Ecuaciones de aguas poco profundas

Las ecuaciones de aguas poco profundas son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (o parabólicas si se considera la cizalladura viscosa) que describen el flujo debajo de una superficie de presión en un fluido (a veces, pero no necesariamente, una superficie libre ). ^[1] Las ecuaciones de aguas poco profundas en forma unidireccional también se denominan ecuaciones de Saint-Venant , en honor a Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (ver la sección relacionada a continuación).

Resultado de un modelo de ecuación de aguas poco profundas de agua en una bañera. El agua experimenta cinco salpicaduras que generan ondas de gravedad superficiales que se propagan lejos de los lugares de las salpicaduras y se reflejan en las paredes de la bañera.

Las ecuaciones se derivan ^[2] de la integración en profundidad de las ecuaciones de Navier-Stokes , en el caso de que la escala de longitud horizontal sea mucho mayor que la escala de longitud vertical. En esta condición, la conservación de la masa implica que la escala de velocidad vertical del fluido es pequeña en comparación con la escala de velocidad horizontal. Se puede demostrar a partir de la ecuación del momento que los gradientes de presión verticales son casi hidrostáticos y que los gradientes de presión horizontales se deben al desplazamiento de la superficie de presión, lo que implica que el campo de velocidad horizontal es constante en toda la profundidad del fluido. La integración vertical permite eliminar la velocidad vertical de las ecuaciones. De este modo se derivan las ecuaciones de aguas poco profundas.

Si bien un término de velocidad vertical no está presente en las ecuaciones de aguas poco profundas, tenga en cuenta que esta velocidad no es necesariamente cero. Esta es una distinción importante porque, por ejemplo, la velocidad vertical no puede ser cero cuando el piso cambia de profundidad y, por lo tanto, si fuera cero, solo los pisos planos serían utilizables con las ecuaciones de aguas poco profundas. Una vez que se ha encontrado una solución (es decir, las velocidades horizontales y el desplazamiento de la superficie libre), la velocidad vertical se puede recuperar mediante la ecuación de continuidad.

Las situaciones en la dinámica de fluidos donde la escala de longitud horizontal es mucho mayor que la escala de longitud vertical son comunes, por lo que las ecuaciones de aguas poco profundas son ampliamente aplicables. Se utilizan con las fuerzas de Coriolis en modelos atmosféricos y oceánicos, como una simplificación de las ecuaciones primitivas del flujo atmosférico.

Los modelos de ecuaciones de aguas poco profundas tienen solo un nivel vertical, por lo que no pueden abarcar directamente ningún factor que varíe con la altura. Sin embargo, en los casos en que el estado medio es suficientemente simple, las variaciones verticales pueden separarse de la horizontal y varios conjuntos de ecuaciones de aguas poco profundas pueden describir el estado.

Ecuaciones

Forma conservadora

Las ecuaciones de aguas poco profundas se derivan de ecuaciones de conservación de la masa y conservación del momento lineal (las ecuaciones de Navier-Stokes ), que se mantienen incluso cuando los supuestos de aguas poco profundas se rompen, como en un salto hidráulico . En el caso de un lecho horizontal , con fuerzas de Coriolis , fuerzas de fricción y viscosas despreciables , las ecuaciones en aguas poco profundas son:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta)} {\ parcial t}} & + {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta u)} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta v)} {\ parcial y}} = 0, \\ [3 puntos] {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta u)} {\ parcial t}} & + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (\ rho \ eta u ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ derecha) + {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta uv)} {\ parcial y}} = 0, \\ [3 puntos] {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta v)} {\ parcial t}} & + {\ frac {\ parcial (\ rho \ eta uv)} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ izquierda (\ rho \ eta v ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ right) = 0. \ End {alineado}}}

Aquí η es la altura total de la columna de fluido (profundidad instantánea del fluido en función de x , y y t ), y el vector 2D ( u , v ) es la velocidad de flujo horizontal del fluido , promediada a lo largo de la columna vertical. Además, g es la aceleración debida a la gravedad y ρ es la densidad del fluido . La primera ecuación se deriva de la conservación de masas, las segundas dos de la conservación del momento. ^[3]

Forma no conservadora

Expandiendo las derivadas de lo anterior usando la regla del producto , se obtiene la forma no conservadora de las ecuaciones de aguas someras. Dado que las velocidades no están sujetas a una ecuación de conservación fundamental, las formas no conservadoras no se mantienen en un choque o salto hidráulico . También se incluyen los términos apropiados para Coriolis, fuerzas de fricción y viscosas, para obtener (para una densidad de fluido constante):

{\ estilo de visualización {\ begin {alineado} {\ frac {\ h parcial} {\ t parcial}} & + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ Bigl (} (H + h) u { \ Bigr)} + ​​{\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} {\ Bigl (} (H + h) v {\ Bigr)} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ parcial u} {\ t parcial}} & + u {\ frac {\ u parcial} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} - fv = -g {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}} - bu + \ nu \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ y parcial ^ {2}}} \ derecha), \\ [3 puntos] {\ frac {\ parcial v} {\ parcial t}} & + u {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + fu = -g {\ frac {\ parcial h} {\ parcial y}} - bv + \ nu \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ { 2} v} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha), \ end {alineado}}}

dónde

tu	es la velocidad en la dirección x , o velocidad zonal
v	es la velocidad en la dirección y , o velocidad meridional
h	es la desviación de la altura de la superficie de presión horizontal desde su altura media H : η = H + h
H	es la altura media de la superficie de presión horizontal
gramo	es la aceleración debida a la gravedad
F	es el coeficiente de Coriolis asociado con la fuerza de Coriolis . En la Tierra, f es igual a 2 Ω sin ( φ ), donde Ω es la tasa de rotación angular de la Tierra (π / 12 radianes / hora) y φ es la latitud
B	es el coeficiente de arrastre viscoso
$ν$	es la viscosidad cinemática

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Reproducir medios

Animación de las ecuaciones linealizadas de aguas someras para una cuenca rectangular, sin fricción y fuerza de Coriolis. El agua experimenta una salpicadura que genera ondas de gravedad superficiales que se propagan lejos de la ubicación de la salpicadura y se reflejan en las paredes de la cuenca. La animación se crea utilizando la solución exacta de Carrier y Yeh (2005) para ondas axisimétricas . ^[4]

A menudo ocurre que los términos cuadráticos en u y v , que representan el efecto de la advección masiva , son pequeños en comparación con los otros términos. Esto se llama equilibrio geostrófico y equivale a decir que el número de Rossby es pequeño. Suponiendo también que la altura de la ola es muy pequeña en comparación con la altura media ( h ≪ H ), tenemos (sin fuerzas viscosas laterales):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ h. parcial} {\ t. parcial}} & + H \ left ({\ frac {\ u. parcial} {\ x parcial}} + {\ frac {\ parcial v} {\ y parcial}} \ derecha) = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ u parcial} {\ t parcial}} & - fv = -g {\ frac {\ h parcial} {\ parcial x}} - bu, \\ [3pt] {\ frac {\ parcial v} {\ t parcial}} & + fu = -g {\ frac {\ h parcial} {\ y parcial}} - bv. \ end {alineado}}}

Ecuaciones unidimensionales de Saint-Venant

Las ecuaciones unidimensionales (1-D) de Saint-Venant fueron derivadas por Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant y se utilizan comúnmente para modelar el flujo transitorio en canal abierto y la escorrentía superficial . Pueden verse como una contracción de las ecuaciones bidimensionales (2-D) de aguas poco profundas, que también se conocen como ecuaciones bidimensionales de Saint-Venant. Las ecuaciones 1-D de Saint-Venant contienen hasta cierto punto las principales características de la forma de la sección transversal del canal .

Las ecuaciones 1-D se utilizan ampliamente en modelos informáticos como TUFLOW , Mascaret (EDF), SIC (Irstea) , HEC-RAS , ^[5] SWMM5, ISIS, ^[5] InfoWorks, ^[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11 , ^[5] y MIKE SHE porque son significativamente más fáciles de resolver que las ecuaciones completas de aguas poco profundas. Las aplicaciones comunes de las ecuaciones 1-D de Saint-Venant incluyen el enrutamiento de inundaciones a lo largo de los ríos (incluida la evaluación de medidas para reducir los riesgos de inundaciones), análisis de rotura de presas, pulsos de tormenta en un canal abierto, así como escorrentía de tormentas en flujo terrestre.

Ecuaciones

Sección transversal del canal abierto.

El sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen el flujo incompresible 1-D en un canal abierto de sección transversal arbitraria , como lo derivó y planteó Saint-Venant en su artículo de 1871 (ecuaciones 19 y 20), es: ^[6]

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial \ izquierda (Au \ derecha)} {\ parcial x}} = 0}

y

( 1 )

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parcial} {\ parcial t}} + u \, {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + g \, {\ frac {\ parcial \ zeta} {\ parcial x}} = - {\ frac {P} {A}} \, {\ frac {\ tau} {\ rho}},}

( 2 )

donde x es la coordenada espacial a lo largo del eje del canal, t denota tiempo, A ( x , t ) es el área de la sección transversal del flujo en la ubicación x , u ( x , t ) es la velocidad del flujo , ζ ( x , t ) es la elevación de la superficie libre y τ ( x , t ) es el esfuerzo cortante de la pared a lo largo del perímetro mojado P ( x , t ) de la sección transversal en x . Además, ρ es la densidad del fluido (constante) y g es la aceleración gravitacional .

El cierre del sistema hiperbólico de ecuaciones ( 1 ) - ( 2 ) se obtiene a partir de la geometría de las secciones transversales, proporcionando una relación funcional entre el área de la sección transversal A y la elevación de la superficie ζ en cada posición x . Por ejemplo, para una sección transversal rectangular, con ancho de canal B constante y elevación del lecho del canal z _b , el área de la sección transversal es: A = B (ζ - z _b ) = B h . La profundidad instantánea del agua es h ( x , t ) = ζ ( x , t ) - z _b ( x ), con z _b ( x ) el nivel del lecho (es decir, la elevación del punto más bajo del lecho por encima del datum , ver la cruz -figura de sección ). Para las paredes del canal que no se mueven, el área de la sección transversal A en la ecuación ( 1 ) se puede escribir como:

{\ Displaystyle A (x, t) = \ int _ {0} ^ {h (x, t)} b (x, h ') \; {\ mbox {d}} h',}

con b ( x , h ) el ancho efectivo de la sección transversal del canal en la ubicación x cuando la profundidad del fluido es h - entonces b ( x , h ) = B ( x ) para canales rectangulares. ^[7]

El esfuerzo cortante de la pared τ depende de la velocidad del flujo u , se pueden relacionar utilizando, por ejemplo, la ecuación de Darcy-Weisbach , la fórmula de Manning o la fórmula de Chézy .

Además, la ecuación ( 1 ) es la ecuación de continuidad , que expresa la conservación del volumen de agua para este fluido homogéneo incompresible. La ecuación ( 2 ) es la ecuación de la cantidad de movimiento , que proporciona el equilibrio entre las fuerzas y las tasas de cambio de la cantidad de movimiento.

La pendiente del lecho S ( x ), la pendiente de fricción S _f ( x , t ) y el radio hidráulico R ( x , t ) se definen como:

{\ Displaystyle S = - {\ frac {\ mathrm {d} z _ {\ mathrm {b}}} {\ mathrm {d} x}},}

{\ Displaystyle S _ {\ mathrm {f}} = {\ frac {\ tau} {\ rho gR}}}

y

{\ Displaystyle R = {\ frac {A} {P}}.}

En consecuencia, la ecuación de la cantidad de movimiento ( 2 ) se puede escribir como: ^[7]

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parcial} {\ parcial t}} + u \, {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + g \, {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}} + g \, \ left (S _ {\ mathrm {f}} -S \ right) = 0.}

( 3 )

Conservación de momento

La ecuación de cantidad de movimiento ( 3 ) también se puede convertir en la denominada forma de conservación , mediante algunas manipulaciones algebraicas de las ecuaciones de Saint-Venant, ( 1 ) y ( 3 ). En términos de descarga Q = Au : ^[8]

{\ Displaystyle {\ frac {\ Q parcial} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda ({\ frac {Q ^ {2}} {A}} + g \, I_ {1} \ right) + g \, A \, \ left (S_ {f} -S \ right) -g \, I_ {2} = 0,}

( 4 )

donde A , I ₁ e I ₂ son funciones de la geometría del canal, descrita en términos del ancho del canal B (σ, x ). Aquí σ es la altura sobre el punto más bajo en la sección transversal en la ubicación x , vea la figura de la sección transversal . Entonces σ es la altura sobre el nivel del lecho z _b ( x ) (del punto más bajo en la sección transversal):

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} A (\ sigma, x) & = \ int _ {0} ^ {\ sigma} B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime}, \\ I_ {1} (\ sigma, x) & = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime} \ qquad {\ text {y}} \\ I_ {2} (\ sigma, x) & = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, {\ frac {\ parcial B (\ sigma ^ {\ prime}, x)} {\ parcial x}} \; \ mathrm {d } \ sigma ^ {\ prime}. \ end {alineado}}}

Arriba, en la ecuación de momento ( 4 ) en forma de conservación, A , I ₁ e I ₂ se evalúan en σ = h ( x , t ) . El término g I ₁ describe la fuerza hidrostática en una determinada sección transversal. Y, para un canal no prismático , g I ₂ da los efectos de variaciones geométricas a lo largo del eje x del canal .

En las aplicaciones, dependiendo del problema en cuestión, a menudo existe una preferencia por utilizar la ecuación de cantidad de movimiento en forma de no conservación, ( 2 ) o ( 3 ), o la forma de conservación ( 4 ). Por ejemplo, en el caso de la descripción de saltos hidráulicos , se prefiere la forma de conservación ya que el flujo de impulso es continuo a lo largo del salto.

Caracteristicas

Características, dominio de dependencia y región de influencia, asociados a la ubicación P = ( x _P , t _P ) en el espacio x y el tiempo t .

Las ecuaciones de Saint-Venant ( 1 ) - ( 2 ) se pueden analizar utilizando el método de características . ^[9]^[10]^[11]^[12] Las dos celeridades d x / d t en las curvas características son: ^[8]

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u \ pm c,}

con

{\ Displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {gA} {B}}}.}

El número de Froude F = | u | / c determina si el flujo es subcrítico ( F <1 ) o supercrítico ( F > 1 ).

Para un canal rectangular y prismático de ancho constante B , es decir, con A = B h y c = √ gh , las invariantes de Riemann son: ^[9]

{\ Displaystyle r _ {+} = u + 2 {\ sqrt {gh}}}

y

{\ Displaystyle r _ {-} = u-2 {\ sqrt {gh}},}

por lo que las ecuaciones en forma característica son: ^[9]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u + 2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left ( S-S_ {f} \ right) && {\ text {along}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u + {\ sqrt {gh}} \ quad {\ text {y}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u-2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left ( S-S_ {f} \ right) && {\ text {along}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u - {\ sqrt {gh}}. \ end {alineado}}}

Didenkulova & Pelinovsky (2011) describen los invariantes de Riemann y el método de características para un canal prismático de sección transversal arbitraria. ^[12]

Las características e invariantes de Riemann aportan información importante sobre el comportamiento del flujo, así como que pueden utilizarse en el proceso de obtención de soluciones (analíticas o numéricas). ^[13]^[14]^[15]^[16]

Modelado derivado

Ola dinámica

La onda dinámica es la ecuación de Saint-Venant unidimensional completa. Es un desafío numérico de resolver, pero es válido para todos los escenarios de flujo de canales. La onda dinámica se utiliza para modelar tormentas transitorias en programas de modelado que incluyen Mascaret (EDF), SIC (Irstea) , HEC-RAS , ^[17] InfoWorks_ICM , ^[18] MIKE 11 , ^[19] Wash 123d ^[20] y SWMM5 .

En el orden de simplificaciones crecientes, al eliminar algunos términos de las ecuaciones 1D Saint-Venant completas (también conocidas como ecuación de onda dinámica), obtenemos la ecuación de onda difusiva y la ecuación de onda cinemática también clásicas.

Onda difusiva

Para la onda difusiva, se supone que los términos de inercia son menores que los términos de gravedad, fricción y presión. Por lo tanto, la onda difusiva se puede describir con mayor precisión como una onda sin inercia y se escribe como:

{\ Displaystyle g {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}} + g (S_ {f} -S) = 0.}

La onda difusiva es válida cuando la aceleración inercial es mucho menor que todas las otras formas de aceleración, o en otras palabras, cuando hay un flujo principalmente subcrítico, con valores de Froude bajos. Los modelos que utilizan el supuesto de onda difusiva incluyen MIKE SHE ^[21] y LISFLOOD-FP. ^[22] En el software SIC (Irstea) esta opción también está disponible, ya que los 2 términos de inercia (o cualquiera de ellos) se pueden eliminar en opción de la interfaz.

Onda cinemática

Para la onda cinemática , se supone que el flujo es uniforme y que la pendiente de fricción es aproximadamente igual a la pendiente del canal. Esto simplifica la ecuación de Saint-Venant completa a la onda cinemática:

{\ Displaystyle S_ {f} -S = 0.}

La onda cinemática es válida cuando el cambio en la altura de la ola con la distancia y la velocidad con la distancia y el tiempo es insignificante en relación con la pendiente del lecho, por ejemplo, para flujos poco profundos en pendientes pronunciadas. ^[23] La onda cinemática se utiliza en HEC-HMS . ^[24]

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

La ecuación de momento 1-D de Saint-Venant se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de los fluidos . El componente x de las ecuaciones de Navier-Stokes, cuando se expresa en coordenadas cartesianas en la dirección x , se puede escribir como:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + w {\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}} = - {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x}} {\ frac {1} {\ rho}} + \ nu \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial z ^ {2}}} \ derecha) + f_ {x},}

donde u es la velocidad en la dirección x , v es la velocidad en la dirección y , w es la velocidad en la dirección z , t es el tiempo, p es la presión, ρ es la densidad del agua, ν es la viscosidad cinemática, y f _x es la fuerza del cuerpo en la dirección x .

1.	Si se supone que la fricción se tiene en cuenta como una fuerza corporal, entonces ${\ Displaystyle \ nu}$ se puede asumir como cero, por lo que: ${\ Displaystyle \ nu \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2 }}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial z ^ {2}}} \ derecha) = 0.}$
2.	Suponiendo un flujo unidimensional en la dirección x, se deduce que: ^[25] ${\ Displaystyle v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + w {\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}} = 0}$
3.	Suponiendo también que la distribución de la presión es aproximadamente hidrostática, se deduce que: ^[25] ${\ Displaystyle p = \ rho gh}$ o en forma diferencial: ${\ Displaystyle \ parcial p = \ rho g (\ parcial h).}$ Y cuando estos supuestos se aplican al componente x de las ecuaciones de Navier-Stokes: ${\ estilo de visualización - {\ frac {\ p parcial} {\ x parcial}} {\ frac {1} {\ rho}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ rho g \ izquierda (\ h parcial \ derecha)} {\ x parcial}} = - g {\ frac {\ h parcial} {\ parcial x}}.}$
4.	Hay 2 fuerzas corporales que actúan sobre el fluido del canal, a saber, la gravedad y la fricción: ${\ Displaystyle f_ {x} = f_ {x, g} + f_ {x, f}}$ donde f _{x, g} es la fuerza del cuerpo debida a la gravedad y f _{x, f} es la fuerza del cuerpo debida a la fricción.
5.	f _{x , g} se puede calcular usando física básica y trigonometría: ^[26] ${\ Displaystyle F_ {g} = (\ sin \ theta) gM}$ donde F _g es la fuerza de gravedad en la dirección x , θ es el ángulo y M es la masa. Figura 1: Diagrama de un bloque que desciende por un plano inclinado. La expresión para sin θ se puede simplificar usando trigonometría como: ${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}}}.}$ Para θ pequeño (razonable para casi todos los flujos) se puede suponer que: ${\ Displaystyle \ sin \ theta = \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opp}} {\ text {adj}}} = S}$ y dado que f _x representa una fuerza por unidad de masa, la expresión se convierte en: ${\ Displaystyle f_ {x, g} = gS.}$
6.	Suponiendo que la línea de grado energético no es la misma que la pendiente del canal, y para un tramo de pendiente constante hay una pérdida por fricción constante, se deduce que: ^[27] ${\ Displaystyle f_ {x, f} = S_ {f} g.}$
7.	Todas estas suposiciones combinadas llegan a la ecuación de Saint-Venant unidimensional en la dirección x : ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + g {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}} + g (S_ {f} -S) = 0,}$ ${\ Displaystyle (a) \ quad \ \ (b) \ quad \ \ \ (c) \ qquad \ \ \ (d) \ quad (e) \}$ donde (a) es el término de aceleración local, (b) es el término de aceleración convectiva, (c) es el término de gradiente de presión, (d) es el término de fricción y (e) es el término de gravedad.

Condiciones

La aceleración local (a) también se puede considerar como el "término inestable", ya que describe algún cambio en la velocidad a lo largo del tiempo. La aceleración convectiva (b) es una aceleración causada por algún cambio en la velocidad sobre la posición, por ejemplo, la aceleración o la desaceleración de un fluido que entra en una constricción o una abertura, respectivamente. Ambos términos forman los términos de inercia de la ecuación de Saint-Venant unidimensional.

El término de gradiente de presión (c) describe cómo cambia la presión con la posición, y dado que la presión se supone hidrostática, este es el cambio en la posición de cabeza sobre la posición. El término de fricción (d) representa las pérdidas de energía debidas a la fricción, mientras que el término de gravedad (e) es la aceleración debida a la pendiente del lecho.

Modelado de olas mediante ecuaciones en aguas poco profundas

Las ecuaciones de aguas poco profundas se pueden utilizar para modelar ondas de Rossby y Kelvin en la atmósfera, ríos, lagos y océanos, así como ondas de gravedad en un dominio más pequeño (por ejemplo, ondas superficiales en un baño). Para que las ecuaciones de aguas poco profundas sean válidas, la longitud de onda del fenómeno que se supone que modelan tiene que ser mucho mayor que la profundidad de la cuenca donde tiene lugar el fenómeno. Se pueden manejar longitudes de onda algo más pequeñas extendiendo las ecuaciones de aguas poco profundas usando la aproximación de Boussinesq para incorporar efectos de dispersión . ^[28] Las ecuaciones de aguas poco profundas son especialmente adecuadas para modelar mareas que tienen escalas de longitud muy grandes (más de cientos de kilómetros). Para el movimiento de las mareas, incluso un océano muy profundo puede considerarse poco profundo ya que su profundidad siempre será mucho menor que la longitud de onda de la marea.

Generación y propagación de tsunamis , calculada con las ecuaciones de aguas someras (línea roja; sin dispersión de frecuencia)) y con un modelo tipo Boussinesq (línea azul; con dispersión de frecuencia). Observe que el modelo de tipo Boussinesq (línea azul) forma un solitón con una cola oscilante que se queda atrás. Las ecuaciones de aguas poco profundas (línea roja) forman un frente empinado, lo que conducirá a la formación de perforaciones más adelante. La profundidad del agua es de 100 metros.

Modelado de turbulencia utilizando ecuaciones no lineales en aguas poco profundas

Una instantánea de la simulación de ecuaciones en aguas poco profundas en las que hay ondas de choque

Las ecuaciones de aguas poco profundas, en su forma no lineal, son un candidato obvio para modelar la turbulencia en la atmósfera y los océanos, es decir, la turbulencia geofísica . Una ventaja de esto, sobre las ecuaciones cuasi-geostróficas , es que permite soluciones como las ondas de gravedad , al mismo tiempo que conserva la energía y la vorticidad potencial . Sin embargo, también existen algunas desventajas en lo que respecta a las aplicaciones geofísicas: tiene una expresión no cuadrática para la energía total y una tendencia a que las ondas se conviertan en ondas de choque . ^[29] Se han propuesto algunos modelos alternativos que previenen la formación de choques. Una alternativa es modificar el "término de presión" en la ecuación del momento, pero da como resultado una expresión complicada para la energía cinética . ^[30] Otra opción es modificar los términos no lineales en todas las ecuaciones, lo que da una expresión cuadrática para la energía cinética , evita la formación de choques, pero conserva solo la vorticidad potencial linealizada . ^[31]

Notas

^ Vreugdenhil, CB (1986). Métodos numéricos para el flujo de aguas poco profundas . Biblioteca de Ciencia y Tecnología del Agua. 13 . Springer, Dordrecht. pag. 262. doi : 10.1007 / 978-94-015-8354-1 . ISBN 978-90-481-4472-3.
^ "Las ecuaciones de aguas poco profundas" (PDF) . Consultado el 22 de enero de 2010 .
^ Clint Dawson y Christopher M. Mirabito (2008). "Las ecuaciones de aguas poco profundas" (PDF) . Consultado el 28 de marzo de 2013 .
^ Transportista, GF ; Yeh, H. (2005), "Tsunami propagation from a finite source", Computer Modeling in Engineering & Sciences , 10 (2): 113–122, doi : 10.3970 / cmes.2005.010.113
^ a b c d S. Néelz; G Pender (2009). "Revisión de escritorio de paquetes de modelado hidráulico 2D" . Programa Conjunto de Investigación y Desarrollo de Gestión de Riesgos de Inundaciones y Erosión Costera / Agencia Ambiental Conjunta / Defra (Informe científico: SC080035): 5 . Consultado el 2 de diciembre de 2016 .
^ Saint-Venant, AJC Barré de (1871), "Théorie du mouvement no permanente des eaux, avec application aux crues des rivières et a l'introduction de marées dans leurs lits", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 73 : 147 –154 y 237–240
↑ a b Chow, Ven Te (1959), Hidráulica de canal abierto , McGraw-Hill, OCLC 4010975 , §18-1 y §18-2.
^ a b Cunge, JA, FM Holly Jr. y A. Verwey (1980), Aspectos prácticos de la hidráulica fluvial computacional , Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9 , §§2.1 y 2.2
^ a b c Whitham, GB (1974) Ondas lineales y no lineales , §§5.2 y 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9
^ Lighthill, J. (2005), Ondas en fluidos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01045-0 , §§2.8–2.14
^ Meyer, RE (1960), Teoría de las características de la dinámica de los gases no viscosos. En: Fluid Dynamics / Strömungsmechanik , Encyclopedia of Physics IX , Eds. S. Flügge y C. Truesdell , Springer, Berlín, ISBN 978-3-642-45946-7 , págs. 225–282
^ a b Didenkulova, I .; Pelinovsky, E. (2011). "Ondas rebeldes en sistemas hiperbólicos no lineales (marco de aguas poco profundas)". No linealidad . 24 (3): R1 – R18. doi : 10.1088 / 0951-7715 / 24/3 / R01 .
^ Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Rybkin, AV (1 de marzo de 2015). "Runup de ondas largas no lineales en bahías trapezoidales: teoría analítica 1-D y cálculos numéricos 2-D". Geofísica pura y aplicada . 172 (3–4): 885–899. Código bibliográfico : 2015PApGe.172..885H . doi : 10.1007 / s00024-014-1016-3 . ISSN 0033-4553 . S2CID 55004099 .
^ Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Pender, JM; Rybkin, AV (1 de mayo de 2016). "Run-up de ondas largas no lineales en bahías en forma de U de longitud finita: teoría analítica y cálculos numéricos". Revista de Ingeniería Oceánica y Energía Marina . 2 (2): 113–127. doi : 10.1007 / s40722-015-0040-4 . ISSN 2198-6444 . S2CID 123725815 .
^ Garayshin, VV; Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Rybkin, AV (10 de abril de 2016). "Un estudio analítico y numérico de la subida de ondas largas en bahías en forma de U y en forma de V". Matemática Aplicada y Computación . 279 : 187-197. doi : 10.1016 / j.amc.2016.01.005 .
^ Anderson, Dalton; Harris, Matthew; Hartle, Harrison; Nicolsky, Dmitry; Pelinovsky, Efim; Raz, Amir; Rybkin, Alexei (2 de febrero de 2017). "Ejecución de ondas largas en bahías en forma de U inclinadas a trozos". Geofísica pura y aplicada . 174 (8): 3185. Código Bibliográfico : 2017PApGe.174.3185A . doi : 10.1007 / s00024-017-1476-3 . ISSN 0033-4553 . S2CID 132114728 .
^ Brunner, GW (1995), Sistema de análisis del río HEC-RAS. Manual de referencia hidráulica. Versión 1.0 Rep., Documento DTIC.
^ Searby, D .; Dean, A .; Margetts J. (1998), Modelización de Hydroworks del puerto de Christchurch., Actas de la reunión de otoño de WAPUG, Blackpool, Reino Unido.
^ Havnø, K., M. Madsen, J. Dørge y V. Singh (1995), MIKE 11: un paquete de modelado de ríos generalizado, Modelos informáticos de hidrología de cuencas hidrográficas., 733–782.
^ Yeh, G .; Cheng, J .; Lin, J .; Martin, W. (1995), Un modelo numérico que simula el flujo de agua y el transporte de contaminantes y sedimentos en sistemas de cuencas hidrográficas de una red de arroyos y ríos 1-D, régimen terrestre 2-D y medios subterráneos 3-D . Modelos informáticos de hidrología de cuencas hidrográficas, 733–782.
^ DHI (Instituto Danés de Hidráulica) (2011), MIKE SHE User Manual Volume 2: Reference Guide, editado.
^ Bates, P., T. Fewtrell, M. Trigg y J. Neal (2008), manual de usuario y nota técnica de LISFLOOD-FP, versión de código 4.3. 6, Universidad de Bristol.
^ Novak, P., et al., Modelado hidráulico: una introducción: principios, métodos y aplicaciones. 2010: Prensa CRC.
^ Scharffenberg, WA y MJ Fleming (2006), Sistema de modelado hidrológico HEC-HMS: Manual del usuario, Cuerpo de ingenieros del ejército de EE. UU., Centro de ingeniería hidrológica.
^ a b Vincent., Fromion (2009). Modelado y control de hidrosistemas . Saltador. ISBN 9781848826243. OCLC 401159458 .
^ "Planos inclinados" . www.physicsclassroom.com . Consultado el 16 de mayo de 2017 .
^ Métodos., Haestad (2007). Aplicaciones informáticas en ingeniería hidráulica: conectando la teoría con la práctica . Prensa del Instituto Bentley. ISBN 978-0971414167. OCLC 636350249 .
^ Dingemans, MW (1997), Propagación de olas sobre fondos irregulares , Serie avanzada sobre ingeniería oceánica 13 , World Scientific, Singapur, págs. 473 y 516, ISBN 978-981-02-0427-3
^ Augier, Pierre; Mohanan, Ashwin Vishnu; Lindborg, Erik (17 de septiembre de 2019). "Turbulencia de ondas de aguas poco profundas". Revista de Mecánica de Fluidos . 874 : 1169-1196. doi : 10.1017 / jfm.2019.375 . ISSN 1469-7645 . S2CID 198976015 .
^ Bühler, Oliver (1 de septiembre de 1998). "Un modelo de aguas poco profundas que evita el aumento no lineal de las ondas de gravedad". Revista de Ciencias Atmosféricas . 55 (17): 2884–2891. doi : 10.1175 / 1520-0469 (1998) 055 <2884: ASWMTP> 2.0.CO; 2 . ISSN 0022-4928 .
^ Lindborg, Erik; Mohanan, Ashwin Vishnu (1 de noviembre de 2017). "Un modelo de juguete bidimensional para la turbulencia geofísica" . Física de fluidos . 29 (11): 111114. doi : 10.1063 / 1.4985990 . ISSN 1070-6631 .

Otras lecturas

Battjes, JA ; Labeur, RJ (2017), Flujo inestable en canales abiertos , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / 9781316576878 , ISBN 978-1-107-15029-4
Vreugdenhil, CB (1994), Métodos numéricos para el flujo de aguas poco profundas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792331643

enlaces externos

Derivación de las ecuaciones de aguas poco profundas a partir de los primeros principios (en lugar de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes , algunas soluciones analíticas)

[1] Vreugdenhil, CB (1986). Métodos numéricos para el flujo de aguas poco profundas . Biblioteca de Ciencia y Tecnología del Agua. 13 . Springer, Dordrecht. pag. 262. doi : 10.1007 / 978-94-015-8354-1 . ISBN 978-90-481-4472-3.

[swe-derivation-2] "Las ecuaciones de aguas poco profundas" (PDF) . Consultado el 22 de enero de 2010 .

[3] Clint Dawson y Christopher M. Mirabito (2008). "Las ecuaciones de aguas poco profundas" (PDF) . Consultado el 28 de marzo de 2013 .

[4] Transportista, GF ; Yeh, H. (2005), "Tsunami propagation from a finite source", Computer Modeling in Engineering & Sciences , 10 (2): 113–122, doi : 10.3970 / cmes.2005.010.113

[EA-5] S. Néelz; G Pender (2009). "Revisión de escritorio de paquetes de modelado hidráulico 2D" . Programa Conjunto de Investigación y Desarrollo de Gestión de Riesgos de Inundaciones y Erosión Costera / Agencia Ambiental Conjunta / Defra (Informe científico: SC080035): 5 . Consultado el 2 de diciembre de 2016 .

[Saint-Venant-6] Saint-Venant, AJC Barré de (1871), "Théorie du mouvement no permanente des eaux, avec application aux crues des rivières et a l'introduction de marées dans leurs lits", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 73 : 147 –154 y 237–240

[Ven_Te_Chow-7] Chow, Ven Te (1959), Hidráulica de canal abierto , McGraw-Hill, OCLC 4010975 , §18-1 y §18-2.

[Cunge-8] Cunge, JA, FM Holly Jr. y A. Verwey (1980), Aspectos prácticos de la hidráulica fluvial computacional , Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9 , §§2.1 y 2.2

[Whitham-9] Whitham, GB (1974) Ondas lineales y no lineales , §§5.2 y 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9

[10] Lighthill, J. (2005), Ondas en fluidos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01045-0 , §§2.8–2.14

[11] Meyer, RE (1960), Teoría de las características de la dinámica de los gases no viscosos. En: Fluid Dynamics / Strömungsmechanik , Encyclopedia of Physics IX , Eds. S. Flügge y C. Truesdell , Springer, Berlín, ISBN 978-3-642-45946-7 , págs. 225–282

[Didenkulova-12] Didenkulova, I .; Pelinovsky, E. (2011). "Ondas rebeldes en sistemas hiperbólicos no lineales (marco de aguas poco profundas)". No linealidad . 24 (3): R1 – R18. doi : 10.1088 / 0951-7715 / 24/3 / R01 .

[13] Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Rybkin, AV (1 de marzo de 2015). "Runup de ondas largas no lineales en bahías trapezoidales: teoría analítica 1-D y cálculos numéricos 2-D". Geofísica pura y aplicada . 172 (3–4): 885–899. Código bibliográfico : 2015PApGe.172..885H . doi : 10.1007 / s00024-014-1016-3 . ISSN 0033-4553 . S2CID 55004099 .

[14] Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Pender, JM; Rybkin, AV (1 de mayo de 2016). "Run-up de ondas largas no lineales en bahías en forma de U de longitud finita: teoría analítica y cálculos numéricos". Revista de Ingeniería Oceánica y Energía Marina . 2 (2): 113–127. doi : 10.1007 / s40722-015-0040-4 . ISSN 2198-6444 . S2CID 123725815 .

[15] Garayshin, VV; Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Rybkin, AV (10 de abril de 2016). "Un estudio analítico y numérico de la subida de ondas largas en bahías en forma de U y en forma de V". Matemática Aplicada y Computación . 279 : 187-197. doi : 10.1016 / j.amc.2016.01.005 .

[16] Anderson, Dalton; Harris, Matthew; Hartle, Harrison; Nicolsky, Dmitry; Pelinovsky, Efim; Raz, Amir; Rybkin, Alexei (2 de febrero de 2017). "Ejecución de ondas largas en bahías en forma de U inclinadas a trozos". Geofísica pura y aplicada . 174 (8): 3185. Código Bibliográfico : 2017PApGe.174.3185A . doi : 10.1007 / s00024-017-1476-3 . ISSN 0033-4553 . S2CID 132114728 .

[17] Brunner, GW (1995), Sistema de análisis del río HEC-RAS. Manual de referencia hidráulica. Versión 1.0 Rep., Documento DTIC.

[18] Searby, D .; Dean, A .; Margetts J. (1998), Modelización de Hydroworks del puerto de Christchurch., Actas de la reunión de otoño de WAPUG, Blackpool, Reino Unido.

[19] Havnø, K., M. Madsen, J. Dørge y V. Singh (1995), MIKE 11: un paquete de modelado de ríos generalizado, Modelos informáticos de hidrología de cuencas hidrográficas., 733–782.

[20] Yeh, G .; Cheng, J .; Lin, J .; Martin, W. (1995), Un modelo numérico que simula el flujo de agua y el transporte de contaminantes y sedimentos en sistemas de cuencas hidrográficas de una red de arroyos y ríos 1-D, régimen terrestre 2-D y medios subterráneos 3-D . Modelos informáticos de hidrología de cuencas hidrográficas, 733–782.

[21] DHI (Instituto Danés de Hidráulica) (2011), MIKE SHE User Manual Volume 2: Reference Guide, editado.

[22] Bates, P., T. Fewtrell, M. Trigg y J. Neal (2008), manual de usuario y nota técnica de LISFLOOD-FP, versión de código 4.3. 6, Universidad de Bristol.

[23] Novak, P., et al., Modelado hidráulico: una introducción: principios, métodos y aplicaciones. 2010: Prensa CRC.

[24] Scharffenberg, WA y MJ Fleming (2006), Sistema de modelado hidrológico HEC-HMS: Manual del usuario, Cuerpo de ingenieros del ejército de EE. UU., Centro de ingeniería hidrológica.

[:0-25] Vincent., Fromion (2009). Modelado y control de hidrosistemas . Saltador. ISBN 9781848826243. OCLC 401159458 .

[26] "Planos inclinados" . www.physicsclassroom.com . Consultado el 16 de mayo de 2017 .

[27] Métodos., Haestad (2007). Aplicaciones informáticas en ingeniería hidráulica: conectando la teoría con la práctica . Prensa del Instituto Bentley. ISBN 978-0971414167. OCLC 636350249 .

[28] Dingemans, MW (1997), Propagación de olas sobre fondos irregulares , Serie avanzada sobre ingeniería oceánica 13 , World Scientific, Singapur, págs. 473 y 516, ISBN 978-981-02-0427-3

[29] Augier, Pierre; Mohanan, Ashwin Vishnu; Lindborg, Erik (17 de septiembre de 2019). "Turbulencia de ondas de aguas poco profundas". Revista de Mecánica de Fluidos . 874 : 1169-1196. doi : 10.1017 / jfm.2019.375 . ISSN 1469-7645 . S2CID 198976015 .

[30] Bühler, Oliver (1 de septiembre de 1998). "Un modelo de aguas poco profundas que evita el aumento no lineal de las ondas de gravedad". Revista de Ciencias Atmosféricas . 55 (17): 2884–2891. doi : 10.1175 / 1520-0469 (1998) 055 <2884: ASWMTP> 2.0.CO; 2 . ISSN 0022-4928 .

[31] Lindborg, Erik; Mohanan, Ashwin Vishnu (1 de noviembre de 2017). "Un modelo de juguete bidimensional para la turbulencia geofísica" . Física de fluidos . 29 (11): 111114. doi : 10.1063 / 1.4985990 . ISSN 1070-6631 .

[1]