La aritmética de significancia es un conjunto de reglas (a veces llamadas reglas de cifras significativas ) para aproximar la propagación de la incertidumbre en cálculos científicos o estadísticos. Estas reglas se pueden utilizar para encontrar el número apropiado de cifras significativas que se utilizarán para representar el resultado de un cálculo. Si se realiza un cálculo sin un análisis de la incertidumbre involucrada, un resultado que se escribe con demasiadas cifras significativas puede considerarse que implica una precisión mayor que la conocida, y un resultado que se escribe con muy pocas cifras significativas da como resultado una pérdida evitable. de precisión. Comprender estas reglas requiere una buena comprensión del concepto de cifras significativas e insignificantes..
Las reglas de la aritmética de significancia son una aproximación basada en reglas estadísticas para tratar con distribuciones de probabilidad. Consulte el artículo sobre la propagación de la incertidumbre para conocer estas reglas más avanzadas y precisas. Las reglas aritméticas de significación se basan en el supuesto de que el número de cifras significativas en los operandos proporciona información precisa sobre la incertidumbre de los operandos y, por tanto, la incertidumbre del resultado. Para conocer las alternativas, consulte Aritmética de intervalos y Mitigación de errores de coma flotante .
Una advertencia importante es que las cifras significativas se aplican solo a los valores medidos . Los valores que se sabe que son exactos deben ignorarse para determinar el número de cifras significativas que pertenecen al resultado. Ejemplos de tales valores incluyen:
- recuentos enteros (por ejemplo, el número de naranjas en una bolsa)
- definiciones de una unidad en términos de otra (por ejemplo, un minuto es 60 segundos)
- precios reales solicitados u ofrecidos, y cantidades dadas en las especificaciones de requisitos
- conversiones definidas legalmente, como el cambio de moneda internacional
- operaciones escalares, como "triplicar" o "reducir a la mitad"
- constantes matemáticas, como π y e
Sin embargo, las constantes físicas, como la constante gravitacional , tienen un número limitado de dígitos significativos, porque estas constantes las conocemos sólo mediante medidas. Por otro lado, c (la velocidad de la luz ) es exactamente 299,792,458 m / s por definición.
Multiplicación y división usando aritmética de significancia
Al multiplicar o dividir números, el resultado se redondea al número de cifras significativas en el factor con las cifras menos significativas. Aquí, la cantidad de cifras significativas en cada uno de los factores es importante, no la posición de las cifras significativas. Por ejemplo, usando reglas aritméticas de importancia:
- 8 × 8 ≈ 6 × 10 1
- 8 × 8,0 ≈ 6 × 10 1
- 8.0 × 8.0 ≈ 64
- 8.02 × 8.02 ≈ 64.3
- 8 / 2,0 ≈ 4
- 8,6 / 2,0012 ≈ 4,3
- 2 × 0,8 ≈ 2
Si, en lo anterior, se supone que los números son medidas (y por lo tanto probablemente inexactos), entonces el "8" de arriba representa una medida inexacta con sólo un dígito significativo. Por lo tanto, el resultado de "8 × 8" se redondea a un resultado con un solo dígito significativo, es decir, "6 × 10 1 " en lugar del "64" sin redondear que cabría esperar. En muchos casos, el resultado redondeado es menos preciso que el resultado no redondeado; una medida de "8" tiene una cantidad subyacente real entre 7.5 y 8.5. El verdadero cuadrado estaría en el rango entre 56,25 y 72,25. Entonces, 6 × 10 1 es lo mejor que se puede dar, ya que otras posibles respuestas dan una falsa sensación de precisión. Además, el 6 × 10 1 es en sí mismo confuso (ya que podría considerarse que implica 60 ± 5, lo cual es demasiado optimista; más exacto sería 64 ± 8).
Suma y resta usando aritmética de significancia
Al sumar o restar usando reglas de cifras significativas, los resultados se redondean a la posición del dígito menos significativo en el más incierto de los números que se suman (o restan). [ cita requerida ] Es decir, el resultado se redondea al último dígito que sea significativo en cada uno de los números que se suman. Aquí la posición de las cifras significativas es importante, pero la cantidad de cifras significativas es irrelevante. Algunos ejemplos que utilizan estas reglas:
1 + 1.1 2
- 1 es significativo para el lugar de las unidades, 1,1 es significativo para el lugar de las décimas. De los dos, el menos preciso es el lugar de las unidades. La respuesta no puede tener cifras significativas más allá del lugar de las unidades.
1.0 + 1.1 2.1
- 1.0 y 1.1 son significativos para el lugar de las décimas, por lo que la respuesta también tendrá un número en el lugar de las décimas.
9,9 9,9 9,9 9,9 3.3 + 1.1 40,0
- Todos los sumandos son significativos para el décimo lugar, por lo que la respuesta es significativa para el décimo lugar. Si bien cada término tiene dos dígitos de importancia, la suma se transfiere a las columnas de las decenas, por lo que la respuesta tiene tres dígitos de importancia.
- 100 + 110 ≈ 200
- Vemos que la respuesta es 200, dado el significado al lugar de las centenas del 100. La respuesta mantiene un solo dígito de significado en el lugar de las centenas, al igual que el primer término en la aritmética.
- 100. + 110. = 210.
- 100. y 110. son ambos significativos para el lugar de las unidades (como lo indica el decimal), por lo que la respuesta también es significativa para el lugar de las unidades.
- 1 × 10 2 + 1,1 × 10 2 ≈ 2 × 10 2
- 100 es significativo hasta el lugar de las centenas, mientras que 110 es significativo hasta el lugar de las decenas. De los dos, el menos exacto es el de las centenas. La respuesta no debe tener dígitos significativos más allá de las centenas.
- 1.0 × 10 2 + 111 = 2.1 × 10 2
- 1.0 × 10 2 es significativo hasta el lugar de las decenas, mientras que 111 tiene números hasta el lugar de las unidades. La respuesta no tendrá cifras significativas más allá del lugar de las decenas.
- 123,25 + 46,0 + 86,26 ≈ 255,5
- 123.25 y 86.26 son significativos hasta el lugar de las centésimas, mientras que 46.0 solo es significativo hasta el lugar de las décimas. La respuesta será significativa hasta la décima posición.
- 100 - 1 ≈ 100
- Vemos que la respuesta es 100, dada la importancia del lugar de las centésimas del 100. Puede parecer contrario a la intuición, pero dada la naturaleza de los dígitos significativos que dictan precisión, podemos ver cómo esto se sigue de las reglas estándar.
Funciones trascendentales
Las funciones trascendentales tienen un método complicado para determinar el significado de la salida de la función. Estos incluyen funciones logarítmicas , funciones exponenciales y funciones trigonométricas . La importancia de la salida depende del número de condición . En general, el número de cifras significativas de la salida es igual al número de cifras significativas de la entrada de la función (argumento de la función) menos el orden de magnitud del número de condición.
El número de condición de una función diferenciable en un punto es consulte Número de condición: una variable para obtener más detalles. Tenga en cuenta que si una función tiene cero en un punto, su número de condición en el punto es infinito, ya que los cambios infinitesimales en la entrada pueden cambiar la salida de cero a un valor distinto de cero, lo que produce una relación con cero en el denominador, por lo tanto, un infinito. cambio relativo. El número de condición de las funciones más utilizadas es el siguiente; [1] estos se pueden utilizar para calcular cifras significativas para todas las funciones elementales :
Nombre | Símbolo | Número de condición |
---|---|---|
Suma resta | ||
Multiplicación escalar | ||
División | ||
Polinomio | ||
Funcion exponencial | ||
Logaritmo con base b | ||
Función de logaritmo natural | ||
Función seno | ||
Función coseno | ||
Función tangente | ||
Función de seno inverso | ||
Función coseno inverso | ||
Función de tangente inversa |
El hecho de que el número de cifras significativas de la salida de la función sea igual al número de cifras significativas de la entrada de la función (argumento de la función) menos el logaritmo en base 10 del número de condición puede derivarse fácilmente de los primeros principios. Dejar y ser los verdaderos valores y dejar y ser valores aproximados con errores y respectivamente. Entonces nosotros tenemos, , y .
Las cifras significativas de un número están relacionadas con el error incierto del número por donde "cifras significativas de x " significa aquí el número de cifras significativas de x . Sustituyendo esto en la ecuación anterior da:, ,
,
.
Reglas de redondeo
Debido a que la aritmética de significancia implica redondeo, es útil comprender una regla de redondeo específica que se usa a menudo cuando se realizan cálculos científicos: la regla de redondeo a par (también llamada redondeo bancario ). Es especialmente útil cuando se trata de grandes conjuntos de datos.
Esta regla ayuda a eliminar el sesgo hacia arriba de los datos cuando se utilizan las reglas de redondeo tradicionales. Mientras que el redondeo tradicional siempre se redondea al alza cuando el siguiente dígito es 5, los banqueros a veces redondean hacia abajo para eliminar este sesgo al alza.
Consulte el artículo sobre redondeo para obtener más información sobre las reglas de redondeo y una explicación detallada de la regla de redondeo a pares.
Desacuerdos sobre la importancia
Las cifras significativas se utilizan ampliamente en la escuela secundaria y los cursos de pregrado como una abreviatura de la precisión con la que se conoce una medición. Sin embargo, las cifras significativas no son una representación perfecta de la incertidumbre y no están destinadas a serlo. En cambio, son una herramienta útil para evitar expresar más información de la que el experimentador realmente sabe y para evitar redondear números de tal manera que se pierda precisión.
Por ejemplo, aquí hay algunas diferencias importantes entre las reglas de cifras significativas y la incertidumbre:
- La incertidumbre no es lo mismo que un error. Si el resultado de un experimento en particular se informa como 1.234 ± 0.056, no significa que el observador cometió un error; puede ser que el resultado sea inherentemente estadístico y se describa mejor mediante la expresión que indica un valor que muestra solo los dígitos que son significativos, es decir, los dígitos conocidos más un dígito incierto, en este caso 1,23 ± 0,06. Describir ese resultado como 1.234 sería incorrecto en estas circunstancias, aunque expresa menos incertidumbre.
- La incertidumbre no es lo mismo que la insignificancia y viceversa. Un número incierto puede ser muy significativo (ejemplo: promediado de la señal ). Por el contrario, un número completamente determinado puede ser insignificante.
- La significancia no es lo mismo que los dígitos significativos . El conteo de dígitos no es una forma tan rigurosa de representar la importancia como especificar la incertidumbre por separado y explícitamente (como 1.234 ± 0.056).
- La propagación manual y algebraica de la incertidumbre —el tema nominal de este artículo— es posible, pero desafiante. Los métodos alternativos incluyen el método de manivela tres veces y el método Monte Carlo . Otra opción es la aritmética de intervalos , que puede proporcionar un límite superior estricto de la incertidumbre, pero generalmente no es un límite superior ajustado (es decir, no proporciona una mejor estimación de la incertidumbre). Para la mayoría de los propósitos, Monte Carlo es más útil que la aritmética de intervalos. [ cita requerida ] Kahan considera que la aritmética de significancia no es confiable como una forma de análisis de errores automatizado. [2]
Para expresar explícitamente la incertidumbre en cualquier resultado incierto, la incertidumbre debe darse por separado, con un intervalo de incertidumbre y un intervalo de confianza. La expresión 1,23 U95 = 0,06 implica que se espera que el valor verdadero (incognoscible) de la variable se encuentre en el intervalo de 1,17 a 1,29 con al menos un 95% de confianza. Si no se especifica el intervalo de confianza, tradicionalmente se ha asumido que es del 95% correspondiente a dos desviaciones estándar de la media . También se utilizan habitualmente intervalos de confianza con una desviación estándar (68%) y tres desviaciones estándar (99%).
Ver también
Referencias
- ^ Harrison, John (junio de 2009). "Trascendentales decimales a través de binario" (PDF) . IEEE . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ William Kahan (1 de marzo de 1998). "Cómo el punto flotante de JAVA perjudica a todos en todas partes" (PDF) . págs. 37–39.
Otras lecturas
- Delury, DB (1958). "Cálculos con números aproximados". El profesor de matemáticas . 51 (7): 521-30. JSTOR 27955748 .
- Bond, EA (1931). "Dígitos significativos en el cálculo con números aproximados". El profesor de matemáticas . 24 (4): 208–12. JSTOR 27951340 .
- ASTM E29-06b, práctica estándar para el uso de dígitos significativos en datos de prueba para determinar la conformidad con las especificaciones
enlaces externos
- Preguntas frecuentes sobre la aritmética decimal: ¿la aritmética decimal es aritmética de "importancia"?
- Métodos avanzados para manejar la incertidumbre y algunas explicaciones de las deficiencias de la aritmética de significancia y las cifras significativas.
- Calculadora de cifras significativas : muestra un número con la cantidad deseada de dígitos significativos.
- Mediciones e incertidumbres versus dígitos significativos o cifras significativas : métodos adecuados para expresar la incertidumbre, incluida una discusión detallada de los problemas con cualquier noción de dígitos significativos.