En álgebra abstracta , las sedeniones forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 16 dimensiones sobre los números reales ; se obtienen aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones y, como tales, los octoniones son isomorfos a una subálgebra de las sedeniones. A diferencia de las octoniones, las sedeniones no son un álgebra alternativa . Al aplicar la construcción de Cayley-Dickson a las sedeniones se obtiene un álgebra de 32 dimensiones, a veces llamadas iones de 32 o trigintaduoniones . [1] Es posible seguir aplicando la construcción Cayley-Dickson arbitrariamente muchas veces.
Sedenions | |
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Símbolo | |
Tipo | álgebra no asociativa |
Unidades | e 0 , ..., e 15 |
Identidad multiplicativa | e 0 |
Principales propiedades | asociatividad de potencia distributividad |
Sistemas comunes | |
Sistemas menos comunes Octonions () Sedeniones () |
El término sedenión también se usa para otras estructuras algebraicas de 16 dimensiones, como un producto tensorial de dos copias de los biquaternions , o el álgebra de matrices 4 × 4 sobre los números reales, o el estudiado por Smith (1995) .
Aritmética
Al igual que los octoniones , la multiplicación de sedeniones no es conmutativa ni asociativa . Pero a diferencia de las octoniones, las sedeniones ni siquiera tienen la propiedad de ser alternativas . Sin embargo, tienen la propiedad de asociatividad de potencia , que se puede afirmar así, para cualquier elemento x de, el poder está bien definido. También son flexibles .
Cada sedenion es una combinación lineal de las sedenions unitarias, , , ,…, , que forman una base del espacio vectorial de sedeniones. Cada sedenion se puede representar en la forma
La suma y la resta se definen mediante la suma y la resta de los coeficientes correspondientes y la multiplicación es distributiva sobre la suma.
Como otras álgebras basadas en la construcción de Cayley-Dickson , las sedeniones contienen el álgebra a partir de la cual fueron construidas. Entonces, contienen los octoniones (generados por a en la tabla siguiente), y por lo tanto también los cuaterniones (generados por a ), números complejos (generados por y ) y números reales (generados por ).
Las sedeniones tienen un elemento de identidad multiplicativo e inversos multiplicativos, pero no son un álgebra de división porque tienen cero divisores . Esto significa que se pueden multiplicar dos secuencias distintas de cero para obtener cero: un ejemplo es ( + ) ( - ). Todos los sistemas numéricos hipercomplejos después de las sedeniones que se basan en la construcción de Cayley-Dickson también contienen divisores de cero.
A continuación se muestra una tabla de multiplicar de sedenion:
tabla de multiplicación | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Propiedades de Sedenion
En la tabla anterior, podemos ver que:
- y
Anti-asociativo
Las sedeniones no son totalmente antiasociativas. Elija cuatro generadores, y . El siguiente ciclo de cinco muestra que estas cinco relaciones no pueden ser todas anti-asociativas.
En particular, en la tabla anterior, utilizando y la última expresión se asocia.
Subálgebras cuaterniónicas
Las 35 tríadas que componen esta tabla de multiplicar de sedenión específica con las 7 tríadas de octoniones utilizadas para crear la sedenión a través de la construcción Cayley-Dickson se muestran en negrita:
Las representaciones binarias de los índices de estos triplican XOR bit a bit a 0.
{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2 , 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15 , 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15 }, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}}
La lista de 84 conjuntos de divisores cero , dónde :
Aplicaciones
Moreno (1998) mostró que el espacio de pares de sedeniones de norma uno que se multiplican a cero es homeomórfico a la forma compacta del excepcional grupo de Lie G 2 . (Tenga en cuenta que en su artículo, un "divisor de cero" significa un par de elementos que se multiplican a cero).
Las redes neuronales de Sedenion proporcionan un medio de expresión eficiente y compacta en aplicaciones de aprendizaje automático y se utilizaron para resolver múltiples problemas de predicción de series de tiempo. [3]
Ver también
- La identidad de dieciséis cuadrados de Pfister
- Número de hipercomplejo
- Número complejo dividido
Notas
- ^ Raoul E. Cawagas, et al. (2009). "LA ESTRUCTURA BÁSICA DE SUBALGEBRA DEL ÁLGEBRA DE CAYLEY-DICKSON DE DIMENSIÓN 32 (TRIGINTADUONIONS)" .
- ↑ ( Báez , 2002 , p. 6)
- ^ Saoud, Lyes Saad; Al-Marzouqi, Hasan (2020). "Red neuronal metacognitiva valorada por la secuenciación y su algoritmo de aprendizaje" . Acceso IEEE . 8 : 144823-144838. doi : 10.1109 / ACCESS.2020.3014690 . ISSN 2169-3536 .
Referencias
- Imaeda, K .; Imaeda, M. (2000), "Sedeniones: álgebra y análisis", Matemáticas aplicadas y computación , 115 (2): 77–88, doi : 10.1016 / S0096-3003 (99) 00140-X , MR 1786945
- Báez, John C. (2002). "Los Octonions" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 39 (2): 145-205. arXiv : matemáticas / 0105155 . doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . Señor 1886087 .
- Biss, Daniel K .; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Grandes aniquiladores en álgebras de Cayley-Dickson II". Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269-292. arXiv : matemáticas / 0702075 .
- Kinyon, MK; Phillips, JD; Vojtěchovský, P. (2007). "C-bucles: ampliaciones y construcciones". Revista de álgebra y sus aplicaciones . 6 (1): 1–20. arXiv : matemáticas / 0412390 . CiteSeerX 10.1.1.240.6208 . doi : 10.1142 / S0219498807001990 .
- Kivunge, Benard M .; Smith, Jonathan D. H (2004). "Subbucles de sedenions" (PDF) . Comentario. Matemáticas. Univ. Carolinae . 45 (2): 295-302.
- Moreno, Guillermo (1998), "Los cero divisores de las álgebras de Cayley-Dickson sobre los números reales", Bol. Soc. Estera. Mexicana , Serie 3, 4 (1): 13-28, arXiv : q-alg / 9710013 , Bibcode : 1997q.alg .... 10013G , MR 1625585
- Smith, Jonathan DH (1995), "Un bucle a la izquierda en las 15 esferas", Journal of Algebra , 176 (1): 128-138, doi : 10.1006 / jabr.1995.1237 , MR 1345298
- LS Saoud y H. Al-Marzouqi, "Red neuronal metacognitiva valorada por secuenciación y su algoritmo de aprendizaje", en IEEE Access, vol. 8, págs. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109 / ACCESS.2020.3014690 .