La paradoja sorites ( / s oʊ r aɪ t i z / ; [1] a veces conocido como la paradoja de la pila ) es una paradoja que surge de vagos predicados . [2] Una formulación típica implica un montón de arena , del cual se eliminan los granos individualmente. Bajo el supuesto de que eliminar un solo grano no convierte un montón en un no-montón, la paradoja es considerar qué sucede cuando el proceso se repite suficientes veces: ¿un solo grano restante sigue siendo un montón? Si no es así, ¿cuándo cambió de un montón a un no montón? [3]
La formulación original y variaciones.
Paradoja del montón
La palabra "sorites" deriva de la palabra griega para montón. [4] La paradoja se llama así por su caracterización original, atribuida a Eubulides de Mileto . [5] La paradoja es la siguiente: considere un montón de arena del que se extraen granos individualmente. Se podría construir el argumento, utilizando premisas , de la siguiente manera: [3]
- 1,000,000 de granos de arena es un montón de arena (Premisa 1)
- Un montón de arena menos un grano sigue siendo un montón. (Premisa 2)
Las aplicaciones repetidas de la Premisa 2 (cada vez comenzando con un grano menos) eventualmente obligan a uno a aceptar la conclusión de que un montón puede estar compuesto por un solo grano de arena. [6] Read (1995) observa que "el argumento es en sí mismo un montón, o sorites, de pasos de modus ponens ": [7]
- 1,000,000 de granos es un montón.
- Si 1,000,000 granos es un montón entonces999,999 granos es un montón.
- Entonces 999,999 granos es un montón.
- Si 999,999 granos es un montón, entonces999.998 granos es un montón.
- Entonces 999.998 granos es un montón.
- Si ...
- ... Entonces 1 grano es un montón.
Variaciones
Entonces la tensión entre pequeños cambios y grandes consecuencias da lugar a la paradoja de Sorites ... Hay muchas variaciones ... [algunas de las cuales permiten] considerar la diferencia entre ser ... (una cuestión de hecho ) y parecer ... (una cuestión de percepción ). [2]
Otra formulación es comenzar con un grano de arena, que claramente no es un montón, y luego asumir que agregar un solo grano de arena a algo que no es un montón no lo convierte en un montón. Inductivamente, este proceso se puede repetir todo lo que se desee sin ni siquiera construir un montón. [2] [3] Una formulación más natural de esta variante es asumir que existe un conjunto de chips de colores de modo que dos chips adyacentes varían en color muy poco para que la vista humana pueda distinguirlos. Entonces, por inducción sobre esta premisa, los humanos no podrían distinguir entre ningún color. [2]
La eliminación de una gota del océano no la convertirá en 'no un océano' (sigue siendo un océano), pero dado que el volumen de agua en el océano es finito, eventualmente, después de suficientes extracciones, incluso queda un litro de agua. sigue siendo un océano.
Esta paradoja se puede reconstruir para una variedad de predicados, por ejemplo, con "alto", "rico", "viejo", "azul", "calvo", etc. Bertrand Russell argumentó que todo el lenguaje natural, incluso los conectivos lógicos, es vago; además, las representaciones de proposiciones son vagas. [8]
Falacia del continuo
La falacia del continuo (también llamada falacia de la barba , [9] [10] falacia del dibujo de líneas o falacia del punto de decisión [11] ) es una falacia informal estrechamente relacionada con la paradoja de Sorites. Ambas falacias hacen que uno rechace erróneamente una afirmación vaga simplemente porque no es tan precisa como uno quisiera. La vaguedad por sí sola no implica necesariamente invalidez. La falacia es el argumento de que dos estados o condiciones no pueden considerarse distintos (o no existen en absoluto) porque entre ellos existe un continuo de estados.
Hablando en sentido estricto, la paradoja de Sorites se refiere a situaciones donde hay muchos estados discretos (clásicamente entre 1 y 1,000,000 de granos de arena, por lo tanto 1,000,000 de estados posibles), mientras que la falacia del continuo se refiere a situaciones donde hay (o parece haber) un continuo de estados, como la temperatura: ¿una habitación está caliente o fría? Si existe alguno continua en el mundo físico es la clásica pregunta del atomismo , y mientras tanto la física newtoniana y la física cuántica modelar el mundo como continua, hay algunas propuestas en la gravedad cuántica , como la gravedad cuántica de bucles , que sugieren las nociones de ruptura longitud continua hacia abajo en la longitud de Planck , y por lo tanto lo que parecen ser continuos pueden ser simplemente estados discretos aún indistinguibles.
Por ejemplo, si una persona (Fred) no tiene barba, un día más de crecimiento no hará que tenga barba. Por lo tanto, si Fred está bien afeitado ahora, nunca podrá dejarse barba (porque es absurdo pensar que algún día la tendrá cuando no la tuvo el día anterior).
A los efectos de la falacia del continuo, se asume que de hecho existe un continuo, aunque esta es generalmente una distinción menor: en general, cualquier argumento en contra de la paradoja de sorites también puede usarse contra la falacia del continuo. Un argumento en contra de la falacia se basa en el simple contraejemplo : existen personas calvas y personas que no lo son. Otro argumento es que para cada grado de cambio en los estados, el grado de la condición cambia levemente, y estos "levemente" se acumulan para cambiar el estado de una categoría a otra. Por ejemplo, tal vez la adición de un grano de arroz haga que el grupo total de arroz sea "un poco más" de un montón, y suficientes "ligeramente" certificarán el estado del montón del grupo - ver lógica difusa .
Resoluciones propuestas
A primera vista, hay algunas formas de evitar esta conclusión. Uno puede objetar la primera premisa negando1.000.000 de granos de arena forman un montón . Pero1,000,000 es solo un número arbitrariamente grande, y el argumento continuará con cualquiera de esos números. Por tanto, la respuesta debe negar rotundamente que existan cosas tales como montones. Peter Unger defiende esta solución. [12] Alternativamente, uno puede objetar la segunda premisa al afirmar que no es cierto para todos los montones de arena que quitar un grano de él todavía forma un montón. [ cita requerida ]
Establecer un límite fijo
Una primera respuesta común a la paradoja es llamar montón a cualquier conjunto de granos que contenga más de un cierto número de granos. Si uno fuera a establecer el "límite fijo" en, digamos,10,000 granos, entonces uno diría que por menos de10,000 , no es un montón; por10,000 o más, entonces es un montón. [13]
Sin embargo, tales soluciones son insatisfactorias ya que parece haber poca importancia en la diferencia entre 9,999 granos y10,000 granos. El límite, dondequiera que se establezca, sigue siendo arbitrario, por lo que su precisión es engañosa. Es objetable tanto desde el punto de vista filosófico como lingüístico: el primero por su arbitrariedad y el segundo porque simplemente no es así como usamos el lenguaje natural. [14]
Una segunda respuesta intenta encontrar un límite fijo que refleje el uso común de un término. Por ejemplo, un diccionario puede definir un "montón" como "una colección de cosas agrupadas para formar una elevación". [15] Esto requiere que haya suficientes granos para que algunos granos sean sostenidos por otros granos. Por lo tanto, agregar un grano encima de una sola capa produce un montón y eliminar el último grano por encima de la capa inferior destruye el montón.
Límites incognoscibles (o epistemicismo)
Timothy Williamson [16] [17] [18] y Roy Sorensen [19] sostienen un enfoque de que existen límites fijos pero que son necesariamente incognoscibles.
Supervaluacionismo
El supervaluacionismo es una semántica para tratar con términos singulares irreferenciales y vaguedad . Le permite a uno retener las leyes tautológicas habituales incluso cuando se trata de valores de verdad indefinidos. [20] [21] [22] [23] Como ejemplo de una proposición sobre un término singular irreferencial, considere la oración "A Pegaso le gusta el regaliz ". Dado que el nombre " Pegaso " no se refiere , no se puede asignar ningún valor de verdad a la oración; no hay nada en el mito que justifique tal asignación. Sin embargo, hay algunas declaraciones sobre " Pegasus " que tienen valores de verdad definidos, como "A Pegasus le gusta el regaliz o Pegasus no le gusta el regaliz ". Esta oración es una instancia de la tautología "", es decir, el esquema válido" o no-Según el supervaluacionismo, debería ser cierto independientemente de que sus componentes tengan o no un valor de verdad.
Al admitir oraciones sin valores de verdad definidos, el supervaluacionismo evita casos adyacentes donde n granos de arena son un montón de arena, pero n -1 granos no lo es; por ejemplo, "1,000 granos de arena es un montón "puede considerarse un caso límite que no tiene un valor de verdad definido. Sin embargo, el supervaluacionismo es capaz de manejar una oración como"1000 granos de arena es un montón, o1.000 granos de arena no es un montón "como tautología, es decir, para asignarle el valor verdadero . [ Cita requerida ]
Precisamente, deja ser una valoración clásica definida en cada oración atómica del lenguaje, y deja ser el número de oraciones atómicas distintas en . Entonces por cada oración, a lo sumo pueden existir distintas valoraciones clásicas. Una supervaloración es una función de oraciones a valores de verdad tal que, una oración es súper verdadero (es decir ) si y solo si para cada valoración clásica ; igualmente para super-falso. De lo contrario, no está definido, es decir, exactamente cuando hay dos valoraciones clásicas y tal que y .
Por ejemplo, deja ser la traducción formal de "A Pegaso le gusta el regaliz ". Entonces hay exactamente dos valoraciones clásicas y en , a saber. y . Entoncesno es ni súper verdadero ni súper falso. Sin embargo, la tautología es evaluado para por cada valoración clásica; por tanto, es supercierto. Del mismo modo, la formalización de la proposición del montón anterior no es ni súper verdadero ni súper falso, pero es supercierto.
Lagunas de verdad, glúteos y lógicas de varios valores
Otro enfoque es utilizar una lógica de valores múltiples . Desde este punto de vista, el problema está en el principio de bivalencia : la arena es un montón o no es un montón, sin matices de gris. En lugar de dos estados lógicos, montón y no montón , se puede utilizar un sistema de tres valores, por ejemplo , montón , indeterminado y no montón . Sin embargo, tres sistemas valorados no resuelven realmente la paradoja, ya que todavía existe una línea divisoria entre montón e indeterminado y también entre indeterminado y no montón . El tercer valor de verdad puede entenderse como una brecha de valor de verdad o como un exceso de valor de verdad . [24]
Alternativamente, la lógica difusa ofrece un espectro continuo de estados lógicos representados en el intervalo unitario de números reales [0,1]; es una lógica de muchos valores con infinitos valores de verdad y, por lo tanto, la arena se mueve suavemente desde "definitivamente montón "a" definitivamente no amontonar ", con matices en la región intermedia. Las coberturas difusas se utilizan para dividir el continuo en regiones correspondientes a clases como definitivamente montón , principalmente montón , parcialmente montón , ligeramente montón y no montón . [25] [26] Aunque el problema sigue siendo dónde ocurren estas fronteras; por ejemplo, en qué cantidad de granos la arena comienza a ser "definitivamente" un montón.
Histéresis
Otro enfoque, introducido por Raffman, [27] es utilizar la histéresis , es decir, el conocimiento de cómo comenzó la colección de arena. Las cantidades equivalentes de arena pueden denominarse montones o no según cómo llegaron allí. Si un montón grande (indiscutiblemente descrito como un montón) se reduce lentamente, conserva su "estado de montón" hasta cierto punto, incluso cuando la cantidad real de arena se reduce a un número menor de granos. Por ejemplo, suponga500 granos es una pila y1,000 granos es un montón. Habrá una superposición para estos estados. Entonces, si uno lo está reduciendo de un montón a un montón, es un montón bajando hasta, digamos,750 . En ese punto uno dejaría de llamarlo montón y empezaría a llamarlo montón. Pero si uno reemplaza un grano, no volverá a convertirse instantáneamente en un montón. Al subir quedaría un montón hasta, digamos,900 granos. Los números elegidos son arbitrarios; el punto es que la misma cantidad puede ser un montón o un montón dependiendo de lo que era antes del cambio. Un uso común de la histéresis sería el termostato para el aire acondicionado: el aire acondicionado se establece en 77 ° F y luego se enfría a menos de 77 ° F, pero no se enciende de nuevo instantáneamente a 77.001 ° F; espera hasta casi 78 ° F. ° F, para evitar cambios instantáneos de estado una y otra vez. [28]
Consenso del grupo
Se puede establecer el significado de la palabra "montón" apelando al consenso . Williamson, en su solución epistémica a la paradoja, asume que el significado de términos vagos debe ser determinado por el uso del grupo. [29] El enfoque de consenso generalmente afirma que una colección de granos es tanto un "montón" como la proporción de personas en un grupo que creen que es así. En otras palabras, la probabilidad de que cualquier colección se considere un montón es el valor esperado de la distribución de las vistas del grupo.
Un grupo puede decidir que:
- Un grano de arena por sí solo no es un montón.
- Una gran colección de granos de arena es un montón.
Entre los dos extremos, los miembros individuales del grupo pueden estar en desacuerdo entre sí sobre si una colección en particular puede ser etiquetada como un "montón". Entonces, no se puede afirmar definitivamente que la colección sea un "montón" o "no un montón". Esto puede considerarse una apelación a la lingüística descriptiva más que a la lingüística prescriptiva , ya que resuelve el problema de la definición basada en cómo la población usa el lenguaje natural. De hecho, si se dispone de una definición prescriptiva precisa de "montón", el consenso del grupo siempre será unánime y la paradoja no surge.
Resoluciones en teoría de la utilidad
" X más o igualmente rojo que Y " modelado como relación cuasitransitiva ≈: indistinguible,>: claramente más rojo | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Y X | f10 | e20 | d30 | c40 | b50 | a60 |
f10 | ≈ | ≈ | > | > | > | > |
e20 | ≈ | ≈ | ≈ | > | > | > |
d30 | ≈ | ≈ | ≈ | > | > | |
c40 | ≈ | ≈ | ≈ | > | ||
b50 | ≈ | ≈ | ≈ | |||
a60 | ≈ | ≈ |
En el campo de la economía de la teoría de la utilidad , la paradoja de Sorites surge cuando se investigan los patrones de preferencias de una persona. Como ejemplo de Robert Duncan Luce , es fácil encontrar a una persona, digamos Peggy, que prefiere en su café 3 gramos (es decir, 1 cubo ) de azúcar a 15 gramos (5 cubos), sin embargo, por lo general le será indiferente. entre 3,00 y 3,03 gramos, así como entre 3,03 y 3,06 gramos, y así sucesivamente, así como finalmente entre 14,97 y 15,00 gramos. [30]
Los economistas tomaron dos medidas para evitar la paradoja de Sorites en tal escenario.
- Se utilizan formas de propiedades comparativas , en lugar de positivas . El ejemplo anterior deliberadamente no hace una declaración como "A Peggy le gusta una taza de café con 3 gramos de azúcar", o "A Peggy no le gusta una taza de café con 15 gramos de azúcar". En cambio, dice "A Peggy le gusta una taza de café con 3 gramos de azúcar más que una con 15 gramos de azúcar". [34]
- Los economistas distinguen la preferencia ("A Peggy le gusta ... más que ...") de la indiferencia ("A Peggy le gusta ... tanto como ..."), y no consideran que esta última relación sea transitiva . [36] En el ejemplo anterior, abreviando "una taza de café con x gramos de azúcar" por " c x " y "Peggy es indiferente entre c x y c y " como " c x ≈ c y ", los hechos c 3.00 ≈ c 3.03 y c 3.03 ≈ c 3.06 y ... y c 14.97 ≈ c 15.00 no implican c 3.00 ≈ c 15.00 .
Se introdujeron varios tipos de relaciones para describir la preferencia y la indiferencia sin toparse con la paradoja de Sorites. Luce definió los semiordenes e investigó sus propiedades matemáticas; [30] Amartya Sen realizó una tarea similar para las relaciones cuasitransitivas . [37] Abreviar "A Peggy le gusta más c x que c y " como " c x > c y ", y abreviar " c x > c y o c x ≈ c y " por " c x ≥ c y ", es razonable que la relación ">" es un semiorden mientras que ≥ es cuasitransitivo. Por el contrario, a partir de un semiorden dado> la relación de indiferencia ≈ puede reconstruirse definiendo c x ≈ c y si ni c x > c y ni c y > c x . De manera similar, a partir de una relación cuasitransitiva dada ≥ la relación de indiferencia ≈ se puede reconstruir definiendo c x ≈ c y si tanto c x ≥ c y como c y ≥ c x . Estas relaciones ≈ reconstruidas no suelen ser transitivas.
La tabla de la derecha muestra cómo el ejemplo de color anterior se puede modelar como una relación cuasi transitiva ≥. Las diferencias de color se exageran para mejorar la legibilidad. Se dice que un color X es más o igualmente rojo que un color Y si la celda de la tabla en la fila X y la columna Y no está vacía. En ese caso, si cuentan con el "≈", entonces X e Y vistazo indistinguible iguales, y si cuentan con el ">", entonces X se ve claramente más rojo que Y . La relación ≥ es la unión disjunta de la relación simétrica ≈ y la relación transitiva>. Usando la transitividad de>, el conocimiento de f10 > d30 y d30 > b50 permite inferir que f10 > b50 . Sin embargo, dado que ≥ no es transitivo, una inferencia "paradójica" como " d30 ≥ e20 y e20 ≥ f10 , por lo tanto d30 ≥ f10 " ya no es posible. Por la misma razón, por ejemplo, " d30 ≈ e20 y e20 ≈ f10 , por lo tanto d30 ≈ f10 " ya no es una inferencia válida. De manera similar, para resolver la variación original del montón de la paradoja con este enfoque, la relación "los granos X son más un montón que los granos Y " podría considerarse cuasitransitiva en lugar de transitiva.
Ver también
- Ambigüedad
- Rana hirviendo
- Concepto cerrado
- Concepto difuso
- Lógica difusa
- Lo se cuando lo veo
- Lenguaje impreciso
- Lista de falacias
- La apuesta de Loki
- Especies de anillo
- Barco de Teseo
- Pendiente resbaladiza
- Paja que rompió la espalda del camello
- La paradoja del hombre calvo
Referencias
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