Teorema de Shell

En la mecánica clásica , el teorema de la capa proporciona simplificaciones gravitacionales que se pueden aplicar a objetos dentro o fuera de un cuerpo esféricamente simétrico . Este teorema tiene una aplicación particular a la astronomía .

Isaac Newton demostró el teorema de la cáscara ^[1] y afirmó que:

1. Un cuerpo de simetría esférica afecta gravitacionalmente a los objetos externos como si toda su masa estuviera concentrada en un punto en su centro.
2. Si el cuerpo es una cáscara esféricamente simétrica (es decir, una bola hueca), la cáscara no ejerce ninguna fuerza gravitacional neta sobre ningún objeto dentro, independientemente de la ubicación del objeto dentro de la cáscara.

Un corolario es que dentro de una esfera sólida de densidad constante, la fuerza gravitacional dentro del objeto varía linealmente con la distancia desde el centro, volviéndose cero por simetría en el centro de masa . Esto se puede ver de la siguiente manera: tome un punto dentro de dicha esfera, a una distancia${\displaystyle r}$desde el centro de la esfera. Entonces puede ignorar todas las capas de mayor radio, de acuerdo con el teorema de la capa. Entonces, la masa restante${\displaystyle m}$ es proporcional a ${\displaystyle r^{3}}$ (porque se basa en el volumen), y la fuerza gravitacional ejercida sobre él es proporcional a ${\textstyle {\frac {m}{r^{2}}}}$(la ley del cuadrado inverso ), por lo que el efecto gravitacional general es proporcional a${\textstyle {\frac {r^{3}}{r^{2}}}=r}$, entonces es lineal en${\displaystyle r}$.

Estos resultados fueron importantes para el análisis de Newton del movimiento planetario; no son inmediatamente obvios, pero pueden probarse con cálculo . (Alternativamente, la ley de la gravedad de Gauss ofrece una forma mucho más sencilla de demostrar los mismos resultados).

Además de la gravedad , el teorema de la capa también se puede utilizar para describir el campo eléctrico generado por una densidad de carga estática esféricamente simétrica , o de manera similar para cualquier otro fenómeno que siga una ley del cuadrado inverso . Las siguientes derivaciones se centran en la gravedad, pero los resultados se pueden generalizar fácilmente a la fuerza electrostática .

Derivación del campo gravitacional fuera de una esfera sólida

Hay tres pasos para demostrar el teorema de la cáscara de Newton. Primero, se derivará la ecuación para un campo gravitacional debido a un anillo de masa. Organizando un número infinito de anillos infinitamente delgados para hacer un disco, esta ecuación que involucra un anillo se usará para encontrar el campo gravitacional debido a un disco. Finalmente, ordenando un número infinito de discos infinitamente delgados para hacer una esfera, esta ecuación que involucra un disco se usará para encontrar el campo gravitacional debido a una esfera.

El campo gravitacional ${\displaystyle E}$ en una posición llamada ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle (x,y)=(-p,0)}$en el eje x debido a un punto de masa${\displaystyle M}$ en el origen es

${\displaystyle E_{\text{point}}={\frac {GM}{p^{2}}}}$

Suponga que esta masa se mueve hacia arriba a lo largo del eje y hasta el punto${\displaystyle (0,R)}$. La distancia entre${\displaystyle P}$y la masa puntual es ahora más larga que antes; Se convierte en la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos.${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle R}$ cual es ${\textstyle {\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}$. Por lo tanto, el campo gravitacional del punto elevado es:

${\displaystyle E_{\text{elevated point}}={\frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}}$

La magnitud del campo gravitacional que tiraría de una partícula en el punto ${\displaystyle P}$en la dirección x es el campo gravitacional multiplicado por${\displaystyle \cos(\theta )}$ dónde ${\displaystyle \theta }$es el ángulo adyacente al eje x . En este caso,${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}}$. Por tanto, la magnitud del campo gravitacional en la dirección x ,${\displaystyle E_{x}}$ es:

${\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}}$

Sustituyendo en ${\displaystyle \cos(\theta )}$ da

${\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$

Suponga que esta masa se distribuye uniformemente en un anillo centrado en el origen y el punto de cara ${\displaystyle P}$ con el mismo radio ${\displaystyle R}$. Debido a que toda la masa está ubicada en el mismo ángulo con respecto al eje x , y la distancia entre los puntos del anillo es la misma que antes, el campo gravitacional en la dirección x en el punto${\displaystyle P}$ debido a que el anillo es lo mismo que una masa puntual ubicada en un punto ${\displaystyle R}$unidades por encima del eje y :

${\displaystyle E_{\text{ring}}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$

Para encontrar el campo gravitacional en el punto ${\displaystyle P}$ debido a un disco, un número infinito de anillos infinitamente delgados enfrentados ${\displaystyle P}$, cada uno con un radio${\displaystyle y}$, ancho de${\displaystyle dy}$, Y la masa de${\displaystyle dM}$pueden colocarse unos dentro de otros para formar un disco. La masa de cualquiera de los anillos.${\displaystyle dM}$ es la masa del disco multiplicada por la relación del área del anillo ${\displaystyle 2\pi y\,dy}$ al área total del disco ${\displaystyle \pi R^{2}}$. Entonces,${\textstyle dM={\frac {M\cdot 2y\,dy}{R^{2}}}}$. Por tanto, un pequeño cambio en el campo gravitacional,${\displaystyle E}$ es:

${\displaystyle dE={\frac {Gp\,dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$

Sustituyendo en ${\displaystyle dM}$ e integrar ambos lados da el campo gravitacional del disco:

${\displaystyle E=\int {\frac {GMp\cdot {\frac {2y\,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$

Sumando la contribución al campo gravitacional de cada uno de estos anillos se obtendrá la expresión del campo gravitacional debido a un disco. Esto es equivalente a integrar esta expresión anterior de${\displaystyle y=0}$ a ${\displaystyle y=R}$, resultando en:

${\displaystyle E_{\text{disc}}={\frac {2GM}{R^{2}}}\left(1-{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}\right)}$

Para encontrar el campo gravitacional en el punto ${\displaystyle P}$ debido a una esfera centrada en el origen, una cantidad infinita de discos infinitamente delgados enfrentados ${\displaystyle P}$, cada uno con un radio${\displaystyle R}$, ancho de${\displaystyle dx}$, Y la masa de${\displaystyle dM}$ pueden colocarse juntos.

Los radios de estos discos ${\displaystyle R}$ seguir la altura de la sección transversal de una esfera (con radio constante ${\displaystyle a}$) que es una ecuación de un semicírculo: ${\textstyle R={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$. ${\displaystyle x}$ varía de ${\displaystyle -a}$ a ${\displaystyle a}$.

La masa de cualquiera de los discos. ${\displaystyle dM}$ es la masa de la esfera ${\displaystyle M}$ multiplicado por la razón del volumen de un disco infinitamente delgado dividido por el volumen de una esfera (con radio constante ${\displaystyle a}$). El volumen de un disco infinitamente delgado es${\displaystyle \pi R^{2}\,dx}$, o${\textstyle \pi \left(a^{2}-x^{2}\right)dx}$. Entonces,${\textstyle dM={\frac {\pi M(a^{2}-x^{2})\,dx}{{\frac {4}{3}}\pi a^{3}}}}$.  Simplificando da${\textstyle dM={\frac {3M(a^{2}-x^{2})\,dx}{4a^{3}}}}$.

La posición de cada disco lejos de ${\displaystyle P}$ variará con su posición dentro de la 'esfera' hecha de los discos, por lo que ${\displaystyle p}$ debe ser reemplazado con ${\displaystyle p+x}$.

Reemplazo ${\displaystyle M}$ con ${\displaystyle dM}$, ${\displaystyle R}$ con ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$, y${\displaystyle p}$ con ${\displaystyle p+x}$ en la ecuación del 'disco' produce:

${\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx}$

Simplificando,

${\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}\left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {p^{2}+a^{2}+2px}}}\right)\,dx}$

Integrando el campo gravitacional de cada disco delgado de ${\displaystyle x=-a}$ a ${\displaystyle x=+a}$ con respecto a ${\displaystyle x}$, Y haciendo un poco de álgebra cuidado, produce teorema de cáscara de Newton:

${\displaystyle E={\frac {GM}{p^{2}}}}$

dónde ${\displaystyle p}$ es la distancia entre el centro de la masa esférica y un punto arbitrario ${\displaystyle P}$.  El campo gravitacional de una masa esférica se puede calcular tratando toda la masa como una partícula puntual en el centro de la esfera.

Fuera de un caparazón

Un cuerpo sólido esféricamente simétrico puede modelarse como un número infinito de conchas esféricas concéntricas infinitesimalmente delgadas. Si una de estas capas puede tratarse como una masa puntual, entonces un sistema de capas (es decir, la esfera) también puede tratarse como una masa puntual. Considere una de esas conchas (el diagrama muestra una sección transversal):

(Nota la ${\displaystyle d\theta }$en el diagrama se refiere al ángulo pequeño, no a la longitud del arco . La longitud del arco es${\textstyle R\,d\theta }$.)

Aplicando la Ley Universal de Gravitación de Newton , la suma de las fuerzas debidas a los elementos de masa en la banda sombreada es

${\displaystyle dF={\frac {Gm}{s^{2}}}dM.}$

Sin embargo, dado que hay una cancelación parcial debido a la naturaleza vectorial de la fuerza en conjunto con la simetría de la banda circular, el componente sobrante (en la dirección que apunta hacia${\displaystyle m}$) está dado por

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm}{s^{2}}}\cos(\varphi )\,dM}$

La fuerza total sobre ${\displaystyle m}$, entonces, es simplemente la suma de la fuerza ejercida por todas las bandas. Al reducir el ancho de cada banda y aumentar el número de bandas, la suma se convierte en una expresión integral:

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

Desde ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle m}$ son constantes, se pueden sacar de la integral:

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,dM.}$

Para evaluar esta integral, primero se debe expresar ${\displaystyle dM}$ como una función de ${\displaystyle d\theta }$

La superficie total de una cáscara esférica es

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

mientras que el área de la superficie del corte delgado entre ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \theta +d\theta }$ es

${\displaystyle 2\pi R\sin(\theta )R\,d\theta =2\pi R^{2}\sin(\theta )\,d\theta }$

Si la masa del caparazón es ${\displaystyle M}$, uno por lo tanto tiene eso

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin(\theta )}{4\pi R^{2}}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}M\sin(\theta )\,d\theta }$

y

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta }$

Por la ley de los cosenos ,

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

y

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

Estas dos relaciones vinculan los tres parámetros ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \varphi }$ y ${\displaystyle s}$que aparecen en la integral juntos. Como${\displaystyle \theta }$ aumenta de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle \pi }$ radianes, ${\displaystyle \varphi }$varía desde el valor inicial 0 hasta un valor máximo antes de volver finalmente a cero en${\displaystyle \theta =\pi }$. Al mismo tiempo,${\displaystyle s}$ aumenta desde el valor inicial ${\displaystyle r-R}$ al valor final ${\displaystyle r+R}$ como ${\displaystyle \theta }$ aumenta de 0 a ${\displaystyle \pi }$radianes. Esto se ilustra en la siguiente animación:

(Nota: visto desde ${\displaystyle m}$, la banda azul sombreada aparece como un anillo delgado cuyos radios interior y exterior convergen para${\displaystyle R\sin(\theta )}$ como ${\displaystyle d\theta }$ desaparece.)

Para encontrar una función primitiva para el integrando, uno tiene que hacer${\displaystyle s}$ la variable de integración independiente en lugar de ${\displaystyle \theta }$.

Al realizar una diferenciación implícita de la segunda de las expresiones de la "ley del coseno" anteriores se obtiene

${\displaystyle -\sin(\theta )\,d\theta ={\frac {-2s}{2rR}}\,ds}$

y por lo tanto

${\displaystyle \sin(\theta )\,d\theta ={\frac {s}{rR}}\,ds.}$

Resulta que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}{\frac {1}{rR}}\int {\frac {s\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,ds={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos(\varphi )}{s}}\,ds}$

donde la nueva variable de integración ${\displaystyle s}$ aumenta de ${\displaystyle r-R}$ a ${\displaystyle r+R}$.

Insertar la expresión para ${\displaystyle \cos(\varphi )}$ usando la primera de las expresiones de la "ley del coseno" anteriores, finalmente se obtiene que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\ ds\ .}$

Una función primitiva del integrando es

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\ ,}$

e insertando los límites ${\displaystyle r-R}$ y ${\displaystyle r+R}$ para la variable de integración ${\displaystyle s}$ en esta función primitiva, se obtiene que

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}},}$

diciendo que la fuerza gravitacional es la misma que la de una masa puntual en el centro del caparazón con la misma masa.

Finalmente, integre toda la cáscara esférica infinitesimalmente delgada con masa de ${\displaystyle dM}$, y podemos obtener la contribución a la gravedad total de una bola sólida al objeto fuera de la bola

${\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}$

Entre el radio de ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle x+dx}$, ${\displaystyle dM}$ se puede expresar en función de ${\displaystyle x}$, es decir,

${\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}$

Por lo tanto, la gravedad total es

${\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}\,dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

lo que sugiere que la gravedad de una bola esférica sólida sobre un objeto exterior se puede simplificar como la de una masa puntual en el centro de la bola con la misma masa.

Dentro de un caparazón

Para un punto dentro del caparazón, la diferencia es que cuando θ es igual a cero, ϕ toma el valor π radianes ys el valor R - r . Cuando θ aumenta de 0 a π radianes, ϕ disminuye del valor inicial π radianes a cero y s aumenta del valor inicial R - r al valor R + r .

Todo esto se puede ver en la siguiente figura

Insertar estos límites en la función primitiva

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}}$

uno consigue eso, en este caso

${\displaystyle F_{r}=0,}$

diciendo que las fuerzas gravitacionales netas que actúan sobre la masa puntual de los elementos de masa del caparazón, fuera del punto de medición, se cancelan.

Generalización: Si${\displaystyle f={\frac {k}{r^{p}}}}$, la fuerza resultante dentro del caparazón es:

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

Los resultados anteriores en ${\displaystyle F(r)}$ siendo idénticamente cero si y solo si ${\displaystyle p=2}$

Fuera del caparazón (es decir ${\displaystyle r>R}$ o ${\displaystyle r<-R}$):

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

Derivación usando la ley de Gauss

El teorema de la cáscara es una consecuencia inmediata de la ley de gravedad de Gauss que dice que

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM}$

donde M es la masa de la parte de la distribución de masa esféricamente simétrica que está dentro de la esfera con radio r y

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$

es la integral de superficie del campo gravitacional g sobre cualquier superficie cerrada dentro de la cual la masa total es M , el vector unitario ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ siendo la normal exterior a la superficie.

El campo gravitacional de una distribución de masa esféricamente simétrica como un punto de masa, una cáscara esférica o una esfera homogénea también debe ser esféricamente simétrica. Si${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ es un vector unitario en la dirección desde el punto de simetría a otro punto, el campo gravitacional en este otro punto debe, por tanto, ser

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

donde g ( r ) solo depende de la distancia r al punto de simetría

Seleccionando la superficie cerrada como una esfera con radio r con centro en el punto de simetría, la normal hacia afuera a un punto en la superficie,${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$, es precisamente la dirección que se aleja del punto de simetría de la distribución de masa.

Uno, por tanto, tiene que

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

y

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,dS=g(r)4\pi r^{2}}$

ya que el área de la esfera es 4 π r ² .

De la ley de Gauss se sigue que

${\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,}$

o,

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

Conversaciones y generalizaciones

Es natural preguntarse si el inverso del teorema de la capa es verdadero, es decir, si el resultado del teorema implica la ley de la gravitación universal, o si existe alguna ley de fuerza más general para la que se cumple el teorema. Más específicamente, uno puede hacer la pregunta:

Supongamos que hay una fuerza ${\displaystyle F}$entre masas M y m , separadas por una distancia r de la forma ${\displaystyle F=Mmf(r)}$de manera que cualquier cuerpo de simetría esférica afecte a los cuerpos externos como si su masa estuviera concentrada en su centro. Entonces, ¿de qué forma puede la función ${\displaystyle f}$ ¿llevar?

De hecho, esto permite exactamente una clase más de fuerza que el cuadrado inverso (newtoniano). ^{[2] [3]} La fuerza más general derivada de ^[2] es:

${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda Mmr}{3}}}$

dónde ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle \Lambda }$pueden ser constantes que toman cualquier valor. El primer término es la conocida ley de la gravitación universal; la segunda es una fuerza adicional, análoga al término constante cosmológica en la relatividad general .

Si restringimos aún más la fuerza requiriendo que la segunda parte del teorema también sea válida, es decir, que no haya fuerza dentro de una bola hueca, excluimos la posibilidad del término adicional, y la ley del cuadrado inverso es de hecho la ley de fuerza única que satisface el teorema.

Por otro lado, si relajamos las condiciones y solo requerimos que el campo en todas partes fuera de un cuerpo esféricamente simétrico sea el mismo que el campo de algún punto de masa en el centro (de cualquier masa), permitimos una nueva clase de soluciones dadas por el potencial Yukawa , del cual la ley del cuadrado inverso es un caso especial.

Se puede hacer otra generalización para un disco observando que

${\displaystyle dM={\frac {R^{2}}{2}}{\frac {d\theta \,\sin ^{2}(\theta )}{\pi R^{2}}}M={\frac {\sin ^{2}(\theta )}{2\pi }}M\,d\theta }$

entonces:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2\pi }}\int {\frac {\sin ^{2}(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta ,}$

dónde ${\displaystyle M=\pi R^{2}\rho }$, y${\displaystyle \rho }$ es la densidad del cuerpo.

Haciendo todos los cálculos intermedios obtenemos:

${\displaystyle F(r)={\frac {Gm\rho }{8r^{3}}}\int _{R-r}^{R+r}{\frac {\left(r^{2}+s^{2}-R^{2}\right){\sqrt {2\left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}\right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}}\,ds}$

Pruebas de Newton

Introducción

Las proposiciones 70 y 71 consideran la fuerza que actúa sobre una partícula desde una esfera hueca con una superficie infinitesimalmente delgada, cuya densidad de masa es constante sobre la superficie. La fuerza sobre la partícula desde un área pequeña de la superficie de la esfera es proporcional a la masa del área e inversamente al cuadrado de su distancia a la partícula. La primera proposición considera el caso cuando la partícula está dentro de la esfera, la segunda cuando está fuera. El uso de infinitesimales y procesos de limitación en construcciones geométricas son simples y elegantes y evitan la necesidad de integraciones. Ilustran bien el método de Newton de probar muchas de las proposiciones de los Principia .

Su prueba de las Proposiciones 70 es trivial. A continuación, se considera con un poco más de detalle de lo que proporciona Newton.

La prueba de la Proposición 71 es históricamente más significativa. Forma la primera parte de su demostración de que la fuerza gravitacional de una esfera sólida que actúa sobre una partícula fuera de ella es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia desde el centro de la esfera, siempre que la densidad en cualquier punto dentro de la esfera sea una función. sólo de su distancia desde el centro de la esfera.

Aunque las siguientes son completamente fieles a las pruebas de Newton, se han realizado cambios muy pequeños para intentar hacerlas más claras.

Fuerza en un punto dentro de una esfera hueca

La figura 2 es una sección transversal de la esfera hueca a través del centro, S y un punto arbitrario, P, dentro de la esfera. A través de P, dibuje dos líneas IL y HK de modo que el ángulo KPL sea muy pequeño. JM es la línea que pasa por P que biseca ese ángulo. Por la geometría de los círculos, los triángulos IPH y KPL son similares. Las líneas KH e IL se rotan alrededor del eje JM para formar 2 conos que intersecan la esfera en 2 curvas cerradas. En la Fig. 1, la esfera se ve desde una distancia a lo largo de la línea PE y se supone transparente, por lo que se pueden ver ambas curvas.

La superficie de la esfera en la que se cruzan los conos se puede considerar plana, y ${\displaystyle \angle PJI=\angle PMK}$.

Dado que la intersección de un cono con un plano es una elipse, en este caso las intersecciones forman dos elipses con ejes mayores IH y KL, donde ${\displaystyle {\frac {IH}{KL}}={\frac {PJ}{PM}}}$.

Por un argumento similar, los ejes menores están en la misma proporción. Esto queda claro si la esfera se ve desde arriba. Por lo tanto, las dos elipses son similares, por lo que sus áreas son como los cuadrados de sus ejes principales. Como la masa de cualquier sección de la superficie es proporcional al área de esa sección, para las 2 áreas elípticas las proporciones de sus masas${\displaystyle \propto {\frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}}$.

Dado que la fuerza de atracción sobre P en la dirección JM desde cualquiera de las áreas elípticas, es directa como la masa del área e inversamente como el cuadrado de su distancia a P, es independiente de la distancia de P a la esfera. Por lo tanto, las fuerzas sobre P de las 2 áreas elípticas infinitesimales son iguales y opuestas y no hay fuerza neta en la dirección JM.

Como la posición de P y la dirección de JM son arbitrarias, se deduce que cualquier partícula dentro de una esfera hueca no experimenta ninguna fuerza neta de la masa de la esfera.

Nota: Newton simplemente describe los arcos IH y KL como 'mínimamente pequeños' y las áreas trazadas por las líneas IL y HK pueden tener cualquier forma, no necesariamente elíptica, pero siempre serán similares.

Fuerza en un punto fuera de una esfera hueca

La figura 1 es una sección transversal de la esfera hueca a través del centro, S con un punto arbitrario, P, fuera de la esfera. PT es la tangente al círculo en T que pasa por P. HI es un pequeño arco en la superficie tal que PH es menor que PT. Extienda PI para intersecar la esfera en L y dibuje SF hasta el punto F que biseca a IL. Extienda PH para intersecar la esfera en K y dibuje SE hasta el punto E que biseca HK, y extienda SF para intersecar HK en D. Coloque un IQ perpendicular en la línea PS que une P con el centro S. Sea el radio de la esfera sea ​​a y la distancia PS sea D.

Sea el arco IH extendido perpendicularmente fuera del plano del diagrama, una pequeña distancia ζ. El área de la figura generada es${\displaystyle IH\cdot \zeta }$, y su masa es proporcional a este producto.

La fuerza debida a esta masa sobre la partícula en P ${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot \zeta }{PI^{2}}}}$ y está a lo largo de la línea PI.

El componente de esta fuerza hacia el centro ${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot PQ\cdot \zeta }{PI^{3}}}}$.

Si ahora el arco HI se gira completamente alrededor de la línea PS para formar un anillo de ancho HI y radio IQ , la longitud del anillo es 2 π · IQ y su área es 2 π · IQ · IH . La componente de la fuerza debida a este anillo sobre la partícula en P en la dirección PS se convierte en${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}}$.

Las componentes perpendiculares de la fuerza dirigida hacia PS se cancelan ya que la masa en el anillo se distribuye simétricamente alrededor de PS . Por lo tanto, el componente en la dirección PS es la fuerza total sobre P debido al anillo formado al girar el arco HI alrededor de PS .

De triángulos similares: ${\displaystyle {\frac {IQ}{PI}}={\frac {FS}{D}}}$; ${\displaystyle {\frac {PQ}{PI}}={\frac {PF}{D}}}$, y${\displaystyle {\frac {RI}{PI}}={\frac {DF}{PF}}}$.

Si HI es lo suficientemente pequeño como para poder tomarlo como una línea recta, ${\displaystyle \angle SIH}$ es un ángulo recto, y ${\displaystyle \angle RIH=\angle FIS}$, para que${\displaystyle {\frac {HI}{RI}}={\frac {a}{IF}}}$.

Por tanto, la fuerza sobre P debida al anillo${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS\cdot PF}{IF\cdot PF\cdot D\cdot D}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS}{IF\cdot D^{2}}}}$.

Suponga ahora en la figura 2 que otra partícula está fuera de la esfera en un punto p , a una distancia d diferente del centro de la esfera, con los puntos correspondientes escritos en minúsculas. Para facilitar la comparación, la construcción de P en la Fig. 1 también se muestra en la Fig. 2. Como antes, ph es menor que pt .

Genere un anillo con ancho ih y radio iq haciendo ángulo ${\displaystyle fiS=FIS}$ y el ángulo un poco más grande ${\displaystyle dhS=DHS}$, de modo que la distancia PS está subtendida por el mismo ángulo en I que pS en i. Lo mismo es válido para H y h, respectivamente.

La fuerza total sobre p debida a este anillo es

${\displaystyle \propto {\frac {ih\cdot iq\cdot pq}{pi^{3}}}={\frac {a\cdot df\cdot fS}{if\cdot d^{2}}}}$

Claramente ${\displaystyle fS=FS}$, ${\displaystyle if=IF}$, y${\displaystyle eS=ES}$.

Newton afirma que DF y df pueden tomarse como iguales en el límite ya que los ángulos DPF y dpf 'se desvanecen juntos'. Tenga en cuenta que los ángulos DPF y dpf no son iguales. Aunque DS y dS se vuelven iguales en el límite, esto no implica que la relación de DF a df sea igual a la unidad, cuando DF y df se acercan a cero. En el caso finito, DF depende de D y df de d, por lo que no son iguales.

Dado que la relación de DF a gl en el límite es crucial, se requiere un análisis más detallado. De los triángulos rectángulos similares,${\textstyle {\frac {DF}{PF}}={\frac {ED}{ES}}}$ y ${\displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}}$, dando${\displaystyle {\frac {\left(PF^{2}-ES^{2}\right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0}$. Resolviendo la cuadrática para DF, en el límite cuando ES se acerca a FS, la raíz más pequeña,${\displaystyle DF=ES-FS}$. Más simplemente, a medida que DF se acerca a cero, en el límite el${\displaystyle DF^{2}}$ El término se puede ignorar: ${\displaystyle 2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0}$conduciendo al mismo resultado. Claramente df tiene el mismo límite, lo que justifica la afirmación de Newton.

Comparando la fuerza del anillo HI girado alrededor de PS con el anillo hi alrededor de pS, la relación de estas 2 fuerzas es igual a ${\textstyle {\frac {d^{2}}{D^{2}}}}$.

Al dividir los arcos AT y Bt en anillos infinitesimales correspondientes, se deduce que la relación entre la fuerza debida al arco AT girado alrededor de PS y la de Bt girado alrededor de pS está en la misma relación, y de manera similar, la relación de las fuerzas debido al arco TB al de tA ambos rotados están en la misma relación.

Por lo tanto, la fuerza sobre una partícula a cualquier distancia D desde el centro de la esfera hueca es inversamente proporcional a ${\displaystyle D^{2}}$, lo que prueba la proposición.

Teorema de Shell en la relatividad general

Existe un análogo del teorema de la cáscara en la relatividad general (GR).

La simetría esférica implica que la métrica tiene una geometría de Schwarzschild independiente del tiempo, incluso si una masa central está sufriendo un colapso gravitacional (Misner et al. 1973; ver el teorema de Birkhoff ). Por tanto, la métrica tiene forma

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r)\,dt^{2}+(1-2M/r)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega ^{2}}$

(usando unidades geometrizadas , donde${\displaystyle G=c=1}$). Para${\displaystyle r>R>0}$ (dónde ${\displaystyle R}$es el radio de alguna capa de masa), la masa actúa como una función delta en el origen. Para${\displaystyle r<R}$, las capas de masa pueden existir externamente, pero para que la métrica no sea singular en el origen,${\displaystyle M}$debe ser cero en la métrica. Esto reduce la métrica al espacio plano de Minkowski ; por tanto, las capas externas no tienen efecto gravitacional.

Este resultado ilumina el colapso gravitacional que conduce a un agujero negro y su efecto sobre el movimiento de los rayos de luz y las partículas fuera y dentro del horizonte de eventos (Hartle 2003, capítulo 12).

Ver también

• Altura de escala

Referencias

1. Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Londres. pp. Teorema XXXI.
2. Gurzadyan, Vahe (1985). "La constante cosmológica en el esquema cosmológico de McCrea-Milne". El Observatorio . 105 : 42–43. Código Bibliográfico : 1985Obs ... 105 ... 42G . http://adsabs.harvard.edu/full/1985Obs...105...42G
3. Arens, Richard (1 de enero de 1990). "Observaciones de Newton sobre el campo de una capa esférica delgada uniforme". Note di Matematica . X (Suplemento n. 1): 39–45.