En geometría , un ángulo sólido (símbolo: Ω ) es una medida de la cantidad de campo de visión desde algún punto particular que cubre un objeto dado. Es decir, es una medida de cuán grande parece el objeto a un observador que mira desde ese punto. El punto desde el cual se ve el objeto se llama vértice del ángulo sólido, y se dice que el objeto subtiende su ángulo sólido desde ese punto.
Ángulo sólido | |
---|---|
Símbolos comunes | Ω |
Unidad SI | Estereorradián |
Otras unidades | Grado cuadrado |
En unidades base SI | m 2 / m 2 |
¿ Conservado ? | No |
Derivaciones de otras cantidades | |
Dimensión |
En el Sistema Internacional de Unidades (SI), un ángulo sólido se expresa en una unidad adimensional llamada estereorradián (símbolo: sr). Un estereorradián corresponde a una unidad de área en la esfera unitaria que rodea el vértice, por lo que un objeto que bloquea todos los rayos del vértice cubriría un número de estereorradiánes igual al área de superficie total de la esfera unitaria,. Los ángulos sólidos también se pueden medir en cuadrados de medidas angulares como grados , minutos y segundos.
Un objeto pequeño cercano puede presentar el mismo ángulo sólido que un objeto más grande más alejado. Por ejemplo, aunque la Luna es mucho más pequeña que el Sol , también está mucho más cerca de la Tierra . De hecho, visto desde cualquier punto de la Tierra, ambos objetos tienen aproximadamente el mismo ángulo sólido y el mismo tamaño aparente. Esto es evidente durante un eclipse solar .
Definición y propiedades
El ángulo sólido de un objeto en estereorradián es igual al área del segmento de una esfera unitaria , centrada en el vértice, que cubre el objeto. Un ángulo sólido en estereorradián es igual al área de un segmento de una esfera unitaria de la misma manera que un ángulo plano en radianes es igual a la longitud de un arco de un círculo unitario ; por lo tanto, al igual que un ángulo plano en radianes es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio, un ángulo sólido en estereorradianes es la siguiente relación:
donde A es el área de la superficie esférica y r es el radio de la esfera considerada.
Los ángulos sólidos se utilizan a menudo en astronomía , física y, en particular, astrofísica . El ángulo sólido de un objeto que está muy lejos es aproximadamente proporcional a la relación entre el área y la distancia al cuadrado. Aquí "área" significa el área del objeto cuando se proyecta a lo largo de la dirección de visualización.
El ángulo sólido de una esfera medido desde cualquier punto en su interior es 4 π sr, y el ángulo sólido subtendido en el centro de un cubo por una de sus caras es un sexto de eso, o2 π/3 sr. Los ángulos sólidos también se pueden medir en grados cuadrados (1 sr = ( 180/π) 2 grados cuadrados), en minutos cuadrados y segundos cuadrados, o en fracciones de la esfera (1 sr = 1/4 πárea fraccional), también conocida como semilla (1 sp = 4 π sr).
En coordenadas esféricas hay una fórmula para el diferencial ,
donde θ es la colatitude (ángulo desde el polo norte) y φ es la longitud.
El ángulo sólido para una superficie S orientada arbitrariamente subtendida en un punto P es igual al ángulo sólido de la proyección de la superficie S a la esfera unitaria con centro P, que se puede calcular como la integral de la superficie :
dónde es el vector unitario correspondiente a, el vector de posición de un área infinitesimal de la superficie d S con respecto al punto P, y donderepresenta la unidad de vector normal a d S . Incluso si la proyección de la esfera unitaria a la superficie S no es isomórfica , los pliegues múltiples se consideran correctamente de acuerdo con la orientación de la superficie descrita por el signo del producto escalar. .
Así, uno puede aproximar el ángulo sólido subtendido por una pequeña faceta que tiene un área de superficie plana d S , orientación, y la distancia r del espectador como:
donde el área de la superficie de una esfera es A = 4π r 2 .
Aplicaciones prácticas
- Definición de la intensidad luminosa y la luminancia , y las cantidades radiométricas correspondientes, intensidad radiante y luminosidad.
- Calcular el exceso esférico E de un triángulo esférico
- El cálculo de potenciales mediante el método de elementos de contorno (BEM)
- Evaluar el tamaño de los ligandos en los complejos metálicos, ver el ángulo del cono del ligando
- Calcular el campo eléctrico y la fuerza del campo magnético alrededor de las distribuciones de carga.
- Derivando la ley de Gauss
- Cálculo de la potencia emisiva y la irradiación en la transferencia de calor.
- Cálculo de secciones transversales en la dispersión de Rutherford
- Cálculo de secciones transversales en dispersión Raman
- El ángulo sólido del cono de aceptación de la fibra óptica.
Ángulos sólidos para objetos comunes
Cono, casquete esférico, hemisferio
El ángulo sólido de un cono con su vértice en el vértice del ángulo sólido, y con un ángulo de vértice 2 θ , es el área de un casquete esférico en una esfera unitaria.
Para los pequeños θ tal que cos θ ≈ 1 - θ 2 /2 , esto se reduce al área de un círculo pi θ 2 .
Lo anterior se encuentra calculando la siguiente integral doble usando el elemento de superficie unitaria en coordenadas esféricas :
Esta fórmula también se puede derivar sin el uso de cálculo . Hace más de 2200 años, Arquímedes demostró que el área de la superficie de un casquete esférico es siempre igual al área de un círculo cuyo radio es igual a la distancia desde el borde del casquete esférico hasta el punto donde el eje de simetría del casquete interseca al casquete. [1] En el diagrama, este radio se da como:
Por lo tanto, para una esfera unitaria, el ángulo sólido del casquete esférico se da como:
Cuando θ = π/2, el casquete esférico se convierte en un hemisferio que tiene un ángulo sólido de 2 π .
El ángulo sólido del complemento del cono es:
Este es también el ángulo sólido de la parte de la esfera celeste que un observador astronómico posicionado en la latitud θ puede ver a medida que gira la Tierra. En el ecuador toda la esfera celeste es visible; en cualquier polo, solo la mitad.
El ángulo sólido subtendido por un segmento de un casquete esférico cortado por un plano en el ángulo γ desde el eje del cono y que pasa por el vértice del cono se puede calcular mediante la fórmula: [2]
Por ejemplo, si γ = - θ , entonces la fórmula se reduce a la fórmula de casquete esférico anterior: el primer término se convierte en π y el segundo en π cos θ .
Tetraedro
Sea OABC los vértices de un tetraedro con un origen en O subtendido por la cara triangular ABC dondeson las posiciones del vector de los vértices A, B y C. Definir el ángulo del vértice θ una para ser el BOC ángulo y definir θ b , θ c correspondientemente. Dejarser el ángulo diedro entre los planos que contienen las caras tetraédricas OAC y OBC y definen, correspondientemente. El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC está dado por
Esto se sigue de la teoría del exceso esférico y conduce al hecho de que existe un teorema análogo al teorema de que "La suma de los ángulos internos de un triángulo plano es igual a π " , para la suma de los cuatro ángulos sólidos internos de un tetraedro de la siguiente manera:
dónde abarca los seis ángulos diedros entre dos planos cualesquiera que contienen las caras tetraédricas OAB, OAC, OBC y ABC. [3]
Una fórmula útil para calcular el ángulo sólido del tetraedro en el origen O que es puramente una función de los ángulos del vértice θ a , θ b , θ c viene dada por el teorema de L'Huilier [4] [5] como
dónde
- .
Otra fórmula interesante consiste en expresar los vértices como vectores en un espacio tridimensional. Dejarser las posiciones del vector de los vértices A, B y C, y dejar que una , b , y c ser la magnitud de cada vector (la distancia del punto de origen). El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC es: [6] [7]
dónde
denota el producto triple escalar de los tres vectores ydenota el producto escalar .
Se debe tener cuidado aquí para evitar ángulos sólidos negativos o incorrectos. Una fuente de errores potenciales es que el producto triple escalar puede ser negativo si a , b , c tienen el devanado incorrecto . La computación es una solución suficiente ya que ninguna otra parte de la ecuación depende del devanado. El otro escollo surge cuando el producto triple escalar es positivo pero el divisor es negativo. En este caso devuelve un valor negativo que debe incrementarse en π .
Pirámide
El ángulo sólido de un cuatro lados rectangular derecho pirámide con vértice ángulos de un y b ( ángulos diedros medidos a las caras laterales opuestas de la pirámide) es
Si se conocen las longitudes de los lados ( α y β ) de la base de la pirámide y la distancia ( d ) desde el centro del rectángulo de la base hasta el vértice de la pirámide (el centro de la esfera), entonces la ecuación anterior puede ser manipulado para dar
El ángulo sólido de una pirámide n -gonal recta, donde la base de la pirámide es un polígono regular de n- lados de circunradio r , con una altura de pirámide h es
El ángulo sólido de una pirámide arbitraria con una base de n lados definida por la secuencia de vectores unitarios que representan los bordes { s 1 , s 2 }, ... s n se puede calcular de manera eficiente mediante: [2]
donde el paréntesis (* *) es un producto escalar y los corchetes [* * *] es un producto triple escalar , e i es una unidad imaginaria . Los índices se ciclan: s 0 = s n y s 1 = s n + 1 .
Rectángulo de latitud-longitud
El ángulo sólido de un rectángulo de latitud-longitud en un globo terráqueo es
- ,
donde φ N y φ S son líneas de latitud norte y sur (medidas desde el ecuador en radianes con un ángulo que aumenta hacia el norte), y θ E y θ W son líneas de longitud este y oeste (donde el ángulo en radianes aumenta hacia el este). [8] Matemáticamente, esto representa un arco de ángulo ϕ N - ϕ S barrido alrededor de una esfera por θ E - θ W radianes. Cuando la longitud se extiende a 2 π radianes y la latitud se extiende a π radianes, el ángulo sólido es el de una esfera.
Un rectángulo de latitud-longitud no debe confundirse con el ángulo sólido de una pirámide rectangular. Los cuatro lados de una pirámide rectangular se cruzan con la superficie de la esfera en grandes arcos circulares . Con un rectángulo de latitud-longitud, solo las líneas de longitud son arcos de círculo máximo; las líneas de latitud no lo son.
Sol y Luna
El Sol se ve desde la Tierra con un diámetro angular promedio de 0.5334 grados o 9.310 × 10 - 3 radianes. La Luna se ve desde la Tierra con un diámetro angular promedio de 9.22 × 10 - 3 radianes. Podemos sustituirlos en la ecuación dada anteriormente para el ángulo sólido subtendido por un cono con ángulo de vértice 2θ :
El valor resultante para el Sol es 6.807 × 10 - 5 estereorradianes. El valor resultante para la Luna es 6,67 × 10 - 5 estereorradianes. En términos de la esfera celeste total, el Sol y la Luna subtienden áreas fraccionales de 0,000542% (5,42 ppm ) y 0,000531% (5,31 ppm), respectivamente. En promedio, el Sol es más grande en el cielo que la Luna , aunque está mucho, mucho más lejos.
Ángulos sólidos en dimensiones arbitrarias
El ángulo sólido subtendido por la superficie esférica completa ( d - 1 ) -dimensional de la esfera unitaria en el espacio euclidiano d- dimensional se puede definir en cualquier número de dimensiones d . A menudo, se necesita este factor de ángulo sólido en cálculos con simetría esférica. Está dado por la fórmula
donde Γ es la función gamma . Cuando d es un número entero, la función gamma se puede calcular explícitamente. [9] De ello se deduce que
Esto da los resultados esperados de 4 π estereorradián para la esfera 3D delimitada por una superficie de área 4π r 2 y 2 π radianes para el círculo 2D delimitado por una circunferencia de longitud 2π r . También da el 2 ligeramente menos obvio para el caso 1D, en el que la "esfera" 1D centrada en el origen es el intervalo [- r , r ] y este está delimitado por dos puntos limitantes.
La contraparte de la fórmula vectorial en dimensión arbitraria fue derivada por Aomoto [10] [11] e independientemente por Ribando. [12] Los expresa como una serie infinita de Taylor multivariante:
Dados los vectores unitarios ddefiniendo el ángulo, sea V la matriz formada al combinarlos de modo que la i- ésima columna sea, y . Las variables formar un multivariable . Para un multiexponente entero "congruente" definimos . La notación por significa la variable , de manera similar para los exponentes . Por lo tanto, el término significa la suma de todos los términos en en el que aparece l como el primer o el segundo índice. Donde esta serie converge, converge al ángulo sólido definido por los vectores.
Referencias
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- ^ "Área de un rectángulo de latitud-longitud" . El Foro de Matemáticas @ Drexel . 2003.
- ^ Jackson, FM (1993). "Politopos en el espacio n euclidiano" . Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones . 29 (12/11): 172-174.
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Otras lecturas
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- Tryka, Stanislaw (1997). "Distribución angular del ángulo sólido en un punto subtendido por un disco circular". Optar. Comun . 137 (4-6). págs. 317–333. Código bibliográfico : 1997OptCo.137..317T . doi : 10.1016 / S0030-4018 (96) 00789-4 .
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enlaces externos
- Teoría del polígono de HCR (ángulo sólido subtendido por cualquier polígono) de Academia.edu
- Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall e Inglis, Edimburgo, 1969.
- MG Kendall, Un curso en la geometría de N Dimensiones, No. 8 de Monografías y cursos estadísticos de Griffin, ed. MG Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, Londres, 1961
- Weisstein, Eric W. "Ángulo sólido" . MathWorld .