En análisis matemático , una curva de relleno de espacio es una curva cuyo rango contiene la unidad cuadrada bidimensional completa (o más generalmente un hipercubo de unidad n- dimensional ). Dado que Giuseppe Peano (1858-1932) fue el primero en descubrir uno, las curvas de relleno de espacio en el plano bidimensional a veces se denominan curvas de Peano , pero esa frase también se refiere a la curva de Peano , el ejemplo específico de una curva de relleno de espacio. encontrado por Peano.
Definición
Intuitivamente, una curva en dos o tres (o más) dimensiones se puede considerar como la trayectoria de un punto en movimiento continuo. Para eliminar la vaguedad inherente a esta noción, Jordan introdujo en 1887 la siguiente definición rigurosa, que desde entonces ha sido adoptada como la descripción precisa de la noción de curva :
En la forma más general, el rango de dicha función puede encontrarse en un espacio topológico arbitrario , pero en los casos más comúnmente estudiados, el rango estará en un espacio euclidiano como el plano bidimensional (una curva plana ) o el Espacio tridimensional ( curva espacial ).
A veces, la curva se identifica con la imagen de la función (el conjunto de todos los valores posibles de la función), en lugar de la función en sí. También es posible definir curvas sin puntos finales para que sean una función continua en la línea real (o en el intervalo de unidad abierto (0, 1) ).
Historia
En 1890, Peano descubrió una curva continua, ahora llamada curva de Peano , que pasa por todos los puntos del cuadrado unitario ( Peano (1890) ). Su propósito era construir un mapeo continuo desde el intervalo unitario hasta el cuadrado unitario . Peano fue motivado por el resultado contraintuitivo anterior de Georg Cantor de que el número infinito de puntos en un intervalo unitario es la misma cardinalidad que el número infinito de puntos en cualquier variedad de dimensión finita , como el cuadrado unitario. El problema que resolvió Peano fue si tal mapeo podría ser continuo; es decir, una curva que llena un espacio. La solución de Peano no establece una correspondencia continua uno a uno entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario y, de hecho, tal correspondencia no existe (ver "Propiedades" a continuación).
Era común asociar las vagas nociones de delgadez y unidimensionalidad a las curvas; todas las curvas encontradas normalmente eran diferenciables por partes (es decir, tienen derivadas continuas por partes), y tales curvas no pueden llenar todo el cuadrado unitario. Por lo tanto, se descubrió que la curva de llenado de espacio de Peano era muy contradictoria.
A partir del ejemplo de Peano, fue fácil deducir curvas continuas cuyos rangos contenían el hipercubo n- dimensional (para cualquier número entero positivo n ). También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas continuas sin puntos finales, que llenaban todo el espacio euclidiano n- dimensional (donde n es 2, 3 o cualquier otro número entero positivo).
La mayoría de las curvas de llenado de espacio conocidas se construyen iterativamente como el límite de una secuencia de curvas continuas lineales por partes , cada una de las cuales se aproxima más al límite de llenado de espacio.
El innovador artículo de Peano no contenía ilustraciones de su construcción, que se define en términos de expansiones ternarias y un operador de espejo . Pero la construcción gráfica le fue perfectamente clara: hizo un mosaico ornamental que mostraba una imagen de la curva en su casa de Turín. El artículo de Peano también termina observando que la técnica puede extenderse obviamente a otras bases extrañas además de la base 3. Su elección de evitar cualquier apelación a la visualización gráfica fue, sin duda, motivada por el deseo de una prueba bien fundada y completamente rigurosa que no debiera nada. a las imágenes. En ese momento (el comienzo de la fundación de la topología general), los argumentos gráficos todavía se incluían en las pruebas, pero se estaban convirtiendo en un obstáculo para la comprensión de resultados a menudo contradictorios.
Un año después, David Hilbert publicó en la misma revista una variación de la construcción de Peano ( Hilbert 1891 ). El artículo de Hilbert fue el primero en incluir una imagen que ayuda a visualizar la técnica de construcción, esencialmente la misma que se ilustra aquí. Sin embargo, la forma analítica de la curva de Hilbert es más complicada que la de Peano.
Esquema de la construcción de una curva que llena el espacio.
Dejar denotar el espacio de Cantor .
Empezamos con una función continua del espacio Cantor en todo el intervalo de la unidad . (La restricción de la función de Cantor al conjunto de Cantor es un ejemplo de tal función). A partir de ella, obtenemos una función continua del producto topológico en todo el cuadrado de la unidad configurando
Dado que el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto, hay una biyección continua desde el Cantor en . La composición de y es una función continua que mapea el conjunto de Cantor en todo el cuadrado de la unidad. (Alternativamente, podríamos usar el teorema de que cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor para obtener la función.)
Finalmente, uno puede extender a una función continua cuyo dominio es el intervalo unitario completo . Esto se puede hacer utilizando el teorema de extensión de Tietze en cada uno de los componentes de, o simplemente extendiendo "linealmente" (es decir, en cada uno de los intervalos abiertos eliminados en la construcción del conjunto de Cantor, definimos la parte de extensión de en ser el segmento de línea dentro del cuadrado unitario que une los valores y ).
Propiedades
Si una curva no es inyectiva, entonces se pueden encontrar dos subcurvas de la curva que se cruzan , cada una obtenida al considerar las imágenes de dos segmentos disjuntos del dominio de la curva (el segmento de la línea unitaria). Las dos subcurvas se cruzan si la intersección de las dos imágenes no está vacía . Uno podría tener la tentación de pensar que el significado de las curvas que se cruzan es que necesariamente se cruzan entre sí, como el punto de intersección de dos líneas no paralelas, de un lado al otro. Sin embargo, dos curvas (o dos subcurvas de una curva) pueden contactarse entre sí sin cruzarse, como, por ejemplo, lo hace una línea tangente a un círculo.
Una curva continua que no se interseca automáticamente no puede llenar el cuadrado unitario porque eso hará que la curva sea un homeomorfismo desde el intervalo unitario al cuadrado unitario (cualquier biyección continua desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo). Pero un cuadrado unitario no tiene un punto de corte , por lo que no puede ser homeomorfo al intervalo unitario, en el que todos los puntos excepto los extremos son puntos de corte. Existen curvas no auto-intersectantes de área distinta de cero, las curvas de Osgood , pero no llenan el espacio.
Para las clásicas curvas de llenado de espacio de Peano y Hilbert, donde dos subcurvas se cruzan (en el sentido técnico), hay autocontacto sin autocruzamiento. Una curva de llenado de espacio puede ser (en todas partes) autocruzada si sus curvas de aproximación se autocruzan. Las aproximaciones de una curva que llena el espacio pueden evitarse automáticamente, como lo ilustran las figuras anteriores. En 3 dimensiones, las curvas de aproximación que se evitan automáticamente pueden contener incluso nudos . Las curvas de aproximación permanecen dentro de una porción acotada del espacio n -dimensional, pero sus longitudes aumentan sin límite.
Las curvas que llenan el espacio son casos especiales de curvas fractales . No puede existir una curva de llenado de espacio diferenciable. En términos generales, la diferenciación limita la velocidad a la que puede girar la curva.
El teorema de Hahn-Mazurkiewicz
El teorema de Hahn - Mazurkiewicz es la siguiente caracterización de espacios que son la imagen continua de curvas:
- A no vacío Hausdorff espacio topológico es una imagen continua de la unidad de intervalo si y sólo si es un compacto, conectado , conectado localmente , espacio segundo-contable .
Los espacios que son la imagen continua de un intervalo unitario a veces se denominan espacios de Peano .
En muchas formulaciones del teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el segundo contable se reemplaza por metrizable . Estas dos formulaciones son equivalentes. En una dirección, un espacio compacto de Hausdorff es un espacio normal y, según el teorema de metrización de Urysohn , el segundo contable implica entonces metrizable. Por el contrario, un espacio métrico compacto es contable en segundo lugar.
Grupos kleinianos
Hay muchos ejemplos naturales de curvas de relleno de espacio, o más bien de relleno de esfera, en la teoría de grupos kleinianos doblemente degenerados . Por ejemplo, Cannon y Thurston (2007) mostraron que el círculo en el infinito de la cobertura universal de una fibra de un toro cartográfico de un mapa pseudo-Anosov es una curva de relleno de esfera. (Aquí la esfera es la esfera en el infinito del 3-espacio hiperbólico ).
Integración
Wiener señaló en The Fourier Integral y en algunas de sus aplicaciones que las curvas de llenado de espacio podrían usarse para reducir la integración de Lebesgue en dimensiones superiores a la integración de Lebesgue en una dimensión.
Ver también
- Curva de dragón
- Curva de Gosper
- Curva de Hilbert
- Curva de Koch
- Curva de Moore
- Polígono de Murray
- Curva de Sierpiński
- Árbol que llena el espacio
- Índice espacial
- Árbol R de Hilbert
- B x -árbol
- Orden Z (curva) (orden de Morton)
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
Referencias
- Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], "Group invariant Peano curves", Geometry & Topology , 11 (3): 1315-1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN 1465-3060 , MR 2326947
- Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück" , Mathematische Annalen (en alemán), 38 (3): 459–460, doi : 10.1007 / BF01199431 , S2CID 123643081
- Mandelbrot, BB (1982), "Capítulo 7: Aprovechamiento de las curvas del monstruo de Peano", La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman.
- McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, remolinos y frenesí: familias básicas de curvas Peano en la cuadrícula cuadrada", en Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (eds.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , Asociación Matemática de América , págs. 49-73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
- Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane" , Mathematische Annalen (en francés), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007 / BF01199438 , S2CID 179177780.
- Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533.
enlaces externos
- Curvas multidimensionales que llenan el espacio
- Prueba de la existencia de una biyección en el corte del nudo.
Subprogramas de Java:
- Curvas de llenado de Peano Plane al cortar el nudo
- Curvas de llenado plano de Hilbert y Moore en el corte del nudo
- Todas las curvas de llenado de Peano Plane en el corte del nudo