En el procesamiento de señales , la reconstrucción generalmente significa la determinación de una señal continua original a partir de una secuencia de muestras igualmente espaciadas.
Este artículo adopta un enfoque matemático abstracto generalizado para el muestreo y la reconstrucción de señales. Para obtener un enfoque más práctico basado en señales de banda limitada, consulte la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .
Principio general
Sea F cualquier método de muestreo, es decir, un mapa lineal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadradoal espacio complejo.
En nuestro ejemplo, el espacio vectorial de las señales muestreadas es un espacio complejo n- dimensional. Cualquier R inversa propuesta de F ( fórmula de reconstrucción , en la jerga) tendría que mapear a algún subconjunto de . Podríamos elegir este subconjunto arbitrariamente, pero si queremos una fórmula de reconstrucción R que también sea un mapa lineal, entonces tenemos que elegir un subespacio lineal n- dimensional de.
Este hecho de que las dimensiones deben coincidir está relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .
El enfoque de álgebra lineal elemental funciona aquí. Dejar(todas las entradas son cero, excepto la entrada k- ésima, que es una) o alguna otra base de. Para definir una inversa para F , simplemente elija, para cada k , una así que eso . Esto define de forma única el (pseudo-) inversa de F .
Por supuesto, primero se puede elegir alguna fórmula de reconstrucción y luego calcular algún algoritmo de muestreo a partir de la fórmula de reconstrucción o analizar el comportamiento de un algoritmo de muestreo dado con respecto a la fórmula dada.
Idealmente, la fórmula de reconstrucción se deriva minimizando la varianza del error esperado. Esto requiere que se conozcan las estadísticas de la señal o que se pueda especificar una probabilidad previa para la señal. La teoría del campo de información es entonces un formalismo matemático apropiado para derivar una fórmula de reconstrucción óptima. [1]
Fórmulas de reconstrucción populares
Quizás la fórmula de reconstrucción más utilizada sea la siguiente. Dejar ser una base de en el sentido espacial de Hilbert; por ejemplo, uno podría usar el eikonal
- ,
aunque sin duda son posibles otras opciones. Tenga en cuenta que aquí el índice k puede ser cualquier número entero, incluso negativo.
Entonces podemos definir un mapa lineal R por
para cada , dónde es la base de dada por
(Esta es la base discreta habitual de Fourier).
La elección de la gama es algo arbitrario, aunque satisface el requisito de dimensionalidad y refleja la noción habitual de que la información más importante está contenida en las bajas frecuencias. En algunos casos, esto es incorrecto, por lo que es necesario elegir una fórmula de reconstrucción diferente.
Se puede obtener un enfoque similar utilizando ondículas en lugar de bases de Hilbert. Para muchas aplicaciones, el mejor enfoque todavía no está claro en la actualidad. [ investigación original? ]
Ver también
Referencias
- ^ "Teoría del campo de información" . Sociedad Max Planck . Consultado el 13 de noviembre de 2014 .