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El semi- eje mayor ( a ) y semi-menor ( b ) de una elipse

En geometría , el eje mayor de una elipse es su diámetro más largo : un segmento de línea que pasa por el centro y ambos focos , con extremos en los puntos más anchos del perímetro .

El semieje mayor ( principales semieje ) es el más largo semidiámetro o una mitad del eje mayor, y por lo tanto se extiende desde el centro, a través de un enfoque , y al perímetro. El semieje menor ( semieje menor importancia ) de una elipse o hipérbola es un segmento de línea que está en ángulo recto con el eje semi-mayor y tiene un extremo en el centro de la sección cónica. Para el caso especial de un círculo, las longitudes de los semiejes son iguales al radio del círculo.

La longitud del semi-eje mayor a de una elipse está relacionada con la longitud del semi-eje menor b a través de la excentricidad e y el recto semi-latus , como sigue:

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas. Por lo tanto, es la distancia desde el centro a cualquier vértice de la hipérbola.

Se puede obtener una parábola como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro puede moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniéndose fijo. Por lo tanto una y b tienden al infinito, un más rápido que b .

Los ejes mayor y menor son los ejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es la que no se cruza con la hipérbola.

Elipse [ editar ]

La ecuación de una elipse es

donde ( hk ) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas , en el que un punto arbitrario viene dado por ( xy ).

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima y de la elipse desde un foco, es decir, de las distancias desde un foco hasta los puntos finales del eje mayor: [ cita requerida ]

En astronomía, estos puntos extremos se denominan ábsides . [1]

El eje semi-menor de una elipse es la media geométrica de estas distancias:

La excentricidad de una elipse se define como

entonces

Ahora considere la ecuación en coordenadas polares , con un foco en el origen y el otro en la dirección:

El valor medio de y , para y es

En una elipse, el semieje mayor es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquier directriz.

El eje semi-menor de una elipse se extiende desde el centro de la elipse (un punto a medio camino entre y en la línea que corre entre los focos ) hasta el borde de la elipse. El eje semi-menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que conecta dos puntos en el borde de la elipse.

El semieje menor b está relacionado con el semieje mayor a a través de la excentricidad e y el semilato recto , de la siguiente manera:

Se puede obtener una parábola como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro puede moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniéndose fijo. Por lo tanto una y b tienden al infinito, un más rápido que b .

La longitud del eje semi-menor también se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula: [2]

donde f es la distancia entre los focos, p y q son las distancias desde cada foco a cualquier punto de la elipse.

Hipérbola [ editar ]

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si esto es una en la dirección x de la ecuación es: [ citación necesaria ]

En términos del recto semi-latus y la excentricidad tenemos

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor. [3]

En una hipérbola, se puede dibujar un eje conjugado o eje menor de longitud , correspondiente al eje menor de una elipse, perpendicular al eje transversal o eje mayor, conectando este último los dos vértices (puntos de inflexión) de la hipérbola, con la dos ejes que se cruzan en el centro de la hipérbola. Los puntos finales del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas sobre / debajo de los vértices de la hipérbola. Cualquiera de las dos mitades del eje menor se denomina eje semieje menor, de longitud b . Denotando la longitud del eje semi-mayor (distancia desde el centro a un vértice) como a , las longitudes de los ejes semi-menor y semi-mayor aparecen en la ecuación de la hipérbola en relación con estos ejes de la siguiente manera:

El eje semi-menor es también la distancia desde uno de los focos de la hipérbola a una asíntota. A menudo llamado parámetro de impacto , esto es importante en física y astronomía, y mide la distancia en la que una partícula perderá el enfoque si su viaje no es perturbado por el cuerpo en el foco. [ cita requerida ]

El semieje menor y el semieje mayor están relacionados mediante la excentricidad, de la siguiente manera:

[4]

Tenga en cuenta que en una hipérbola b puede ser mayor que a . [5]

Astronomía [ editar ]

Período orbital [ editar ]

En astrodinámica, el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es: [1]

dónde:

a es la longitud del semieje mayor de la órbita,
es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo central.

Tenga en cuenta que para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.

El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es [1]

dónde:

una y son como se definen anteriormente,
e es la excentricidad de la órbita.

En astronomía , el semieje mayor es uno de los elementos orbitales más importantes de una órbita , junto con su período orbital . Para los objetos del Sistema Solar , el semi-eje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler (originalmente derivada empíricamente ): [1]

donde T es el período y a es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de dos cuerpos , según lo determinado por Newton : [1]

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo central y m es la masa del cuerpo en órbita. Por lo general, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo que m puede ignorarse. Hacer esa suposición y usar unidades típicas de astronomía da como resultado la forma más simple que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor del baricentro y su trayectoria relativa a su primario son elipses. [1] El semieje mayor se usa a veces en astronomía como la distancia primaria a secundaria cuando la relación de masa de la primaria a la secundaria es significativamente grande ( ); así, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntrica y "absoluta" se puede ilustrar mejor observando el sistema Tierra-Luna. La relación de masa en este caso es81.300 59 . La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunar geocéntrica , es de 384 400 km. (Dada la excentricidad de la órbita lunar e  = 0.0549, su eje semi-menor es 383,800 km. Por lo tanto, la órbita de la Luna es casi circular.) La órbita lunar baricéntrica , por otro lado, tiene un eje semi-mayor de 379,730 km, el de la Tierra contra-órbita que toma la diferencia, 4.670 km. La velocidad orbital baricéntrica promedio de la Luna es de 1.010 km / s, mientras que la de la Tierra es de 0.012 km / s. El total de estas velocidades da una velocidad orbital media lunar geocéntrica de 1.022 km / s; se puede obtener el mismo valor considerando solo el valor del eje semi-mayor geocéntrico. [ cita requerida ]

Distancia media [ editar ]

A menudo se dice que el semieje mayor es la distancia "media" entre el foco principal de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, porque depende del promedio que se tome.

  • promediar la distancia sobre la anomalía excéntrica da como resultado el semi-eje mayor.
  • promediar la anomalía verdadera (el ángulo orbital verdadero, medido en el foco) da como resultado el eje semi-menor .
  • promediando sobre la anomalía media (la fracción del período orbital que ha transcurrido desde el pericentro, expresada como un ángulo) da el promedio de tiempo .

El valor promediado en el tiempo del recíproco del radio,, es .

Energía; cálculo de semieje mayor a partir de vectores de estado [ editar ]

En astrodinámica , el semieje mayor a se puede calcular a partir de vectores de estado orbital :

para una órbita elíptica y, según la convención, la misma o

para una trayectoria hiperbólica , y

( energía orbital específica ) y

( parámetro gravitacional estándar ), donde:

v es la velocidad orbital del vector de velocidad de un objeto en órbita,
r es un vector de posición cartesiano de un objeto en órbita en coordenadas de un marco de referencia con respecto al cual se calcularán los elementos de la órbita (por ejemplo, ecuatorial geocéntrico para una órbita alrededor de la Tierra, o eclíptica heliocéntrica para una órbita alrededor del Sol),
G es la constante gravitacional ,
M es la masa del cuerpo gravitante y
es la energía específica del cuerpo en órbita.

Tenga en cuenta que para una determinada cantidad de masa total, la energía específica y el semieje mayor son siempre los mismos, independientemente de la excentricidad o la relación de las masas. Por el contrario, para una masa total dada y un eje semi-mayor, la energía orbital específica total es siempre la misma. Esta afirmación siempre será cierta bajo cualquier condición dada. [ cita requerida ]

Ejes semi-mayores y semi-menores de las órbitas de los planetas [ editar ]

Las órbitas de los planetas siempre se citan como ejemplos principales de elipses ( primera ley de Kepler ). Sin embargo, la diferencia mínima entre los ejes semi-mayor y semi-menor muestra que son virtualmente circulares en apariencia. Esa diferencia (o relación) se basa en la excentricidad y se calcula como , que para las excentricidades típicas de los planetas arroja resultados muy pequeños.

La razón para la suposición de órbitas elípticas prominentes probablemente radica en la diferencia mucho mayor entre afelio y perihelio. Esa diferencia (o relación) también se basa en la excentricidad y se calcula como . Debido a la gran diferencia entre afelio y perihelio, la segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.

Referencias [ editar ]

  1. ^ a b c d e f Lissauer, Jack J .; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 24–31. ISBN 9781108411981.
  2. ^ "Eje mayor / menor de una elipse" , Referencia abierta de matemáticas, 12 de mayo de 2013.
  3. ^ "7.1 Caracterización alternativa" . www.geom.uiuc.edu .
  4. ^ "La geometría de las órbitas: elipses, parábolas e hipérbolas" . www.bogan.ca .
  5. ^ http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html

Enlaces externos [ editar ]

  • Ejes semi-mayores y semi-menores de una elipse Con animación interactiva