En matemáticas , los números sociables son números cuyas sumas alícuotas forman una secuencia cíclica que comienza y termina con el mismo número. Son generalizaciones de los conceptos de números amistosos y números perfectos . Las dos primeras secuencias sociables, o cadenas sociables, fueron descubiertas y nombradas por el matemático belga Paul Poulet en 1918. [1] En un conjunto de números sociables, cada número es la suma de los factores propios del número anterior, es decir, el suma excluye el número anterior en sí. Para que la secuencia sea sociable, la secuencia debe ser cíclica y volver a su punto de partida.
El período de la secuencia, o el orden del conjunto de números sociables, es el número de números en este ciclo.
Si el período de la secuencia es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto; por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, cuya suma es nuevamente 6. Un par de amistosos números es un conjunto de números sociables de orden 2. No hay números sociables conocidos de orden 3, y las búsquedas se han realizado hastaa partir de 1970. [2]
Es una pregunta abierta si todos los números terminan en un número sociable o en un número primo (y por lo tanto 1), o, de manera equivalente, si existen números cuya secuencia de alícuotas nunca termina y, por lo tanto, crece sin límite.
Ejemplo
Un ejemplo con el período 4:
- La suma de los divisores propios de ( ) es
- 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,
- la suma de los divisores propios de ( ) es
- 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,
- la suma de los divisores propios de ( ) es
- 1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, y
- la suma de los divisores propios de ( ) es
- 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.
Lista de números sociables conocidos
A continuación, se clasifican todos los números sociables conocidos a partir de julio de 2018[actualizar] por la longitud de la secuencia de alícuotas correspondiente:
Secuencia largo | Número de conocidos secuencias | número más bajo en secuencia [3] |
---|---|---|
1 ( Número perfecto ) | 51 | 6 |
2 ( Número amistoso ) | 1225736919 [4] | 220 |
4 | 5398 | 1.264.460 |
5 | 1 | 12,496 |
6 | 5 | 21,548,919,483 |
8 | 4 | 1.095.447.416 |
9 | 1 | 805,984,760 |
28 | 1 | 14.316 |
Se conjetura que si n es congruente con 3 módulo 4, entonces no existe tal secuencia con longitud n .
La secuencia de 5 ciclos es: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264
El único ciclo conocido de 28 es: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716. (secuencia A072890 en la OEIS ).
Estas dos secuencias proporcionan los únicos números sociables por debajo de 1 millón (aparte de los números perfectos y amistosos).
Buscando números sociables
La secuencia de alícuotas se puede representar como un gráfico dirigido ,, para un entero dado , dónde denota la suma de los divisores propios de . [5] Ciclos en representar números sociables dentro del intervalo . Dos casos especiales son bucles que representan números perfectos y ciclos de longitud dos que representan pares amistosos .
Conjetura de la suma de ciclos de números sociables
Se conjetura que a medida que el número de ciclos de números sociables con una longitud superior a 2 se acerca al infinito, el porcentaje de las sumas de los ciclos de números sociables divisibles por 10 se acerca al 100%. (secuencia A292217 en la OEIS ).
Referencias
- ^ P. Poulet, # 4865, L'Intermédiaire des Mathématiciens 25 (1918), págs. 100-101. (El texto completo se puede encontrar en ProofWiki: Catalan-Dickson Conjecture .)
- ^ Bratley, Paul; Lunnon, Fred; McKay, John (1970). "Números amistosos y su distribución" . Matemáticas de la Computación . 24 (110): 431–432. doi : 10.1090 / S0025-5718-1970-0271005-8 . ISSN 0025-5718 .
- ^ https://oeis.org/A003416 referencia cruzada con https://oeis.org/A052470
- ^ Lista de parejas amistosas de Sergei Chernykh
- ^ Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Detección de ciclos distribuidos en gráficos dispersos a gran escala , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi : 10.13140 / RG.2.1.1233.8640
- H. Cohen, Sobre números amistosos y sociables, Matemáticas. Comp. 24 (1970), págs. 423–429
enlaces externos
- Una lista de números sociables conocidos
- Amplias tablas de números perfectos, amistosos y sociables
- Weisstein, Eric W. "Números sociables" . MathWorld .
- A003416 (número sociable más pequeño de cada ciclo) y A122726 (todos los números sociables) en OEIS