Singleton (matemáticas)

Establecer con exactamente un elemento

Parte de una serie de estadísticas
Teoría de probabilidad
Probabilidad Axiomas de probabilidad Determinismo Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Salir único Experimentar Juicio de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución normal Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Cadena de Markov Valor observado Caminata aleatoria Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal La probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes La desigualdad de Boole
diagrama de Venn Diagrama de árbol
v t mi

En matemáticas , un singleton , también conocido como conjunto de unidades , ^[1] es un conjunto con exactamente un elemento. Por ejemplo, el conjunto { nulo  } es un singleton que contiene el elemento nulo .

El término también se usa para una tupla 1- (una secuencia con un miembro).

Propiedades

En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento en sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, ^{[1] por lo} tanto 1 y {1} no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como {{1, 2, 3}} es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, sin embargo, no un singleton).

Un conjunto es un singleton si y solo si su cardinalidad es 1 . En la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales , el número 1 se define como el singleton {0}.

En la teoría de conjuntos axiomáticos , la existencia de singletons es una consecuencia del axioma de emparejamiento : para cualquier conjunto A , el axioma aplicado a A y A afirma la existencia de { A , A }, que es lo mismo que el singleton { A } (ya que contiene A , y ningún otro conjunto, como elemento).

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces existe precisamente una función de A a S , la función de envío de cada elemento de A al elemento único de S . Así, cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos .

Un singleton tiene la propiedad de que cada función desde él hasta cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío .

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto ( OEIS :  A000110 ), si se excluyen los singleton, los números son más pequeños ( OEIS :  A000296 ).

En teoría de categorías

Las estructuras construidas sobre singleton a menudo sirven como objetos terminales o objetos cero de varias categorías :

• La declaración anterior muestra que los conjuntos singleton son precisamente los objetos terminales en la categoría Conjunto de conjuntos . Ningún otro conjunto es terminal.
• Cualquier singleton admite una estructura espacial topológica única (ambos subconjuntos están abiertos). Estos espacios topológicos singleton son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas . Ningún otro espacio es terminal en esa categoría.
• Cualquier singleton admite una estructura de grupo única (el elemento único que sirve como elemento de identidad ). Estos grupos singleton son objetos cero en la categoría de grupos y homomorfismos de grupo . Ningún otro grupo es terminal en esa categoría.

Definición por funciones de indicador

Sea S una clase definida por una función indicadora

${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$

Entonces S se llama singleton si y solo si hay algo y ∈ X tal que para todo x ∈ X ,

${\displaystyle b(x)=(x=y).}$

Definición en Principia Mathematica

Whitehead y Russell introdujeron la siguiente definición ^[2]

${\displaystyle \iota }$' Df.${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

El símbolo ' denota el singleton y denota la clase de objetos idénticos a aka . Esto ocurre como una definición en la introducción, que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como la proposición 51.01 (p. 357 ibid.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como${\displaystyle \iota }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Df.${\displaystyle x)}$

Es decir, 1 es la clase de singleton. Esta es la definición 52.01 (p. 363 ibid.)

Ver también

• Clase (teoría de conjuntos)
• Cuantificación de unicidad

Referencias

1. Stoll, Robert (1961). Conjuntos, lógicas y teorías axiomáticas . WH Freeman and Company. págs. 5-6.
2. Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica . Vol. I. p. 37.