Una red de mundo pequeño es un tipo de gráfico matemático en el que la mayoría de los nodos no son vecinos entre sí, pero es probable que los vecinos de cualquier nodo dado sean vecinos entre sí y se puede llegar a la mayoría de los nodos desde cualquier otro nodo mediante un pequeño número de saltos o pasos. Específicamente, una red de mundo pequeño se define como una red donde la distancia típica L entre dos nodos elegidos al azar (el número de pasos requeridos) crece proporcionalmente al logaritmo del número de nodos N en la red, es decir: [1 ]
mientras que el coeficiente de agrupamiento no es pequeño. En el contexto de una red social, esto da como resultado el fenómeno del pequeño mundo de extraños vinculados por una pequeña cadena de conocidos . Muchos gráficos empíricos muestran el efecto del mundo pequeño, incluidas las redes sociales , wikis como Wikipedia, las redes de genes e incluso la arquitectura subyacente de Internet . Es la inspiración para muchas arquitecturas de red en chip en hardware informático contemporáneo . [2]
A cierta categoría de redes de mundo pequeño se identificaron como una clase de grafos aleatorios por Duncan Watts y Steven Strogatz en 1998. [3] Se observó que los gráficos se pueden clasificar según dos características estructurales independientes, a saber, el coeficiente de agrupamiento , y el nodo promedio distancia al nodo (también conocida como longitud media de la ruta más corta ). Los gráficos puramente aleatorios, construidos de acuerdo con el modelo Erdős – Rényi (ER) , exhiben una pequeña longitud de camino más corta promedio (que varía típicamente como el logaritmo del número de nodos) junto con un pequeño coeficiente de agrupamiento. Watts y Strogatz midieron que, de hecho, muchas redes del mundo real tienen una longitud de ruta más corta promedio pequeña, pero también un coeficiente de agrupamiento significativamente más alto de lo esperado por azar. Watts y Strogatz luego propusieron un modelo de gráfico novedoso, actualmente denominado modelo de Watts y Strogatz , con (i) una longitud de trayectoria más corta promedio pequeña y (ii) un coeficiente de agrupamiento grande. El cruce en el modelo Watts-Strogatz entre un "mundo grande" (como un enrejado) y un mundo pequeño fue descrito por primera vez por Barthelemy y Amaral en 1999. [4] Este trabajo fue seguido por muchos estudios, incluyendo resultados exactos (Barrat y Weigt, 1999; Dorogovtsev y Mendes ; Barmpoutis y Murray, 2010). Braunstein et al [5] encontraron que para las redes ER ponderadas donde las ponderaciones tienen una distribución muy amplia, las escalas de trayectoria óptima se vuelven significativamente más largas y escalas como N 1/3 .
Propiedades de las redes de pequeños mundos
Las redes de mundo pequeño tienden a contener camarillas y casi camarillas, es decir, subredes que tienen conexiones entre casi dos nodos dentro de ellas. Esto se deriva de la propiedad definitoria de un coeficiente de agrupamiento alto . En segundo lugar, la mayoría de los pares de nodos estarán conectados por al menos una ruta corta. Esto se deriva de la propiedad definitoria de que la longitud de la ruta más corta media sea pequeña. Varias otras propiedades se asocian a menudo con redes de mundo pequeño. Por lo general, existe una sobreabundancia de concentradores : nodos en la red con un gran número de conexiones (conocidos como nodos de alto grado ). Estos concentradores sirven como conexiones comunes que median las longitudes de ruta cortas entre otros bordes. Por analogía, la red de vuelos de aerolíneas en un mundo pequeño tiene una longitud de ruta media pequeña (es decir, entre dos ciudades es probable que tenga que tomar tres vuelos o menos) porque muchos vuelos se enrutan a través de ciudades centrales . Esta propiedad a menudo se analiza considerando la fracción de nodos en la red que tienen un número particular de conexiones que entran en ellos (el grado de distribución de la red). Las redes con un número de hubs mayor al esperado tendrán una fracción mayor de nodos con alto grado y, en consecuencia, la distribución de grados se enriquecerá con valores de alto grado. Esto se conoce coloquialmente como distribución de cola gruesa . Los gráficos de topología muy diferente se califican como redes de mundo pequeño siempre que satisfagan los dos requisitos de definición anteriores.
La pequeñez de la red se ha cuantificado mediante un coeficiente pequeño, , calculado comparando la agrupación en clústeres y la longitud de la ruta de una red determinada con una red aleatoria equivalente con el mismo grado en promedio. [6] [7]
- Si ( y ), la red es un mundo pequeño. Sin embargo, se sabe que esta métrica tiene un rendimiento deficiente porque está muy influenciada por el tamaño de la red. [8] [9]
Otro método para cuantificar la pequeñez de la red utiliza la definición original de la red de pequeño mundo comparando el agrupamiento de una red dada con una red de celosía equivalente y su longitud de ruta con una red aleatoria equivalente. La medida del pequeño mundo () se define como [8]
Donde la longitud de la ruta característica L y el coeficiente de agrupamiento C se calculan a partir de la red que está probando, C ℓ es el coeficiente de agrupación para una red de celosía equivalente y L r es la longitud de la ruta característica para una red aleatoria equivalente.
Otro método más para cuantificar la pequeña mundanalidad normaliza tanto el agrupamiento de la red como la longitud de la ruta en relación con estas características en redes reticulares y aleatorias equivalentes. El Small World Index (SWI) se define como [9]
Tanto ω ′ como SWI oscilan entre 0 y 1, y se ha demostrado que capturan aspectos de la pequeñez. Sin embargo, adoptan concepciones ligeramente diferentes de la pequeñez ideal. Para un conjunto dado de restricciones (por ejemplo, tamaño, densidad, distribución de grados), existe una red para la cual ω ′ = 1, y por lo tanto ω apunta a capturar la medida en que una red con restricciones dadas es lo más pequeña posible del mundo. Por el contrario, es posible que no exista una red para la que SWI = 1, por lo que SWI tiene como objetivo capturar la medida en que una red con restricciones dadas se acerca al ideal teórico del mundo pequeño de una red donde C ≈ C ℓ y L ≈ L r . [9]
R. Cohen y Havlin [10] [11] demostraron analíticamente que las redes sin escala son mundos ultrapequeños. En este caso, debido a los hubs, los caminos más cortos se vuelven significativamente más pequeños y escalan a medida que
Ejemplos de redes de pequeños mundos
Las propiedades del mundo pequeño se encuentran en muchos fenómenos del mundo real, incluidos sitios web con menús de navegación, redes tróficas, redes eléctricas, redes de procesamiento de metabolitos, redes de neuronas cerebrales , redes de votantes, gráficos de llamadas telefónicas, redes de aeropuertos, [12] y redes sociales. influir en las redes. [13] Las redes culturales, [14] las redes semánticas [15] y las redes de co-ocurrencia de palabras [16] también han demostrado ser redes de mundo pequeño.
Las redes de proteínas conectadas tienen propiedades de mundo pequeño, como la ley de potencia que obedece a distribuciones de grados. [17] De manera similar , las redes transcripcionales , en las que los nodos son genes , y están vinculados si un gen tiene una influencia genética reguladora hacia arriba o hacia abajo sobre el otro, tienen propiedades de red mundial pequeñas. [18]
Ejemplos de redes de mundos no pequeños
En otro ejemplo, la famosa teoría de los " seis grados de separación " entre personas supone tácitamente que el dominio del discurso es el conjunto de personas vivas en un momento dado. El número de grados de separación entre Albert Einstein y Alejandro Magno es casi con certeza superior a 30 [19] y esta red no tiene propiedades de mundo pequeño. Una red igualmente restringida sería la red "fue a la escuela con": si dos personas fueran a la misma universidad con diez años de diferencia entre sí, es poco probable que tengan conocidos en común entre el cuerpo estudiantil.
De manera similar, el número de estaciones repetidoras por las que debe pasar un mensaje no siempre fue pequeño. En los días en que el correo se transportaba a mano o a caballo, la cantidad de veces que una carta cambiaba de manos entre su origen y destino habría sido mucho mayor que en la actualidad. El número de veces que un mensaje cambiaba de manos en la época del telégrafo visual (alrededor de 1800-1850) estaba determinado por el requisito de que dos estaciones estuvieran conectadas por línea de visión.
Las suposiciones tácitas, si no se examinan, pueden causar un sesgo en la literatura sobre gráficos a favor de encontrar redes de mundo pequeño (un ejemplo del efecto de cajón de archivos resultante del sesgo de publicación ).
Robustez de la red
Algunos investigadores, como Barabási , plantean la hipótesis de que la prevalencia de las redes de pequeños mundos en los sistemas biológicos puede reflejar una ventaja evolutiva de dicha arquitectura. Una posibilidad es que las redes de mundo pequeño sean más resistentes a las perturbaciones que otras arquitecturas de red. Si este fuera el caso, proporcionaría una ventaja a los sistemas biológicos que están sujetos a daño por mutación o infección viral .
En una red mundial pequeña con una distribución de grados que sigue una ley de potencias , la eliminación de un nodo aleatorio rara vez provoca un aumento drástico en la longitud del camino más corto medio (o una disminución drástica en el coeficiente de agrupamiento ). Esto se deriva del hecho de que la mayoría de las rutas más cortas entre nodos fluyen a través de concentradores , y si se elimina un nodo periférico, es poco probable que interfiera con el paso entre otros nodos periféricos. Como la fracción de nodos periféricos en una red mundial pequeña es mucho mayor que la fracción de concentradores , la probabilidad de eliminar un nodo importante es muy baja. Por ejemplo, si se cerrara el pequeño aeropuerto en Sun Valley, Idaho , no aumentaría el número promedio de vuelos que tendrían que tomar otros pasajeros que viajen en los Estados Unidos para llegar a sus respectivos destinos. Sin embargo, si la eliminación aleatoria de un nodo llega a un concentrador por casualidad, la longitud promedio de la ruta puede aumentar drásticamente. Esto se puede observar anualmente cuando los aeropuertos centrales del norte, como el aeropuerto O'Hare de Chicago , se cierran debido a la nieve; mucha gente tiene que tomar vuelos adicionales.
Por el contrario, en una red aleatoria, en la que todos los nodos tienen aproximadamente el mismo número de conexiones, es probable que la eliminación de un nodo aleatorio aumente la longitud de la ruta media más corta de forma leve pero significativa para casi cualquier nodo eliminado. En este sentido, las redes aleatorias son vulnerables a perturbaciones aleatorias, mientras que las redes de mundo pequeño son robustas. Sin embargo, las redes de mundos pequeños son vulnerables a ataques dirigidos de concentradores, mientras que las redes aleatorias no pueden ser el objetivo de fallas catastróficas.
Apropiadamente, los virus han evolucionado para interferir con la actividad de proteínas centrales como p53 , provocando así cambios masivos en el comportamiento celular que conducen a la replicación viral. Un método útil para analizar la robustez de la red es la teoría de la percolación . [20]
Construcción de redes de pequeños mundos
El principal mecanismo para construir redes de mundo pequeño es el mecanismo Watts-Strogatz .
Las redes de mundo pequeño también pueden introducirse con retardo de tiempo, [21] que no solo producirá fractales sino también caos [22] en las condiciones adecuadas, o transición al caos en redes dinámicas. [23]
Los gráficos de grado-diámetro se construyen de manera que el número de vecinos que tiene cada vértice en la red está acotado, mientras que la distancia desde cualquier vértice dado en la red a cualquier otro vértice (el diámetro de la red) se minimiza. La construcción de tales redes de mundo pequeño se realiza como parte del esfuerzo por encontrar gráficos de orden cercanos al límite de Moore .
Otra forma de construir una red mundial pequeña desde cero se da en Barmpoutis et al. , [24] donde se construye una red con una distancia media muy pequeña y una agrupación media muy grande. Se proporciona un algoritmo rápido de complejidad constante, junto con mediciones de la robustez de los gráficos resultantes. Dependiendo de la aplicación de cada red, se puede comenzar con una de esas redes de "mundo ultra pequeño" y luego volver a cablear algunos bordes, o usar varias redes pequeñas como subgráficos en un gráfico más grande.
Las propiedades de los mundos pequeños pueden surgir de forma natural en las redes sociales y otros sistemas del mundo real a través del proceso de evolución de doble fase . Esto es particularmente común cuando las restricciones de tiempo o espaciales limitan la adición de conexiones entre vértices. El mecanismo generalmente implica cambios periódicos entre fases, con conexiones que se agregan durante una fase "global" y se refuerzan o eliminan durante una fase "local".
Las redes de pequeños mundos pueden cambiar de una clase sin escala a una clase a gran escala cuya distribución de conectividad tiene un corte brusco siguiendo un régimen de ley de energía debido a las restricciones que limitan la adición de nuevos enlaces. [25] Para restricciones lo suficientemente fuertes, las redes sin escala pueden incluso convertirse en redes de escala única cuya distribución de conectividad se caracteriza por un rápido deterioro. [25]
Mundo pequeño con una distribución de la longitud del enlace
El modelo SW incluye una distribución uniforme de enlaces de largo alcance. Cuando la distribución de las longitudes de los enlaces sigue una distribución de la ley de potencia, la distancia media entre dos sitios cambia según la potencia de la distribución. [26]
Aplicaciones
Aplicaciones a la sociología
Las ventajas de las redes de pequeños mundos para los grupos de movimientos sociales son su resistencia al cambio debido al aparato de filtrado del uso de nodos altamente conectados, y su mayor efectividad en la transmisión de información mientras se mantiene al mínimo el número de enlaces necesarios para conectar una red. [27]
El modelo de red del mundo pequeño es directamente aplicable a la teoría de grupos de afinidad representada en argumentos sociológicos por William Finnegan . Los grupos de afinidad son grupos de movimientos sociales que son pequeños y semiindependientes comprometidos con un objetivo o función más grande. Aunque en gran parte no están afiliados a nivel de nodo, algunos miembros de alta conectividad funcionan como nodos de conectividad, vinculando a los diferentes grupos a través de redes. Este modelo de mundo pequeño ha demostrado ser una táctica de organización de protesta extremadamente eficaz contra la acción policial. [28] Clay Shirky sostiene que cuanto más grande es la red social creada a través de redes de mundo pequeño, más valiosos son los nodos de alta conectividad dentro de la red. [27] Lo mismo puede decirse del modelo de grupo de afinidad, donde las pocas personas dentro de cada grupo conectadas a grupos externos permitieron una gran cantidad de movilización y adaptación. Un ejemplo práctico de esto es la creación de redes mundiales a través de grupos de afinidad que William Finnegan describe en referencia a las protestas de la OMC en Seattle en 1999 .
Aplicaciones a las ciencias de la tierra
Se ha demostrado que muchas redes estudiadas en geología y geofísica tienen características de redes de mundo pequeño. Las redes definidas en sistemas de fractura y sustancias porosas han demostrado estas características. [29] La red sísmica en la región del sur de California puede ser una red de mundo pequeño. [30] Los ejemplos anteriores ocurren en escalas espaciales muy diferentes, lo que demuestra la invariancia de escala del fenómeno en las ciencias de la tierra. Las redes climáticas pueden considerarse como pequeñas redes mundiales en las que los enlaces tienen diferentes escalas de longitud. [31]
Aplicaciones a la informática
Las redes de pequeños mundos se han utilizado para estimar la usabilidad de la información almacenada en grandes bases de datos. La medida se denomina Medida de transformación de datos de Small World. [32] [33] Cuanto más se alineen los enlaces de la base de datos con una red de un mundo pequeño, más probabilidades hay de que un usuario pueda extraer información en el futuro. Esta facilidad de uso generalmente tiene el costo de la cantidad de información que se puede almacenar en el mismo repositorio.
Se ha demostrado que la red peer-to-peer de Freenet forma una red de mundo pequeño en simulación, [34] permitiendo que la información se almacene y recupere de una manera que aumenta la eficiencia a medida que la red crece.
Redes neuronales de pequeños mundos en el cerebro
Tanto las conexiones anatómicas en el cerebro [35] como las redes de sincronización de las neuronas corticales [36] exhiben una topología de mundo pequeño.
También se ha encontrado que la conectividad estructural y funcional en el cerebro refleja la topología de mundo pequeño de longitud de ruta corta y alta agrupación. [37] La estructura de la red se ha encontrado en la corteza de los mamíferos en todas las especies, así como en estudios de imágenes a gran escala en humanos. [38] Los avances en la conectómica y la neurociencia de redes han encontrado que la pequeña mundanidad de las redes neuronales está asociada con una comunicación eficiente. [39]
En las redes neuronales, la longitud de ruta corta entre los nodos y la alta agrupación en los centros de red permiten una comunicación eficiente entre las regiones del cerebro al menor costo energético. [39] El cerebro está constantemente procesando y adaptándose a nueva información y el modelo de red de mundo pequeño soporta las intensas demandas de comunicación de las redes neuronales. [40] La alta agrupación de nodos forma redes locales que a menudo están relacionadas funcionalmente. La longitud de la ruta corta entre estos concentradores permite una comunicación global eficiente. [41] Este equilibrio permite la eficiencia de la red global al mismo tiempo que equipa al cerebro para manejar las interrupciones y mantener la homeostasis, debido a que los subsistemas locales están aislados de la red global. [42] Se ha descubierto que la pérdida de la estructura de la red del mundo pequeño indica cambios en la cognición y un mayor riesgo de trastornos psicológicos. [9]
Además de caracterizar la conectividad estructural y funcional de todo el cerebro, los sistemas neuronales específicos, como el sistema visual, exhiben propiedades de red de mundo pequeño. [6]
Una red de neuronas de un mundo pequeño puede exhibir memoria a corto plazo . Un modelo informático desarrollado por Solla et al. [43] [44] tenía dos estados estables, una propiedad (llamada biestabilidad ) que se consideraba importante en el almacenamiento de la memoria . Un pulso de activación generó bucles autosostenidos de actividad de comunicación entre las neuronas. Un segundo pulso puso fin a esta actividad. Los pulsos cambiaron el sistema entre estados estables: flujo (registrando una "memoria") y estasis (manteniéndola). Las redes neuronales del pequeño mundo también se han utilizado como modelos para comprender las convulsiones . [45]
Ver también
- Modelo de Barabási-Albert
- El clima como redes complejas : modelo conceptual para generar conocimientos sobre la ciencia del clima
- Evolución de fase dual : un proceso que impulsa la autoorganización dentro de sistemas adaptativos complejos
- Número de Dunbar : límite cognitivo sugerido importante en sociología y antropología
- Número de Erdős : cercanía de la asociación de alguien con el matemático Paul Erdős
- Modelo Erdős – Rényi (ER) : dos modelos estrechamente relacionados para generar gráficos aleatorios
- Teoría de la filtración: teoría matemática sobre el comportamiento de grupos conectados en un gráfico aleatorio
- Ciencia de redes - teoría matemática de redes
- Red sin escala : red cuya distribución de grados sigue una ley de potencia
- Seis grados de Kevin Bacon - Juego de salón sobre grados de separación
- Experimento del mundo pequeño : experimentos que examinan la longitud de ruta promedio para las redes sociales
- Red social: estructura social compuesta por un conjunto de actores sociales
- Modelo Watts-Strogatz
- Red en un chip : sistemas en un chip modelados en redes de mundo pequeño
- Club de karate de Zachary
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Redes de proximidad dinámica por Seth J. Chandler, The Wolfram Demonstrations Project .
- Entrada de Small-World Networks en Scholarpedia (por Mason A. Porter)