Función Sinc

Función matemática especial definida como sin (x) / x

"Sinc" vuelve a dirigir aquí. Para conocer la designación utilizada en el Reino Unido para las áreas de interés para la vida silvestre, consulte Sitio de importancia para la conservación de la naturaleza . Para el filtro de procesamiento de señal basado en esta función, consulte Filtro Sinc .

En matemáticas , física e ingeniería , la función sinc , denotada por sinc ( x ) , tiene dos definiciones ligeramente diferentes. ^[1]

La función sinc normalizada (azul) y sinc no normalizada (rojo) mostradas en la misma escala

La función sinc como audio, a 2000 Hz (± 1,5 segundos alrededor de cero).

En matemáticas, la función histórica sinc no normalizada se define para x ≠ 0 por

${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$

Alternativamente, la función sinc no normalizada a menudo se denomina función de muestreo , indicada como Sa ( x ). ^[2]

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la información , la función sinc normalizada se define comúnmente para x ≠ 0 por

${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$

En cualquier caso, el valor en x = 0 se define como el valor límite

${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$para todo real a ≠ 0 .

La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π ). Como otra propiedad útil, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros distintos de cero de x .

La función sinc normalizada es la transformada de Fourier de la función rectangular sin escala. Se utiliza en el concepto de reconstrucción de una señal de banda limitada continua a partir de muestras espaciadas uniformemente de esa señal.

La única diferencia entre las dos definiciones está en la escala de la variable independiente (el eje x ) por un factor de π . En ambos casos, el valor de la función en la singularidad removible en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por lo tanto, una función completa .

El término SINC / s ɪ ŋ k / fue presentado por Philip M. Woodward en su artículo 1952 "Teoría de la Información y la probabilidad inversa de telecomunicaciones", en la que dijo que la función "se produce con tanta frecuencia en el análisis de Fourier y sus aplicaciones que parece merecer alguna notación propia ", ^[3] y su libro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . ^{[4] [5]} La función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez de esta forma por Lord Rayleigh en su expresión ( Fórmula de Rayleigh ) para la esfera esférica de orden cero.Función de Bessel del primer tipo [6969 G. et al].

Propiedades

Los máximos y mínimos locales (pequeños puntos blancos) de la función sinc roja no normalizada corresponden a sus intersecciones con la función coseno azul .

La parte real del complejo sinc Re (sinc z ) = Re (pecado z/z)

La parte imaginaria del complejo sinc Im (sinc z ) = Im (pecado z/z)

El valor absoluto | sinc z | = |pecado z/z|

Los cruces por cero del sinc no normalizado están en múltiplos enteros distintos de cero de π , mientras que los cruces por cero del sinc normalizado ocurren en enteros distintos de cero.

Los máximos y mínimos locales del sinc no normalizado corresponden a sus intersecciones con la función coseno . Eso es,pecado ( ξ )/ξ= cos ( ξ ) para todos los puntos ξ donde la derivada depecado ( x )/Xes cero y, por tanto, se alcanza un extremo local. Esto se sigue de la derivada de la función sinc:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$

Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del n -ésimo extremo con coordenada x positiva son

${\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$

dónde

${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$

y donde n impar conduce a un mínimo local, e incluso n a un máximo local. Debido a la simetría alrededor de la y eje, existen extrema con x coordenadas - x _n . Además, hay un máximo absoluto en ξ ₀ = (0, 1) .

La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito :

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

y está relacionado con la función gamma Γ ( x ) a través de la fórmula de reflexión de Euler :

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$

Euler descubrió ^[6] que

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$

y debido a la identidad de producto a suma ^[7]

${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$

el producto de Euler se puede refundir como una suma

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$

La transformada de Fourier continua de la sinc normalizada (a la frecuencia ordinaria) es rect ( f ) :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$

donde la función rectangular es 1 para el argumento entre -1/2 y 1/2y cero en caso contrario. Esto corresponde al hecho de que el filtro sinc es el ideal ( de ladrillo de la pared , lo que significa respuesta de frecuencia rectangular) filtro de paso-bajo .

Esta integral de Fourier, incluido el caso especial

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$

es una integral impropia (ver integral de Dirichlet ) y no una integral de Lebesgue convergente , como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$

La función sinc normalizada tiene propiedades que la hacen ideal en relación con la interpolación de funciones de banda limitada muestreadas :

• Es una función de interpolación, es decir, sinc (0) = 1 y sinc ( k ) = 0 para un entero k distinto de cero .
• Las funciones x _k ( t ) = sinc ( t - k ) ( k entero) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio funcional L ² ( R ) , con la frecuencia angular más alta ω _H = π (es decir, la frecuencia de ciclo más alta f _H =1/2).

Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:

• El sinc no normalizado es la función de Bessel esférica de orden cero del primer tipo, j ₀ ( x ) . El sinc normalizado es j ₀ (π x ) .
• ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x),}$

donde Si ( x ) es la integral del seno .

• λ sinc ( λx ) (no normalizado) es una de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal

${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$

El otro es cos ( λx )/X, que no está acotado en x = 0 , a diferencia de su contraparte de función sinc.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$

donde se entiende el sinc normalizado.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• La siguiente integral impropia involucra la función sinc (no normalizada):
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$

Relación con la distribución del delta de Dirac

La función sinc normalizada se puede utilizar como una función delta naciente , lo que significa que se cumple el siguiente límite débil :

${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$

Este no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$

para cada función de Schwartz , como puede verse en el teorema de inversión de Fourier . En la expresión anterior, como a → 0 , el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc se acerca al infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ±1/π x, independientemente del valor de a .

Esto complica la imagen informal de δ ( x ) como cero para todo x excepto en el punto x = 0 , e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función más que como una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs .

Resumen

Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.

La suma de sinc ( n ) sobre el entero n de 1 a ∞ es igual aπ - 1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$

La suma de los cuadrados también es igual a π - 1/2: ^[8]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$

Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual a1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$

Las sumas alternas de cuadrados y cubos también son iguales 1/2: ^[9]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$

Expansión de la serie

La serie de Taylor de la función sinc (no normalizada) se puede obtener inmediatamente a partir de la del seno:

${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}},}$

que converge para todo x .

Dimensiones superiores

El producto de las funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una función sinc multivariante para la cuadrícula cartesiana cuadrada ( celosía ): sinc _C ( x , y ) = sinc ( x ) sinc ( y ) , cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio 2-D). La función sinc para una celosía no cartesiana (por ejemplo, celosía hexagonal ) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouinde esa celosía. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencias. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un simple producto tensorial. Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para la hexagonal , cúbica de cuerpo centrado , de la cara cúbica centrada en enrejados de dimensiones superiores y otras se puede derivar de forma explícita ^[10] utilizando las propiedades geométricas de zonas de Brillouin y su conexión con zonotopes .

Por ejemplo, un enrejado hexagonal puede ser generado por el tramo lineal (entero) de los vectores

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$

Denotando

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

se puede derivar ^[10] la función sinc para este retículo hexagonal como

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$

Esta construcción se puede utilizar para diseñar la ventana Lanczos para celosías multidimensionales generales. ^[10]

Ver también

• Filtro antiplegamiento
• Filtro de Sinc
• Remuestreo de Lanczos
• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon
• Onda de Shannon
• Proyección de Winkel tripel (cartografía)
• Integral trigonométrica
• Funciones trigonométricas de matrices
• Integral de Borwein
• Integral de Dirichlet

Referencias

1. Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W., eds. (2010), "Métodos numéricos" , Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248.
2. Singh, RP; Sapre, SD (2008). Communication Systems, 2E (edición ilustrada). Educación de Tata McGraw-Hill. pag. 15. ISBN 978-0-07-063454-1. Extracto de la página 15
3. Woodward, PM; Davies, IL (marzo de 1952). "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones" (PDF) . Actas de la EEI - Parte III: Ingeniería de comunicaciones y radio . 99 (58): 37–44. doi : 10.1049 / pi-3.1952.0011 .
4. Poynton, Charles A. (2003). Video digital y HDTV . Editores Morgan Kaufmann. pag. 147 . ISBN 978-1-55860-792-7.
5. Woodward, Phillip M. (1953). Teoría de la probabilidad y la información, con aplicaciones al radar . Londres: Pergamon Press. pag. 29 . ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC  488749777 .
6. Euler, Leonhard (1735). "Sobre las sumas de series de recíprocos". arXiv : matemáticas / 0506415 .
7. Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016). "Una técnica de Fourier inversa de ondas de Shannon altamente eficiente para fijar el precio de opciones europeas" . SIAM J. Sci. Computación . 38 (1): B118 – B143. doi : 10.1137 / 15M1014164 .
8. Robert Baillie; David Borwein ; Jonathan M. Borwein (diciembre de 2008). "Sorprendentes sumas e integrales Sinc". American Mathematical Monthly . 115 (10): 888–901. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920606 . hdl : 1959.13 / 940062 . JSTOR 27642636 . 
9. Baillie, Robert (2008). "Diversión con la serie Fourier". arXiv : 0806.0150v2 [ matemáticas.CA ].
10. Vosotros, W .; Entezari, A. (junio de 2012). "Una construcción geométrica de funciones Sinc multivariadas". Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 21 (6): 2969–2979. Código bibliográfico : 2012ITIP ... 21.2969Y . doi : 10.1109 / TIP.2011.2162421 . PMID 21775264 . 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función Sinc" . MathWorld .