corresponde al campo gravitacional alrededor de una partícula puntual. Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. ^[5]

Historia

La solución de Schwarzschild recibe su nombre en honor a Karl Schwarzschild , quien encontró la solución exacta en 1915 y la publicó en enero de 1916, ^[6] poco más de un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein además de la solución trivial del espacio plano . Schwarzschild murió poco después de la publicación de su artículo, como resultado de una enfermedad que desarrolló mientras servía en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial . ^[7]

Johannes Droste en 1916 ^[8] produjo de forma independiente la misma solución que Schwarzschild, utilizando una derivación más simple y directa. ^[9]

En los primeros años de la relatividad general hubo mucha confusión sobre la naturaleza de las singularidades encontradas en Schwarzschild y otras soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein . En el artículo original de Schwarzschild, puso lo que ahora llamamos horizonte de eventos en el origen de su sistema de coordenadas. ^{[10] [ fuente autoeditada? ]} En este artículo también introdujo lo que ahora se conoce como la coordenada radial de Schwarzschild ( r en las ecuaciones anteriores), como una variable auxiliar. En sus ecuaciones, Schwarzschild estaba usando una coordenada radial diferente que era cero en el radio de Schwarzschild.

David Hilbert ^[11] realizó un análisis más completo de la estructura de la singularidad al año siguiente, identificando las singularidades tanto en r = 0 como en r = r _s . Aunque hubo un consenso general de que la singularidad en r = 0 era una singularidad física "genuina", la naturaleza de la singularidad en r = r _s no quedó clara. ^[12]

En 1921 Paul Painlevé y en 1922 Allvar Gullstrand produjeron independientemente una métrica, una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein, que ahora sabemos que es la transformación de coordenadas de la métrica de Schwarzschild, coordenadas de Gullstrand-Painlevé , en la que no había singularidad en r = r _s . Sin embargo, no reconocieron que sus soluciones eran solo transformaciones de coordenadas y, de hecho, usaron su solución para argumentar que la teoría de Einstein estaba equivocada. En 1924 Arthur Eddington produjo la primera transformación de coordenadas (coordenadas de Eddington-Finkelstein ) que mostró que la singularidad en r = r_s era un artefacto de coordenadas, aunque también parece haber ignorado la importancia de este descubrimiento. Posteriormente, en 1932, Georges Lemaître dio una transformación de coordenadas diferente ( coordenadas de Lemaître ) con el mismo efecto y fue el primero en reconocer que esto implicaba que la singularidad en r = r _s no era física. En 1939, Howard Robertson demostró que un observador en caída libre que desciende en la métrica de Schwarzschild cruzaría lasingularidad r = r _s en una cantidad finita de tiempo propio , aunque esto tomaría una cantidad infinita de tiempo en términos de tiempo coordenado t. ^[12]

En 1950, John Synge produjo un artículo ^[13] que mostraba la extensión analítica máxima de la métrica de Schwarzschild, mostrando nuevamente que la singularidad en r = r _s era un artefacto de coordenadas y que representaba dos horizontes. Un resultado similar fue redescubierto más tarde por George Szekeres , ^[14] e independientemente Martin Kruskal . ^[15] Las nuevas coordenadas hoy conocidas como coordenadas Kruskal-Szekereseran mucho más simples que los de Synge, pero ambos proporcionaban un único conjunto de coordenadas que cubría todo el espacio-tiempo. Sin embargo, quizás debido a la oscuridad de las revistas en las que se publicaron los artículos de Lemaître y Synge, sus conclusiones pasaron desapercibidas, y muchos de los principales actores en el campo, incluido Einstein, creyeron que la singularidad en el radio de Schwarzschild era física. ^[12]

Se logró un progreso real en la década de 1960 cuando las herramientas más exactas de la geometría diferencial entraron en el campo de la relatividad general, permitiendo definiciones más exactas de lo que significa que una variedad de Lorentz sea ​​singular. Esto llevó a la identificación definitiva de la singularidad r = r _s en la métrica de Schwarzschild como un horizonte de eventos (una hipersuperficie en el espacio-tiempo que se puede cruzar en una sola dirección). ^[12]

Singularidades y agujeros negros

La solución de Schwarzschild parece tener singularidades en r = 0 y r = r _s ; algunos de los componentes métricos "explotan" (implican división por cero o multiplicación por infinito) en estos radios. Dado que se espera que la métrica de Schwarzschild sea válida solo para los radios mayores que el radio R del cuerpo gravitante, no hay problema siempre que R > r _s . Para las estrellas y planetas ordinarios, este es siempre el caso. Por ejemplo, el radio del Sol es aproximadamente700 000  km , mientras que su radio de Schwarzschild es solamente3 km .

La singularidad en r = r _s divide las coordenadas de Schwarzschild en dos parches desconectados . La solución exterior de Schwarzschild con r > r _s es la que está relacionada con los campos gravitacionales de estrellas y planetas. La solución interior de Schwarzschild con 0 ≤ r < r _s , que contiene la singularidad en r = 0 , está completamente separada del parche exterior por la singularidad en r = r _s. Por lo tanto, las coordenadas de Schwarzschild no proporcionan una conexión física entre los dos parches, que pueden verse como soluciones separadas. Sin embargo, la singularidad en r = r _s es una ilusión; es una instancia de lo que se llama singularidad de coordenadas . Como su nombre lo indica, la singularidad surge de una mala elección de coordenadas o condiciones de coordenadas . Al cambiar a un sistema de coordenadas diferente (por ejemplo , coordenadas de Lemaitre , coordenadas de Eddington-Finkelstein , coordenadas de Kruskal-Szekeres , coordenadas de Novikov o coordenadas de Gullstrand-Painlevé ), la métrica se vuelve regular en r =r _sy puede extender el parche externo a valores de r menores que r _s . Usando una transformación de coordenadas diferente, uno puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno. ^[dieciséis]

Sin embargo, el caso r = 0 es diferente. Si uno pide que la solución sea válida para todo r, uno se encuentra con una verdadera singularidad física, o singularidad gravitacional , en el origen. Para ver que esta es una verdadera singularidad, uno debe mirar cantidades que son independientes de la elección de coordenadas. Una de esas cantidades importantes es el invariante de Kretschmann , que viene dado por

${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

En r = 0, la curvatura se vuelve infinita, lo que indica la presencia de una singularidad. En este punto, la métrica, y el propio espacio-tiempo, ya no están bien definidos. Durante mucho tiempo se pensó que tal solución no era física. Sin embargo, una mayor comprensión de la relatividad general llevó a la comprensión de que tales singularidades eran una característica genérica de la teoría y no solo un caso especial exótico.

La solución de Schwarzschild, considerada válida para todo r > 0 , se denomina agujero negro de Schwarzschild . Es una solución perfectamente válida de las ecuaciones de campo de Einstein, aunque (como otros agujeros negros) tiene propiedades bastante extrañas. Para r < r _s, la coordenada radial de Schwarzschild r se vuelve similar al tiempo y la coordenada temporal t se vuelve similar al espacio . ^[17] Una curva a r constante ya no es una línea de mundo posible.de una partícula u observador, ni siquiera si se ejerce una fuerza para tratar de mantenerlo allí; esto ocurre porque el espacio-tiempo se ha curvado tanto que la dirección de causa y efecto (el futuro cono de luz de la partícula ) apunta hacia la singularidad. ^{[ cita requerida ]} La superficie r = r _s demarca lo que se llama el horizonte de eventos del agujero negro. Representa el punto más allá del cual la luz ya no puede escapar del campo gravitacional. Cualquier objeto físico cuyo radio R sea ​​menor o igual que el radio de Schwarzschild ha sufrido un colapso gravitacional y se ha convertido en un agujero negro.

Coordenadas alternativas

La solución de Schwarzschild se puede expresar en un rango de diferentes opciones de coordenadas además de las coordenadas de Schwarzschild utilizadas anteriormente. Las diferentes opciones tienden a resaltar diferentes características de la solución. La siguiente tabla muestra algunas opciones populares.

Coordenadas alternativas ^[18]

Coordenadas	Elemento de línea	Notas	Características
Coordenadas de Eddington-Finkelstein (entrante)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}\,g_{\Omega }}$		regular en el horizonte futuro - el horizonte pasado está en v = - infinito
Coordenadas de Eddington-Finkelstein (saliente)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}g_{\Omega }}$		regular en el horizonte pasado se extiende a través del horizonte pasado. Horizonte futuro en u = infinito
Coordenadas de Gullstrand-Painlevé	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr+dr^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }}$		regular en el horizonte (+ futuro / pasado)
Coordenadas isotrópicas	${\displaystyle -{\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}+\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}$	${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$[19] Válido solo fuera del horizonte de eventos:${\displaystyle R>r_{s}/4}$	conos de luz isotrópicos en segmentos de tiempo constantes
Coordenadas de Kruskal-Szekeres	${\displaystyle -{\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)+r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}$	regular en el horizonte Se extiende al máximo al espacio-tiempo completo
Coordenadas de Lemaître	${\displaystyle -dT^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}}$	regular en el horizonte futuro / pasado
Coordenadas armónicas	${\displaystyle -{\frac {\rho -r_{\mathrm {s} }/2}{\rho +r_{\mathrm {s} }/2}}dt^{2}+{\frac {\rho +r_{\mathrm {s} }/2}{\rho -r_{\mathrm {s} }/2}}d\rho ^{2}+(\rho +r_{\mathrm {s} }/2)^{2}g_{\Omega }}$	${\displaystyle \rho =r-r_{\mathrm {s} }/2}$

En la tabla anterior, se han introducido algunas abreviaturas para abreviar. La velocidad de la luz c se ha establecido en uno . La notación

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

se utiliza para la métrica de una esfera bidimensional de radio unitario. Además, en cada entrada y denotar opciones alternativas de radial y coordenada de tiempo para las coordenadas particulares. Tenga en cuenta que el y / o pueden variar de una entrada a otra.${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen la forma a la que se puede aplicar la transformada de Belinski-Zakharov . Esto implica que el agujero negro de Schwarzschild es una forma de solitón gravitacional .

Paraboloide de Flamm

Una trama del paraboloide de Flamm. No debe confundirse con el concepto no relacionado de pozo de gravedad .

La curvatura espacial de la solución de Schwarzschild para r > r _s se puede visualizar como muestra el gráfico. Considere una rodaja ecuatorial constante de tiempo a través de la solución de Schwarzschild ( θ = ^π / ₂ , t = constante) y dejar que la posición de una partícula que se mueve en este plano se describirá con las coordenadas de Schwarzschild restantes ( r , phi ) . Imagine ahora que hay una dimensión euclidiana adicional w , que no tiene realidad física (no es parte del espacio-tiempo). Luego reemplace el ( r , φ )plano con una superficie con hoyuelos en la dirección w de acuerdo con la ecuación ( paraboloide de Flamm )

${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}$

Esta superficie tiene la propiedad de que las distancias medidas dentro de ella coinciden con las distancias en la métrica de Schwarzschild, porque con la definición de w anterior,

${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}}$

Por lo tanto, el paraboloide de Flamm es útil para visualizar la curvatura espacial de la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, no debe confundirse con un pozo de gravedad . Ninguna partícula ordinaria (masiva o sin masa) puede tener una línea de mundo sobre el paraboloide, ya que todas las distancias son espaciales (esta es una sección transversal en un momento determinado, por lo que cualquier partícula que se mueva sobre ella tendría una velocidad infinita ). Un taquión podría tener una línea de mundo similar a un espacio que se encuentra completamente en un solo paraboloide. Sin embargo, incluso en ese caso su geodésicaLa trayectoria no es la trayectoria que se obtiene a través de una analogía de "lámina de goma" del pozo gravitacional: en particular, si el hoyuelo se dibuja apuntando hacia arriba en lugar de hacia abajo, la trayectoria geodésica del taquión todavía se curva hacia la masa central, no hacia afuera. Consulte el artículo sobre pozos de gravedad para obtener más información.

El paraboloide de Flamm se puede derivar de la siguiente manera. La métrica euclidiana en las coordenadas cilíndricas ( r , φ , w ) se escribe

${\displaystyle ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Dejando que la superficie sea descrita por la función w = w ( r ) , la métrica euclidiana se puede escribir como

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

Comparando esto con la métrica de Schwarzschild en el plano ecuatorial ( θ =π/2) en un tiempo fijo ( t = constante, dt = 0 )

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

produce una expresión integral para w ( r ) :

${\displaystyle w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}$

cuya solución es el paraboloide de Flamm.

Movimiento orbital

Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y de Schwarzschild (derecha); nótese la precesión Apsidal a la derecha.

Más información: geodésicas de Schwarzschild

Una partícula que orbita en la métrica de Schwarzschild puede tener una órbita circular estable con r > 3 r _s . Órbitas circulares con r entre 1,5 r _s y 3 r _s son inestables, y no existen órbitas circulares para r <1,5 r _s . La órbita circular de radio mínimo de 1,5 r _s corresponde a una velocidad orbital que se aproxima a la velocidad de la luz. Es posible que una partícula tenga un valor constante de r entre r _s y 1,5 r _s, pero solo si alguna fuerza actúa para mantenerlo allí.

Las órbitas no circulares, como la de Mercurio , permanecen más tiempo en radios pequeños de lo que se esperaría en la gravedad newtoniana . Esto puede verse como una versión menos extrema del caso más dramático en el que una partícula atraviesa el horizonte de eventos y permanece dentro de él para siempre. Intermedio entre el caso de Mercurio y el caso de un objeto que cae más allá del horizonte de sucesos, existen posibilidades exóticas como las órbitas de filo de cuchillo, en las que se puede hacer que el satélite ejecute un número arbitrariamente grande de órbitas casi circulares, después de lo cual vuela hacia afuera.

Simetrías

El grupo de isometrías de la métrica de Schwarzschild es el subgrupo del grupo de Poincaré de diez dimensiones que toma el eje del tiempo (trayectoria de la estrella) a sí mismo. Omite las traslaciones espaciales (tres dimensiones) y potencia (tres dimensiones). Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones (tres dimensiones). Por tanto, tiene cuatro dimensiones. Como el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente de tiempo invertido; el componente de inversión espacial; y el componente que está invertido tanto en el tiempo como en el espacio.

Curvaturas

El escalar de curvatura de Ricci y el tensor de curvatura de Ricci son ambos cero. Los componentes distintos de cero del tensor de curvatura de Riemann son ^[20]

${\displaystyle R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{s}}{r^{2}(r_{s}-r)}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\theta \theta t}=2R^{r}{}_{\theta \theta r}=R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }={\frac {r_{s}}{r}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\phi \phi t}=2R^{r}{}_{\phi \phi r}=-R^{\theta }{}_{\phi \phi \theta }={\frac {r_{s}\sin ^{2}(\theta )}{r}},}$

${\displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{s}(r_{s}-r)}{r^{4}}}}$

Los componentes que se pueden obtener mediante las simetrías del tensor de Riemann no se muestran.

Para comprender el significado físico de estas cantidades, es útil expresar el tensor de curvatura en forma ortonormal. En una base ortonormal de un observador, los componentes distintos de cero en unidades geométricas son ^[20]

${\displaystyle R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{s}}{r^{3}}},}$

${\displaystyle R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{s}}{2r^{3}}}.}$

De nuevo, no se muestran los componentes que se pueden obtener mediante las simetrías del tensor de Riemann. Estos resultados son invariantes a cualquier impulso de Lorentz, por lo que los componentes no cambian para los observadores no estáticos. La ecuación de la desviación geodésica muestra que la aceleración de la marea entre dos observadores separados por es , por lo que un cuerpo de longitud se estira en la dirección radial por una aceleración aparente y es comprimido en las direcciones perpendiculares por .${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (r_{s}/r^{3})c^{2}L}$${\displaystyle -(r_{s}/(2r^{3}))c^{2}L}$

Ver también

• Derivación de la solución de Schwarzschild
• Métrica Reissner-Nordström (solución cargada, no giratoria)
• Kerr métrico (solución giratoria sin carga)
• Métrica de Kerr-Newman (solución cargada y giratoria)
• Agujero negro , una revisión general
• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Kruskal-Szekeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé
• Coordenadas de Lemaitre (solución de Schwarzschild en coordenadas sincrónicas )
• Campos de marco en la relatividad general (observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild)
• Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff ( ecuaciones métricas y de presión de un cuerpo estático y esféricamente simétrico de material isotrópico)
• longitud de Planck

Notas

1. Frolov, Valeri; Zelnikov, Andrei (2011). Introducción a la física de los agujeros negros . Oxford. pag. 168 . ISBN 978-0-19-969229-3.
2. ( Landau y Liftshitz 1975 ). harv error: no target: CITEREFLandauLiftshitz1975 (help)
3. Tennent, RM, ed. (1971). Libro de datos científicos . Oliver y Boyd . ISBN 0-05-002487-6.
4. Gautreau, R. y Hoffmann, B. (1978). La coordenada radial de Schwarzschild como medida de la distancia adecuada. Revisión física D, 17 (10), 2552.
5. Ehlers, Jürgen (enero de 1997). "Ejemplos de los límites newtonianos de los espaciotiempos relativistas" (PDF) . Gravedad clásica y cuántica . 14 (1A): A119 – A126. Código bibliográfico : 1997CQGra..14A.119E . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 14 / 1A / 010 .
6. Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 7 : 189-196. Código Bibliográfico : 1916AbhKP ...... 189S .Para una traducción, ver Antoci, S .; Loinger, A. (1999). "Sobre el campo gravitacional de un punto de masa según la teoría de Einstein". arXiv : física / 9905030 .
7. O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Karl Schwarzschild" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
8. Droste, J. (1917). "El campo de un solo centro en la teoría de la gravitación de Einstein y el movimiento de una partícula en ese campo" (PDF) . Actas de la Real Academia de las Artes y las Ciencias de los Países Bajos . 19 (1): 197–215. Código bibliográfico : 1917KNAB ... 19..197D .
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