En matemáticas , la aditividad (específicamente la aditividad finita) y la aditividad sigma (también llamada aditividad contable) de una función (a menudo una medida ) definida en subconjuntos de un conjunto dado son abstracciones de cómo las propiedades intuitivas de tamaño ( longitud , área , volumen ) de un establezca la suma al considerar varios objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ-aditividad; es decir, σ-aditividad implica aditividad.
Funciones de conjunto aditivas (o finitamente aditivas)
Dejar ser una función definida en un álgebra de conjuntos con valores en [−∞, + ∞] (ver la recta numérica real extendida ). La funciónse llama aditivo, o finitamente aditivo, si, siempre que A y B son conjuntos disjuntos en, uno tiene
(Una consecuencia de esto es que una función aditiva no puede tomar tanto −∞ como + ∞ como valores, ya que la expresión ∞ - ∞ no está definida.) °
Se puede probar por inducción matemática que una función aditiva satisface
para cualquier disjunto se establece en .
funciones de conjuntos σ-aditivos
Suponer que es un σ-álgebra . Si por alguna secuencia de conjuntos disjuntos por pares en , uno tiene
- ,
decimos que μ es numerablemente aditivo o σ-aditivo.
Cualquier función σ-aditiva es aditiva pero no al revés, como se muestra a continuación.
Funciones del conjunto τ-aditivo
Supongamos que además de un álgebra sigma , tenemos una topología τ. Si para cualquier familia dirigida de conjuntos abiertos medibles ⊆ ∩ τ,
- ,
decimos que μ es τ-aditivo. En particular, si μ es interno regular (con respecto a los conjuntos compactos) entonces es τ-aditivo. [1]
Propiedades
Propiedades básicas
Las propiedades útiles de una función aditiva μ incluyen las siguientes:
- O μ (∅) = 0, o μ asigna ∞ a todos los conjuntos en su dominio, o μ asigna −∞ a todos los conjuntos en su dominio.
- Si μ no es negativo y A ⊆ B , entonces μ ( A ) ≤ μ ( B ).
- Si se definen A ⊆ B y μ ( B ) - μ ( A ), entonces μ ( B \ A ) = μ ( B ) - μ ( A ).
- Dados A y B , μ ( A ∪ B ) + μ ( A ∩ B ) = μ ( A ) + μ ( B ).
Ejemplos de
Un ejemplo de una función σ-aditiva es la función μ definida sobre el conjunto de potencias de los números reales , tal que
Si es una secuencia de conjuntos disjuntos de números reales, entonces ninguno de los conjuntos contiene 0, o precisamente uno de ellos lo hace. En cualquier caso, la igualdad
sostiene.
Consulte medida y medida con signo para obtener más ejemplos de funciones σ-aditivas.
Una función aditiva que no es σ-aditiva
Un ejemplo de una función aditiva que no es σ-aditiva se obtiene considerando μ, definida sobre los conjuntos de Lebesgue de los números reales mediante la fórmula
donde λ denota la medida de Lebesgue y lim el límite de Banach .
Se puede comprobar que esta función es aditiva utilizando la linealidad del límite. Que esta función no es σ-aditiva se sigue considerando la secuencia de conjuntos disjuntos
para n = 0, 1, 2, ... La unión de estos conjuntos son los reales positivos , y μ aplicado a la unión es entonces uno, mientras que μ aplicado a cualquiera de los conjuntos individuales es cero, por lo que la suma de μ ( Un n ) también es cero, lo que prueba el contraejemplo.
Generalizaciones
Se pueden definir funciones aditivas con valores en cualquier monoide aditivo (por ejemplo, cualquier grupo o más comúnmente un espacio vectorial ). Para la aditividad sigma, se necesita además que el concepto de límite de una secuencia se defina en ese conjunto. Por ejemplo, las medidas espectrales son funciones sigma-aditivas con valores en un álgebra de Banach . Otro ejemplo, también de la mecánica cuántica, es la medida positiva valorada por el operador .
Ver también
- medida firmada
- medir (matemáticas)
- mapa aditivo
- función subaditiva
- σ-medida finita
- Teorema de Hahn-Kolmogorov
- τ-aditividad
Este artículo incorpora material de aditivo en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Referencias
- ^ Teoría de la medida de DH Fremlin , volumen 4 , Torres Fremlin, 2003.