En aritmética y álgebra, la sexta potencia de un número n es el resultado de multiplicar seis instancias de n juntas. Entonces:
- n 6 = norte × norte × norte × norte × norte × norte .
Las sextas potencias se pueden formar multiplicando un número por su quinta potencia , multiplicando el cuadrado de un número por su cuarta potencia , elevando un cuadrado o elevando al cuadrado un cubo .
La secuencia de sextas potencias de números enteros es:
- 0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113310359904, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (secuencia A001014 en la OEIS )
Incluyen los números decimales significativos 10 6 (un millón ), 100 6 (un billón de escala corta y mil millones de escala grande) y 1000 6 (un billón de escala larga ).
Cuadrados y cubos
Las sextas potencias de los números enteros se pueden caracterizar como los números que son simultáneamente cuadrados y cubos. [1] De esta manera, se relacionan con otras dos clases de números figurados : los números triangulares cuadrados , que son simultáneamente cuadrados y triangulares, y las soluciones al problema de la bala de cañón , que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados.
Debido a su conexión con cuadrados y cubos, las sextas potencias juegan un papel importante en el estudio de las curvas de Mordell , que son curvas elípticas de la forma
Cuándo es divisible por una sexta potencia, esta ecuación se puede reducir dividiendo por esa potencia para obtener una ecuación más simple de la misma forma. Un resultado bien conocido en teoría de números, probado por Rudolf Fueter y Louis J. Mordell , establece que, cuando es un número entero que no es divisible por una sexta potencia (excepto en los casos excepcionales y ), esta ecuación tampoco tiene soluciones racionales con ambos y distinto de cero o infinitamente muchos de ellos. [2]
En la notación arcaica de Robert Recorde , la sexta potencia de un número se llamaba "zenzicube", que significa el cuadrado de un cubo. De manera similar, la notación para sextos poderes utilizada en las matemáticas indias del siglo XII por Bhāskara II también los llamó el cuadrado de un cubo o el cubo de un cuadrado. [3]
Sumas
Hay numerosos ejemplos conocidos de sextos poderes que pueden expresarse como la suma de otros siete sextos poderes, pero aún no se conocen ejemplos de un sexto poder expresable como la suma de solo seis sextos poderes. [4] Esto lo hace único entre las potencias con exponente k = 1, 2, ..., 8, las otras de las cuales pueden expresarse cada una como la suma de k otras k -ésimas potencias, y algunas de las cuales (en violación de la conjetura de la suma de potencias de Euler ) se puede expresar como una suma de incluso menos k -ésimas potencias.
En relación con el problema de Waring , cada número entero suficientemente grande puede representarse como una suma de como máximo 24 sextas potencias de números enteros. [5]
Hay infinitas soluciones no triviales diferentes para la ecuación diofántica [6]
No se ha probado si la ecuación
tiene una solución no trivial, [7] pero la conjetura de Lander, Parkin y Selfridge implicaría que no es así.
Otras propiedades
(En el siguiente párrafo, )
- (mod 2 y 3)
- (mod 10)
- no es primo y no es primo excluyendo m = 1.
Ver también
Referencias
- ^ Dowden, Richard (30 de abril de 1825), "(sin título)" , Revista de mecánica y Revista de ciencia, artes y manufacturas , Knight y Lacey, vol. 4 no. 88, pág. 54
- ^ Irlanda, Kenneth F .; Rosen, Michael I. (1982), Una introducción clásica a la teoría de números moderna , Textos de posgrado en matemáticas, 84 , Springer-Verlag, Nueva York-Berlín, p. 289, ISBN 0-387-90625-8, MR 0661047.
- ^ Cajori, Florian (2013), A History of Mathematical Notations , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 80, ISBN 9780486161167
- ^ Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Calcular sumas mínimas iguales de potencias similares: las mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .
- ^ Vaughan, RC; Wooley, TD (1994), "Más mejoras en el problema de Waring. II. Seis poderes", Duke Mathematical Journal , 76 (3): 683–710, doi : 10.1215 / S0012-7094-94-07626-6 , MR 1309326
- ^ Brudno, Simcha (1976), "Triples de sextas potencias con sumas iguales", Matemáticas de Computación , 30 (135): 646–648, doi : 10.1090 / s0025-5718-1976-0406923-6 , MR 0406923
- ^ Bremner, Andrew; Guy, Richard K. (1988), "Problemas sin resolver: una docena de dilemas diofánticos difíciles", American Mathematical Monthly , 95 (1): 31-36, doi : 10.2307 / 2323442 , JSTOR 2323442 , MR 1541235
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Ecuación diofántica: sextos poderes" . MathWorld .