Un triángulo rectángulo especial es un triángulo rectángulo con alguna característica regular que facilita los cálculos sobre el triángulo , o para el que existen fórmulas simples. Por ejemplo, un triángulo rectángulo puede tener ángulos que formen relaciones simples, como 45 ° –45 ° –90 °. Esto se llama triángulo rectángulo "basado en ángulos". Un triángulo rectángulo "basado en lados" es uno en el que las longitudes de los lados forman proporciones de números enteros , como 3: 4: 5, o de otros números especiales como la proporción áurea . Conocer las relaciones de los ángulos o las proporciones de los lados de estos triángulos rectángulos especiales permite calcular rápidamente varias longitudes en formas geométricas. problemas sin recurrir a métodos más avanzados.
Basado en ángulos
Los triángulos rectángulos especiales "basados en ángulos" se especifican por las relaciones de los ángulos que componen el triángulo. Los ángulos de estos triángulos son tales que el ángulo más grande (recto), que es de 90 grados oπ/2 radianes , es igual a la suma de los otros dos ángulos.
Las longitudes de los lados se deducen generalmente de la base del círculo unitario u otros métodos geométricos . Este enfoque se puede utilizar para reproducir rápidamente los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 °, 45 ° y 60 °.
Se utilizan triángulos especiales para ayudar a calcular funciones trigonométricas comunes, como se muestra a continuación:
grados | radianes | gons | vueltas | pecado | porque | broncearse | cotan |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 ° | 0 | 0 g | 0 | √ 0/2 = 0 | √ 4/2 = 1 | 0 | indefinido |
30 ° | π/6 | 33+1/3gramo | 1/12 | √ 1/2 = 1/2 | √ 3/2 | 1/√ 3 | √ 3 |
45 ° | π/4 | 50 g | 1/8 | √ 2/2 = 1/√ 2 | √ 2/2 = 1/√ 2 | 1 | 1 |
60 ° | π/3 | 66+2/3gramo | 1/6 | √ 3/2 | √ 1/2 = 1/2 | √ 3 | 1/√ 3 |
90 ° | π/2 | 100 g | 1/4 | √ 4/2 = 1 | √ 0/2 = 0 | indefinido | 0 |
El triángulo de 45 ° -45 ° -90 °, el triángulo de 30 ° -60 ° -90 ° y el triángulo equilátero / equiangular (60 ° -60 ° -60 °) son los tres triángulos de Möbius en el plano, lo que significa que teselar el plano mediante reflejos en sus lados; ver grupo Triángulo .
Triángulo de 45 ° -45 ° -90 °
En geometría plana , la construcción de la diagonal de un cuadrado da como resultado un triángulo cuyos tres ángulos están en la proporción 1: 1: 2, sumando 180 ° o π radianes. Por lo tanto, los ángulos miden respectivamente 45 ° ( π/4), 45 ° ( π/4) y 90 ° ( π/2). Los lados de este triángulo están en la proporción 1: 1: √ 2 , que se deriva inmediatamente del teorema de Pitágoras .
De todos los triángulos rectángulos, el triángulo de 45 ° –45 ° –90 ° grados tiene la relación más pequeña entre la hipotenusa y la suma de los catetos, a saber √ 2/2. [1] : p.282, p.358 y la mayor proporción de la altitud desde la hipotenusa a la suma de los catetos, a saber √ 2/4. [1] : p . 282
Los triángulos con estos ángulos son los únicos triángulos rectángulos posibles que también son triángulos isósceles en la geometría euclidiana . Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica , hay infinitas formas diferentes de triángulos isósceles rectos.
Triángulo de 30 ° –60 ° –90 °
Este es un triángulo cuyos tres ángulos están en la proporción 1: 2: 3 y miden respectivamente 30 ° ( π/6), 60 ° ( π/3) y 90 ° ( π/2). Los lados están en la proporción 1: √ 3 : 2.
La prueba de este hecho es clara mediante la trigonometría . La prueba geométrica es:
- Dibuja un triángulo equilátero ABC con un lado de longitud 2 y con el punto D como el punto medio del segmento BC . Dibuje una línea de altitud de una a D . Entonces ABD es un triángulo de 30 ° –60 ° –90 ° con hipotenusa de longitud 2 y base BD de longitud 1.
- El hecho de que el cateto restante AD tenga una longitud √ 3 se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras .
El triángulo 30 ° –60 ° –90 ° es el único triángulo rectángulo cuyos ángulos están en progresión aritmética . La prueba de este hecho es simple y se deriva del hecho de que si α , α + δ , α + 2 δ son los ángulos en la progresión, entonces la suma de los ángulos 3 α + 3 δ = 180 °. Después de dividir por 3, el ángulo α + δ debe ser de 60 °. El ángulo recto es de 90 °, dejando el ángulo restante de 30 °.
Basado en lado
Los triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras , con los lados conocidos colectivamente como triples pitagóricos , poseen ángulos que no pueden ser todos números racionales de grados . [2] (Esto se sigue del teorema de Niven .) Son más útiles porque pueden recordarse fácilmente y cualquier múltiplo de los lados produce la misma relación. Usando la fórmula de Euclides para generar triples pitagóricos, los lados deben estar en la proporción
- m 2 - n 2 : 2 mn : m 2 + n 2
donde m y n son los números enteros positivos tales que m > n .
Triples pitagóricos comunes
Hay varios triples pitagóricos que son bien conocidos, incluidos los que tienen lados en las proporciones:
3: 4 : 5 5: 12 : 13 8: 15 : 17 7: 24 : 25 9: 40 : 41
Los triángulos 3: 4: 5 son los únicos triángulos rectángulos con aristas en progresión aritmética . Los triángulos basados en triples pitagóricos son heronianos , lo que significa que tienen un área entera y lados enteros.
El posible uso del triángulo 3: 4: 5 en el Antiguo Egipto , con el supuesto uso de una cuerda anudada para trazar dicho triángulo, y la cuestión de si el teorema de Pitágoras era conocido en ese momento, ha sido muy debatido. [3] Fue conjeturado por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882. [3] Se sabe que los ángulos rectos se trazaron con precisión en el Antiguo Egipto; que sus topógrafos usaban cuerdas para medir; [3] que Plutarco registró en Isis y Osiris (alrededor del año 100 d. C.) que los egipcios admiraban el triángulo 3: 4: 5; [3] y que el Papiro de Berlín 6619 del Reino Medio de Egipto (antes de 1700 a. C.) declaraba que "el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El lado de uno es ½ + ¼ del lado de el otro." [4] El historiador de las matemáticas Roger L. Cooke observa que "es difícil imaginar a alguien interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras". [3] En contra de esto, Cooke señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a. C. en realidad menciona el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triángulo, y que hay formas más simples de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta: supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero que "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos". [3]
Las siguientes son todas las proporciones triples pitagóricas expresadas en la forma más baja (más allá de las cinco más pequeñas en la forma más baja en la lista anterior) con ambos lados no hipotenusos menores que 256:
11: 60 : 61 12: 35 : 37 13: 84 : 85 15: 112 : 113 dieciséis: 63 :sesenta y cinco 17: 144 : 145 19: 180 : 181 20: 21 : 29 20: 99 : 101 21: 220 : 221
24: | 143 | : 145 | |
---|---|---|---|
28: | 45 | : 53 | |
28: | 195 | : 197 | |
32: | 255 | : 257 | |
33: | 56 | :sesenta y cinco | |
36: | 77 | : 85 | |
39: | 80 | : 89 | |
44: | 117 | : 125 | |
48: | 55 | : 73 | |
51: | 140 | : 149 |
52: | 165 | : 173 | |
---|---|---|---|
57: | 176 | : 185 | |
60: | 91 | : 109 | |
60: | 221 | : 229 | |
sesenta y cinco: | 72 | : 97 | |
84: | 187 | : 205 | |
85: | 132 | : 157 | |
88: | 105 | : 137 | |
95: | 168 | : 193 | |
96: | 247 | : 265 |
104: | 153 | : 185 |
---|---|---|
105: | 208 | : 233 |
115: | 252 | : 277 |
119: | 120 | : 169 |
120: | 209 | : 241 |
133: | 156 | : 205 |
140: | 171 | : 221 |
160: | 231 | : 281 |
161: | 240 | : 289 |
204: | 253 | : 325 |
207: | 224 | : 305 |
Triples pitagóricas casi isósceles
Los triángulos rectángulos isósceles no pueden tener lados con valores enteros, porque la razón de la hipotenusa a cualquier otro lado es √ 2 y √ 2 no se puede expresar como una razón de dos números enteros . Sin embargo, existen infinitos triángulos rectángulos casi isósceles . Estos son triángulos rectángulos con lados enteros para los cuales las longitudes de los bordes que no son de hipotenusa difieren en uno. [5] [6] Estos triángulos rectángulos casi isósceles se pueden obtener de forma recursiva,
- a 0 = 1, b 0 = 2
- una n = 2 b n -1 + un n -1
- b n = 2 a n + b n -1
a n es la longitud de la hipotenusa, n = 1, 2, 3, .... Equivalentemente,
donde { x , y } son soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 2 y 2 = −1 , siendo la hipotenusa y los términos impares de los números de Pell 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378 ... (secuencia A000129 en la OEIS ) .. Las triples pitagóricas más pequeñas resultantes son: [7]
3: 4 : 5 20: 21 : 29 119: 120 : 169 696: 697 : 985 4.059: 4.060 : 5.741 23,660: 23.661 : 33,461 137.903: 137,904 : 195.025 803,760: 803,761 : 1,136,689 4.684.659: 4.684.660 : 6,625,109
Alternativamente, los mismos triángulos se pueden derivar de los números triangulares cuadrados . [8]
Progresiones aritméticas y geométricas
El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica . Si los lados se forman a partir de la progresión geométrica a , ar , ar 2, entonces su razón común r viene dada por r = √ φ donde φ es la razón áurea . Por lo tanto, sus lados están en la proporción 1: √ φ : φ . Por lo tanto, la forma del triángulo de Kepler está determinada de forma única (hasta un factor de escala) por el requisito de que sus lados estén en progresión geométrica.
El triángulo 3–4–5 es el triángulo rectángulo único (hasta la escala) cuyos lados están en progresión aritmética . [9]
Lados de polígonos regulares
Sea a = 2 pecado π/10 = −1 + √ 5/2 = 1/φser la longitud del lado de un decágono regular inscrito en el círculo unitario, donde φ es la proporción áurea. Sea b = 2 pecado π/6= 1 sea la longitud del lado de un hexágono regular en el círculo unitario, y sea c = 2 sin π/5 = ser la longitud del lado de un pentágono regular en el círculo unitario. Entonces a 2 + b 2 = c 2 , entonces estas tres longitudes forman los lados de un triángulo rectángulo. [10] El mismo triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo . También se puede encontrar dentro de un icosaedro regular de longitud de lado c : el segmento de línea más corto desde cualquier vértice V al plano de sus cinco vecinos tiene la longitud a , y los puntos extremos de este segmento de línea junto con cualquiera de los vecinos de V forman el vértices de un triángulo rectángulo con lados un , b , y c . [11]
Ver también
- Triángulo entero
- Espiral de Theodorus
Referencias
- ↑ a b Posamentier, Alfred S. y Lehman, Ingmar. Los secretos de los triángulos . Libros de Prometeo, 2012.
- ^ Weisstein, Eric W. "Triángulo racional" . MathWorld .
- ^ a b c d e f Cooke, Roger L. (2011). La Historia de las Matemáticas: Un Curso Breve (2ª ed.). John Wiley e hijos. págs. 237-238. ISBN 978-1-118-03024-0.
- ^ Gillings, Richard J. (1982). Matemáticas en la época de los faraones . Dover. pag. 161 .
- ^ Olvídate, TW; Larkin, TA (1968), "Tríadas pitagóricas de la forma x , x + 1, z descritas por secuencias de recurrencia" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94-104.
- ^ Chen, CC; Peng, TA (1995), "Triángulos rectángulos casi isósceles" (PDF) , The Australasian Journal of Combinatorics , 11 : 263-267, MR 1327342.
- ^ (secuencia A001652 en la OEIS )
- ^ Nyblom, MA (1998), "Una nota sobre el conjunto de triángulos rectángulos casi isósceles" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR 1640364.
- ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, ER (1997), "Triángulos aritméticos", Revista de matemáticas , 70 (2): 105-115, doi : 10.2307 / 2691431 , MR 1448883.
- ^ Elementos de Euclides , Libro XIII, Proposición 10 .
- ^ nLab: identidad del hexágono del decágono del pentágono .
enlaces externos
- Triángulo 3: 4: 5
- 30–60–90 triángulo
- Triángulo 45–45–90 - con animaciones interactivas