En matemáticas , el seno es una función trigonométrica de un ángulo . El seno de un ángulo agudo se define en el contexto de un triángulo rectángulo : para el ángulo especificado, es la razón entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa ). Por un ángulo, la función seno se denota simplemente como . [1] [2]
Seno | |
---|---|
Información general | |
Definición general | |
Motivación de la invención | Astronomía india |
Fecha de solución | Período de Gupta |
Campos de aplicación | Trigonometría , Transformada Integral , etc. |
Dominio y rango | |
Dominio | (- ∞ , + ∞ ) a |
Codominio | [−1, 1] a |
Caracteristicas basicas | |
Paridad | impar |
Período | 2 π |
Valores específicos | |
En cero | 0 |
Maxima | (2 k π +π/2, 1) b |
Mínimos | (2 k π - π/2, −1) |
Características específicas | |
Raíz | k π |
Punto crítico | k π + π/2 |
Punto de inflexión | k π |
Punto fijo | 0 |
Funciones relacionadas | |
Recíproco | Cosecante |
Inverso | Arcsine |
Derivado | |
Antiderivada | |
Otros relacionados | cos, bronceado, csc, sec, cuna |
Definición de serie | |
Serie de taylor | |
Fracción continua generalizada | |
|
De manera más general, la definición de seno (y otras funciones trigonométricas) puede extenderse a cualquier valor real en términos de la longitud de un determinado segmento de línea en un círculo unitario . Las definiciones más modernas expresan el seno como una serie infinita , o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores arbitrarios positivos y negativos e incluso a números complejos .
La función sinusoidal se usa comúnmente para modelar fenómenos periódicos como las ondas de luz y sonido , la posición y velocidad de los osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de temperatura promedio a lo largo del año.
La función seno se remonta a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india del período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. [3] La palabra "sine" (latín "sinus") proviene de una mala traducción latina de Robert de Chester del árabe jiba , que es una transliteración de la palabra sánscrita para la mitad del acorde, jya-ardha . [4]
Definición de triángulo rectángulo
Para definir la función seno de un ángulo agudo α , comience con un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida α ; en la figura adjunta, el ángulo α en el triángulo ABC es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera:
- El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo de interés, en este caso el lado a .
- La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, en este caso el lado h . La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo.
- El lado adyacente es el lado restante, en este caso el lado b . Forma un lado de (y es adyacente a) tanto el ángulo de interés (ángulo A ) como el ángulo recto.
Una vez que se elige dicho triángulo, el seno del ángulo es igual a la longitud del lado opuesto, dividida por la longitud de la hipotenusa: [5]
Las otras funciones trigonométricas del ángulo se pueden definir de manera similar; por ejemplo, el coseno del ángulo es la relación entre el lado adyacente y la hipotenusa, mientras que la tangente da la relación entre los lados opuesto y adyacente. [5]
Como se dijo, el valor parece depender de la elección del triángulo rectángulo que contiene un ángulo de medida α . Sin embargo, este no es el caso: todos estos triángulos son similares , por lo que la proporción es la misma para cada uno de ellos.
Definición del círculo unitario
En trigonometría , un círculo unitario es el círculo de radio uno centrado en el origen (0, 0) en el sistema de coordenadas cartesianas .
Deje que una línea que pasa por el origen interseque el círculo unitario, formando un ángulo de θ con la mitad positiva del eje x . Las x - y Y coordenadas x de este punto de intersección son igual a cos ( theta ) y sen ( theta ) , respectivamente. Esta definición es consistente con la definición de triángulo rectángulo de seno y coseno cuando 0 ° < θ <90 °: porque la longitud de la hipotenusa del círculo unitario es siempre 1,. La longitud del lado opuesto del triángulo es simplemente la coordenada y . Se puede hacer un argumento similar para que la función coseno muestre quecuando 0 ° < θ <90 °, incluso bajo la nueva definición usando el círculo unitario. tan ( θ ) se define entonces comoo, de manera equivalente, como la pendiente del segmento de línea.
El uso de la definición de círculo unitario tiene la ventaja de que el ángulo se puede extender a cualquier argumento real. Esto también se puede lograr al requerir ciertas simetrías, y que el seno sea una función periódica .
Animación que muestra cómo funciona el seno (en rojo) se representa gráficamente a partir de la coordenada y (punto rojo) de un punto en el círculo unitario (en verde), en un ángulo de θ .
Identidades
Identidades exactas (usando radianes ):
Estos se aplican a todos los valores de .
Recíproco
El recíproco de seno es cosecante, es decir, el recíproco de sin ( A ) es csc ( A ) o cosec ( A ). Cosecante da la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado opuesto: [1]
Inverso
La función inversa del seno es arcoseno (arcsen o asin) o seno inverso ( sin −1 ). [1] Como el seno no es inyectivo , no es una función inversa exacta, sino una función inversa parcial. Por ejemplo, sin (0) = 0 , pero también sin ( π ) = 0 , sin (2 π ) = 0 etc. De ello se deduce que la función arcoseno tiene varios valores : arcsin (0) = 0 , pero también arcsin (0) = π , arcsin (0) = 2 π , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada x en el dominio, la expresión arcsin ( x ) evaluará solo a un valor único, llamado su valor principal .
donde (para algún entero k ):
O en una ecuación:
Por definición, el arcoseno satisface la ecuación:
y
Cálculo
Para la función seno:
La derivada es:
La antiderivada es:
donde C denota la constante de integración . [2]
Otras funciones trigonométricas
Es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra (hasta un signo más o menos, o usando la función de signo ).
La siguiente tabla documenta cómo se puede expresar el seno en términos de las otras funciones trigonométricas comunes :
f θ | Usando más / menos (±) | Usando la función de signo (sgn) | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
f θ = | ± por cuadrante | f θ = | |||||
I | II | III | IV | ||||
porque | + | + | - | - | |||
+ | - | - | + | ||||
cuna | + | + | - | - | |||
+ | - | - | + | ||||
broncearse | + | - | - | + | |||
+ | - | - | + | ||||
segundo | + | - | + | - | |||
+ | - | - | + |
Para todas las ecuaciones que usan más / menos (±), el resultado es positivo para los ángulos en el primer cuadrante.
La relación básica entre el seno y el coseno también se puede expresar como la identidad trigonométrica pitagórica : [2]
donde sin 2 ( x ) significa (sin ( x )) 2 .
Función seno al cuadrado
El gráfico muestra tanto la función seno como la función seno al cuadrado , con el seno en azul y el seno al cuadrado en rojo. Ambos gráficos tienen la misma forma, pero con diferentes rangos de valores y diferentes períodos. El seno al cuadrado solo tiene valores positivos, pero el doble de períodos.
La función seno al cuadrado se puede expresar como una onda senoidal modificada de la identidad pitagórica y la reducción de potencia, mediante la fórmula del coseno de doble ángulo: [6]
Propiedades relativas a los cuadrantes
La siguiente tabla muestra muchas de las propiedades clave de la función seno (signo, monotonicidad, convexidad), ordenadas por cuadrante del argumento. Para argumentos fuera de los de la tabla, se puede calcular la información correspondiente utilizando la periodicidad de la función seno.
Cuadrante | Grados | Radianes | Valor | Firmar | Monotonía | Convexidad |
---|---|---|---|---|---|---|
1er cuadrante | creciente | cóncavo | ||||
2do cuadrante | decreciente | cóncavo | ||||
3er cuadrante | decreciente | convexo | ||||
Cuarto cuadrante | creciente | convexo |
La siguiente tabla proporciona información básica sobre el límite de los cuadrantes.
Grados | Radianes | Tipo de punto | |
---|---|---|---|
Raíz , Inflexión | |||
Máximo | |||
Raíz , Inflexión | |||
Mínimo |
Definición de serie
Usando solo geometría y propiedades de los límites , se puede demostrar que la derivada del seno es coseno y que la derivada del coseno es la negativa del seno.
El uso de la reflexión de la derivación geométrica calculada del seno es con la derivada (4 n + k ) -ésima en el punto 0:
Esto da la siguiente expansión de la serie de Taylor en x = 0. Luego, se puede usar la teoría de la serie de Taylor para demostrar que las siguientes identidades son válidas para todos los números reales x (donde x es el ángulo en radianes): [7]
Si x se expresara en grados, entonces la serie contendría factores que involucren potencias de π / 180: si x es el número de grados, el número de radianes es y = π x / 180, entonces
Las fórmulas de la serie para el seno y el coseno están determinadas unívocamente, hasta la elección de la unidad para los ángulos, por los requisitos que
El radianes es la unidad que conduce a la expansión con coeficiente principal 1 para el seno y está determinado por el requisito adicional de que
Por lo tanto, los coeficientes para las series del seno y del coseno pueden derivarse sustituyendo sus expansiones en las identidades pitagórica y de ángulo doble, tomando el coeficiente principal del seno como 1 y haciendo coincidir los coeficientes restantes.
En general, las relaciones matemáticamente importantes entre las funciones seno y coseno y la función exponencial (ver, por ejemplo, la fórmula de Euler ) se simplifican sustancialmente cuando los ángulos se expresan en radianes, en lugar de grados, grados u otras unidades. Por lo tanto, en la mayoría de las ramas de las matemáticas más allá de la geometría práctica, generalmente se supone que los ángulos se expresan en radianes.
Una serie similar es la serie de Gregory para arctan , que se obtiene omitiendo los factoriales en el denominador.
Fracción continua
La función seno también se puede representar como una fracción continua generalizada :
La representación de la fracción continua se puede derivar de la fórmula de la fracción continua de Euler y expresa los valores numéricos reales , tanto racionales como irracionales , de la función seno.
Punto fijo
El cero es el único punto fijo real de la función seno; en otras palabras, la única intersección de la función seno y la función identidad es sin (0) = 0.
Longitud de arco
La longitud del arco de la curva sinusoidal entre y es . Esta integral es una integral elíptica del segundo tipo .
La longitud del arco para un período completo es dónde es la función gamma . Esto se puede calcular muy rápidamente usando la media aritmética-geométrica :. [8] De hecho,es la circunferencia de una elipse cuando la longitud del semieje mayor es igual a y la longitud del eje semi-menor es igual a . [8]
La longitud del arco de la curva sinusoidal de a es , más una corrección que varía periódicamente en con punto . La serie de Fourier para esta corrección se puede escribir en forma cerrada usando funciones especiales, pero quizás sea más instructivo escribir las aproximaciones decimales de los coeficientes de Fourier. La longitud del arco de la curva sinusoidal de a es
El término principal en la ecuación anterior y el límite de la relación entre la longitud del arco y la distancia viene dado por:
Ley de los senos
La ley de los senos estados que para un arbitraria triángulo con lados a , b , y c y los ángulos opuestos a los lados A , B y C :
Esto es equivalente a la igualdad de las tres primeras expresiones a continuación:
donde R es el circunradio del triángulo .
Se puede probar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y usando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.
Valores especiales
Para ciertos números enteros x de grados, el valor de sin ( x ) es particularmente simple. A continuación se proporciona una tabla de algunos de estos valores.
x (ángulo) | pecado ( x ) | ||||
---|---|---|---|---|---|
Grados | Radianes | Gradianos | Vueltas | Exacto | Decimal |
0 ° | 0 | 0 g | 0 | 0 | 0 |
180 ° | π | 200 g | 1/2 | ||
15 ° | 1/12π | dieciséis+2/3gramo | 1/24 | 0,258819045102521 | |
165 ° | 11/12π | 183+1/3gramo | 11/24 | ||
30 ° | 1/6π | 33+1/3gramo | 1/12 | 1/2 | 0,5 |
150 ° | 5/6π | 166+2/3gramo | 5/12 | ||
45 ° | 1/4π | 50 g | 1/8 | 0,707106781186548 | |
135 ° | 3/4π | 150 g | 3/8 | ||
60 ° | 1/3π | 66+2/3gramo | 1/6 | 0,866025403784439 | |
120 ° | 2/3π | 133+1/3gramo | 1/3 | ||
75 ° | 5/12π | 83+1/3gramo | 5/24 | 0,965925826289068 | |
105 ° | 7/12π | 116+2/3gramo | 7/24 | ||
90 ° | 1/2π | 100 g | 1/4 | 1 | 1 |
Incrementos de 90 grados:
x en grados | 0 ° | 90 ° | 180 ° | 270 ° | 360 ° |
x en radianes | 0 | π / 2 | π | 3π / 2 | 2π |
x en gons | 0 | 100 g | 200 g | 300 g | 400 g |
x por turnos | 0 | 1/4 | 1/2 | 3/4 | 1 |
pecado x | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
Otros valores no enumerados arriba:
- OEIS : A019812
- OEIS : A019815
- OEIS : A019818
- OEIS : A019821
- OEIS : A019827
- OEIS : A019830
- OEIS : A019833
- OEIS : A019836
- OEIS : A019842
- OEIS : A019845
- OEIS : A019848
- OEIS : A019851
Relación con números complejos
El seno se usa para determinar la parte imaginaria de un número complejo dado en coordenadas polares ( r , φ ):
la parte imaginaria es:
r y φ representan la magnitud y el ángulo del número complejo, respectivamente. i es la unidad imaginaria . z es un número complejo .
Aunque se trata de números complejos, el parámetro de seno en este uso sigue siendo un número real . Sine también puede tomar un número complejo como argumento.
Seno con un argumento complejo
La definición de la función seno para argumentos complejos z :
donde i 2 = −1, y sinh es seno hiperbólico . Esta es una función completa . Además, para x puramente real ,
Para números puramente imaginarios:
A veces también es útil expresar la función seno compleja en términos de las partes real e imaginaria de su argumento:
Expansiones de fracción parcial y producto de seno complejo
Usando la técnica de expansión de fracciones parciales en el análisis complejo , se puede encontrar que la serie infinita
ambos convergen y son iguales a . Del mismo modo, se puede demostrar que
Usando la técnica de expansión del producto, se puede derivar
Alternativamente, el producto infinito para el seno se puede demostrar usando series de Fourier complejas .
Prueba del producto infinito del seno |
---|
Usando series complejas de Fourier, la función se puede descomponer como Configuración rendimientos Por lo tanto obtenemos La función es la derivada de . Además, si, luego la función tal que la serie emergida converge en algún subconjunto abierto y conectado de es , que se puede probar utilizando la prueba M de Weierstrass . El intercambio de la suma y la derivada se justifica por una convergencia uniforme . Resulta que Exponentiating da Desde y , tenemos . Por eso para algún subconjunto abierto y conectado de . Dejar. Desde converge uniformemente en cualquier disco cerrado, también converge uniformemente en cualquier disco cerrado. De ello se deduce que el producto infinito es holomórfico en. Según el teorema de la identidad , el producto infinito del seno es válido para todos, que completa la prueba. |
Uso de seno complejo
sin ( z ) se encuentra en la ecuación funcional para la función Gamma ,
que a su vez se encuentra en la ecuación funcional para la función zeta de Riemann ,
Como función holomórfica , sen z es una solución 2D de la ecuación de Laplace :
La función sinusoidal compleja también está relacionada con las curvas de nivel de los péndulos . [ ¿cómo? ] [9] [se necesita una mejor fuente ]
Gráficos complejos
componente real | componente imaginario | magnitud |
componente real | componente imaginario | magnitud |
Historia
Si bien el primer estudio de la trigonometría se remonta a la antigüedad, las funciones trigonométricas que se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.).
La función de seno y verseno (1 - coseno) se puede rastrear a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en el período Gupta (320 a 550 EC) en la astronomía india ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del Del árabe al latín. [3]
Las seis funciones trigonométricas en uso actual se conocían en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . [10] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos árabes, incluyendo el coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. [10] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. [11] [12] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1 ° a 90 °. [12]
El primer uso publicado de las abreviaturas 'sin', 'cos' y 'tan' es el matemático francés del siglo XVI Albert Girard ; Euler las promulgó más adelante (ver más abajo). El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; Este trabajo fue terminado por el estudiante de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.
En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . [13] Roger Cotes calculó la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). [14] La Introductio in analysin infinitorum de Leonhard Euler (1748) fue mayoritariamente responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas también como series infinitas y presentando la " fórmula de Euler ", así como las abreviaturas casi modernas sin ., cos., tang., cot., sec. y cosec. [15]
Etimología
Etimológicamente , la palabra seno deriva de la palabra sánscrita para acorde, jiva * ( siendo jya su sinónimo más popular). Esto fue transcrito en árabe como jiba جيب, que sin embargo no tiene sentido en ese idioma y se abrevia jb جب. Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, "jb" se interpretó como la palabra jaib جيب, que significa "seno". Cuando los textos árabes fueron traducidos al latín en el siglo XII por Gerardo de Cremona , utilizó el equivalente latino de "seno", sinus (que significa "seno" o "bahía" o "pliegue"). [16] [17] Gerard probablemente no fue el primer erudito en usar esta traducción; Robert de Chester parece haberle precedido y hay evidencia de un uso incluso anterior. [18] La forma inglesa sine se introdujo en la década de 1590.
Implementaciones de software
No existe un algoritmo estándar para calcular el seno. IEEE 754-2008 , el estándar más utilizado para el cálculo de punto flotante, no aborda el cálculo de funciones trigonométricas como el seno. [19] Los algoritmos para calcular el seno se pueden equilibrar para restricciones tales como velocidad, precisión, portabilidad o rango de valores de entrada aceptados. Esto puede conducir a resultados diferentes para diferentes algoritmos, especialmente para circunstancias especiales como entradas muy grandes, por ejemplo .sin(1022)
Una optimización de programación común, utilizada especialmente en gráficos 3D, es precalcular una tabla de valores sinusoidales, por ejemplo, un valor por grado, luego, para valores intermedios, elija el valor precalculado más cercano o interpolar linealmente entre los 2 valores más cercanos. valores para aproximarlo. Esto permite que los resultados se busquen en una tabla en lugar de calcularlos en tiempo real. Con las arquitecturas de CPU modernas, este método puede no ofrecer ninguna ventaja. [ cita requerida ]
El algoritmo CORDIC se usa comúnmente en calculadoras científicas.
La función seno, junto con otras funciones trigonométricas, está ampliamente disponible en todos los lenguajes de programación y plataformas. En informática, normalmente se abrevia como sin
.
Algunas arquitecturas de CPU tienen una instrucción incorporada para seno, incluidas las FPU Intel x87 desde el 80387.
En los lenguajes de programación, sin
suele ser una función incorporada o se encuentra dentro de la biblioteca matemática estándar del lenguaje.
Por ejemplo, la biblioteca estándar C define funciones de seno dentro de math.h : , , y . El parámetro de cada uno es un valor de punto flotante , que especifica el ángulo en radianes. Cada función devuelve el mismo tipo de datos que acepta. Muchas otras funciones trigonométricas también se definen en math.h , como coseno, arco seno y seno hiperbólico (sinh).sin(double)
sinf(float)
sinl(long double)
De manera similar, Python define math.sin(x)
dentro del math
módulo integrado . Las funciones de seno complejas también están disponibles dentro del cmath
módulo, p cmath.sin(z)
. Ej . Las funciones matemáticas de CPython llaman a la biblioteca C math
y usan un formato de punto flotante de doble precisión .
Implementaciones basadas en turnos
Algunas bibliotecas de software proporcionan implementaciones de seno utilizando el ángulo de entrada en medias vueltas , una media vuelta es un ángulo de 180 grados oradianes. Representar ángulos en vueltas o medias vueltas tiene ventajas de precisión y ventajas de eficiencia en algunos casos. [20] [21]
Ambiente | Nombre de la función | Unidades angulares |
---|---|---|
MATLAB | sinpi [22] | medias vueltas |
OpenCL | sinpi [23] | medias vueltas |
R | sinpi [24] | medias vueltas |
Julia | sinpi [25] | medias vueltas |
CUDA | sinpi [26] | medias vueltas |
BRAZO | sinpi [27] | medias vueltas |
La ventaja de precisión proviene de la capacidad de representar perfectamente ángulos clave como giro completo, medio giro y cuarto de giro sin pérdidas en coma flotante binaria o en coma fija. En contraste, representando, , y en coma flotante binaria o coma fija en escala binaria siempre implica una pérdida de precisión.
Los giros también tienen una ventaja de precisión y una ventaja de eficiencia para calcular el módulo en un período. El cálculo de las medias vueltas de módulo 1 o módulo 2 se puede calcular sin pérdidas y de forma eficiente tanto en coma flotante como en coma fija. Por ejemplo, calcular el módulo 1 o el módulo 2 para un valor de punto fijo escalado de punto binario requiere sólo un desplazamiento de bit o una operación AND bit a bit. Por el contrario, el módulo de computación implica inexactitudes en la representación .
Para aplicaciones que involucran sensores de ángulo, el sensor generalmente proporciona mediciones de ángulo en una forma directamente compatible con giros o medias vueltas. Por ejemplo, un sensor de ángulo puede contar de 0 a 4096 en una revolución completa. [28] Si se utilizan medias vueltas como unidad para el ángulo, entonces el valor proporcionado por el sensor se asigna directamente y sin pérdidas a un tipo de datos de punto fijo con 11 bits a la derecha del punto binario. Por el contrario, si se utilizan radianes como unidad para almacenar el ángulo, entonces las inexactitudes y el costo de multiplicar el entero del sensor sin procesar por una aproximación a se incurrirá.
Ver también
- Tabla de senos de Āryabhaṭa
- Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
- Transformada sinusoidal discreta
- Fórmula de Euler
- Trigonometría generalizada
- Función hiperbólica
- Ley de los senos
- Lista de funciones periódicas
- Lista de identidades trigonométricas
- Serie Madhava
- Tabla de seno de Madhava
- Teorema del seno óptico
- Seno polar: una generalización de los ángulos de los vértices
- Pruebas de identidades trigonométricas
- Función Sinc
- Transformaciones de seno y coseno
- Integral seno
- Cuadrante sinusoidal
- Onda sinusoidal
- Ecuación de seno-Gordon
- Modelo sinusoidal
- Funciones trigonométricas
- Integral trigonométrica
Citas
- ^ a b c "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Sine" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
- ^ a b Uta C. Merzbach , Carl B. Boyer (2011), Una historia de las matemáticas, Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, 3ª ed., p. 189.
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- ^ Véase Ahlfors, páginas 43–44.
- ^ a b Adlaj, Semjon (2012). "Una fórmula elocuente para el perímetro de una elipse" (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 1097.
- ^ "¿Por qué el retrato de fase del péndulo plano simple y una coloración de dominio de sin (z) son tan similares?" . math.stackexchange.com . Consultado el 12 de agosto de 2019 .
- ^ a b Gingerich, Owen (1986). "Astronomía islámica" . Scientific American . Vol. 254. p. 74. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2013 . Consultado el 13 de julio de 2010 .
- ^ Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 157, en Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000). Matemáticas a través de culturas: la historia de las matemáticas no occidentales . Springer Science + Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
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- ^ Nicolás Bourbaki (1994). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Saltador.
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- ^ Véase Merzbach, Boyer (2011).
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- ^ Smith, DE (1958) [1925], Historia de las matemáticas , I , Dover, p. 202, ISBN 0-486-20429-4
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- ^ " Hoja de datos del sensor de ángulo ALLEGRO
Referencias
- Traupman, Ph.D., John C. (1966), The New College Latin & English Dictionary , Toronto: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
- Webster's Seventh New Collegiate Dictionary , Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969
enlaces externos
- Medios relacionados con la función seno en Wikimedia Commons