Séptimo poder

En aritmética y álgebra, la séptima potencia de un número n es el resultado de multiplicar siete instancias de n juntas. Entonces:

n ⁷ = norte × norte × norte × norte × norte × norte × norte .

Las séptimas potencias también se forman multiplicando un número por su sexta potencia , el cuadrado de un número por su quinta potencia o el cubo de un número por su cuarta potencia .

La secuencia de séptimas potencias de números enteros es:

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 61222220032, 893871739, 45814888, 12872488000, 89387171 6103515625, 8031810176, ... (secuencia A001015 en la OEIS )

En la notación arcaica de Robert Recorde , la séptima potencia de un número se llamaba el "segundo sursólido". ^[1]

Propiedades

Leonard Eugene Dickson estudió las generalizaciones del problema de Waring para séptimas potencias, mostrando que cada entero no negativo puede representarse como una suma de como máximo 258 séptimas potencias no negativas ^[2] (1 ⁷ es 1 y 2 ⁷ es 128). Todos, excepto un número finito de enteros positivos, pueden expresarse de manera más simple como la suma de un máximo de 46 séptimas potencias. ^[3] Si se permiten poderes negativos, solo se requieren 12 poderes. ^[4]

El número más pequeño que se puede representar de dos formas diferentes como una suma de cuatro séptimas potencias positivas es 2056364173794800. ^[5]

La séptima potencia más pequeña que se puede representar como una suma de ocho séptimas potencias distintas es: ^[6]

${\displaystyle 102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.}$

Los dos ejemplos conocidos de una séptima potencia expresable como la suma de siete séptimas potencias son

${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$(M. Dodrill, 1999); ^[7]

y

${\displaystyle 626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}}$(Maurice Blondot, 14/11/2000); ^[7]

cualquier ejemplo con menos términos en la suma sería un contraejemplo de la conjetura de la suma de potencias de Euler , que actualmente solo se sabe que es falsa para las potencias 4 y 5.

Ver también

• Sexto poder
• Quinta potencia (álgebra)
• Cuarto poder
• Cubo (álgebra)
• Cuadrado (álgebra)

Referencias

1. Womack, D. (2015), "Más allá de las operaciones de tetración: su pasado, presente y futuro" , Matemáticas en la escuela , 44 (1): 23-26
2. Dickson, LE (1934), "Un nuevo método para teoremas universales de Waring con detalles de séptimas potencias", American Mathematical Monthly , 41 (9): 547–555, doi : 10.2307 / 2301430 , JSTOR 2301430 , MR 1523212  
3. Kumchev, Angel V. (2005), "Sobre el problema de Waring-Goldbach para las séptimas potencias", Actas de la American Mathematical Society , 133 (10): 2927-2937, doi : 10.1090 / S0002-9939-05-07908- 6 , MR 2159771 
4. Choudhry, Ajai (2000), "Sobre sumas de séptimos poderes", Journal of Number Theory , 81 (2): 266-269, doi : 10.1006 / jnth.1999.2465 , MR 1752254 
5. Ekl, Randy L. (1996), "Sumas iguales de cuatro séptimas potencias", Matemáticas de la computación , 65 (216): 1755-1756, Bibcode : 1996MaCom..65.1755E , doi : 10.1090 / S0025-5718-96- 00768-5 , MR 1361807 
6. Stewart, Ian (1989), Juego, escenografía y matemáticas: Enigmas y acertijos , Basil Blackwell, Oxford, p. 123, ISBN 0-631-17114-2, MR  1253983
7. Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Calcular sumas mínimas iguales de potencias similares: las mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .

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