En el procesamiento estadístico de señales , el objetivo de la estimación de densidad espectral ( SDE ) es estimar la densidad espectral (también conocida como densidad espectral de potencia ) de una señal aleatoria a partir de una secuencia de muestras de tiempo de la señal. [1] Hablando intuitivamente, la densidad espectral caracteriza el contenido de frecuencia de la señal. Uno de los propósitos de estimar la densidad espectral es detectar cualquier periodicidad en los datos, mediante la observación de picos en las frecuencias correspondientes a estas periodicidades.
Algunas técnicas de SDE asumen que una señal está compuesta por un número limitado (generalmente pequeño) de frecuencias generadoras más ruido y buscan encontrar la ubicación e intensidad de las frecuencias generadas. Otros no hacen suposiciones sobre el número de componentes y buscan estimar todo el espectro de generación.
Descripción general
El análisis de espectro , también conocido como análisis en el dominio de la frecuencia o estimación de la densidad espectral, es el proceso técnico de descomponer una señal compleja en partes más simples. Como se describió anteriormente, muchos procesos físicos se describen mejor como una suma de muchos componentes de frecuencia individuales. Cualquier proceso que cuantifique las diversas cantidades (por ejemplo, amplitudes, potencias, intensidades) frente a la frecuencia (o fase ) puede denominarse análisis de espectro .
El análisis de espectro se puede realizar en toda la señal. Alternativamente, una señal se puede dividir en segmentos cortos (a veces llamados cuadros ) y se puede aplicar el análisis de espectro a estos segmentos individuales. Funciones periódicas (como) son especialmente adecuados para esta subdivisión. Las técnicas matemáticas generales para analizar funciones no periódicas entran en la categoría de análisis de Fourier .
La transformada de Fourier de una función produce un espectro de frecuencia que contiene toda la información sobre la señal original, pero en una forma diferente. Esto significa que la función original se puede reconstruir ( sintetizar ) completamente mediante una transformada de Fourier inversa . Para una reconstrucción perfecta, el analizador de espectro debe preservar tanto la amplitud como la fase de cada componente de frecuencia. Estas dos piezas de información se pueden representar como un vector bidimensional, como un número complejo o como magnitud (amplitud) y fase en coordenadas polares (es decir, como un fasor ). Una técnica común en el procesamiento de señales es considerar la amplitud o potencia al cuadrado ; en este caso, el gráfico resultante se denomina espectro de potencia .
Debido a la reversibilidad, la transformada de Fourier se denomina representación de la función, en términos de frecuencia en lugar de tiempo; por tanto, es una representación en el dominio de la frecuencia . Las operaciones lineales que podrían realizarse en el dominio del tiempo tienen contrapartes que a menudo se pueden realizar más fácilmente en el dominio de la frecuencia. El análisis de frecuencia también simplifica la comprensión e interpretación de los efectos de varias operaciones en el dominio del tiempo, tanto lineales como no lineales. Por ejemplo, solo las operaciones no lineales o variantes en el tiempo pueden crear nuevas frecuencias en el espectro de frecuencias.
En la práctica, casi todo el software y los dispositivos electrónicos que generan espectros de frecuencia utilizan una transformada discreta de Fourier (DFT), que opera en muestras de la señal y que proporciona una aproximación matemática a la solución integral completa. La DFT se implementa casi invariablemente mediante un algoritmo eficiente llamado transformada rápida de Fourier (FFT). Los componentes de magnitud cuadrada de una DFT son un tipo de espectro de potencia llamado periodograma , que se usa ampliamente para examinar las características de frecuencia de funciones libres de ruido, como las respuestas de impulso de filtro y las funciones de ventana. Pero el periodograma no proporciona ganancia de procesamiento cuando se aplica a señales similares a ruido o incluso sinusoides con relaciones bajas de señal a ruido. En otras palabras, la varianza de su estimación espectral a una frecuencia determinada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. Esto se puede mitigar promediando a lo largo del tiempo ( método de Welch [2] ) o sobre frecuencia ( suavizado ). El método de Welch se usa ampliamente para la estimación de densidad espectral (SDE). Sin embargo, las técnicas basadas en periodograma introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. Por tanto, en la siguiente sección se presentan otras alternativas.
Técnicas
Se han desarrollado muchas otras técnicas de estimación espectral para mitigar las desventajas del periodograma básico. Estas técnicas generalmente se pueden dividir en métodos paramétricos y no paramétricos . Los enfoques no paramétricos estiman explícitamente la covarianza o el espectro del proceso sin asumir que el proceso tiene una estructura particular. Algunos de los estimadores más comunes que se utilizan para aplicaciones básicas (por ejemplo, el método de Welch ) son estimadores no paramétricos estrechamente relacionados con el periodograma. Por el contrario, los enfoques paramétricos asumen que el proceso estocástico estacionario subyacente tiene una cierta estructura que puede describirse utilizando una pequeña cantidad de parámetros (por ejemplo, utilizando un modelo de media móvil o autorregresivo ). En estos enfoques, la tarea es estimar los parámetros del modelo que describe el proceso estocástico.
A continuación se muestra una lista parcial de técnicas de estimación de densidad espectral no paramétricas:
- Periodograma , el módulo al cuadrado de la transformada discreta de Fourier
- El método de Bartlett es el promedio de los periodogramas tomados de múltiples segmentos de la señal para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral.
- El método de Welch una versión en ventana del método de Bartlett que usa segmentos superpuestos
- Multitaper es un método basado en periodograma que utiliza múltiples ahusamientos, o ventanas, para formar estimaciones independientes de la densidad espectral para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral.
- Análisis espectral de mínimos cuadrados , basado en mínimos cuadrados ajustados a frecuencias conocidas
- La transformada discreta de Fourier no uniforme se usa cuando las muestras de señal están espaciadas de manera desigual en el tiempo
- El análisis de espectro singular es un método no paramétrico que utiliza una descomposición de valor singular de la matriz de covarianza para estimar la densidad espectral
- Transformada de Fourier de corta duración
- El filtro crítico es un método no paramétrico basado en la teoría del campo de información que puede lidiar con el ruido, los datos incompletos y las funciones de respuesta instrumental.
A continuación se muestra una lista parcial de técnicas paramétricas:
- Modelo autorregresivo (AR) de estimación, que asume que la n ésima muestra se correlaciona con los anteriores p muestras.
- De media móvil modelo (MA) de estimación, que asume que la n ésima muestra se correlaciona con los términos de ruido en los últimos p muestras.
- Estimación de media móvil autorregresiva (ARMA), que generaliza los modelos AR y MA.
- La clasificación múltiple de señales (MUSIC) es un método popular de superresolución .
- La estimación espectral de entropía máxima es un método de todos los polos útil para SDE cuando se esperan características espectrales singulares, como picos agudos.
Estimación paramétrica
En la estimación espectral paramétrica, se supone que la señal se modela mediante un proceso estacionario que tiene una función de densidad espectral (SDF) eso es una función de la frecuencia y parámetros . [3] El problema de la estimación se convierte entonces en uno de estimar estos parámetros.
La forma más común de estimación SDF paramétrica utiliza como modelo un modelo autorregresivo de orden . [3] : 392 A secuencia de señales obedeciendo una media cero el proceso satisface la ecuación
donde el son coeficientes fijos y es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza de innovación . El SDF para este proceso es
con el intervalo de tiempo de muestreo y la frecuencia de Nyquist .
Hay varios enfoques para estimar los parámetros. de El proceso y por lo tanto la densidad espectral: [3] : 452-453
- Los estimadores de Yule-Walker se encuentran resolviendo recursivamente las ecuaciones de Yule-Walker para un proceso
- Los estimadores de Burg se encuentran tratando las ecuaciones de Yule-Walker como una forma de problema de mínimos cuadrados ordinarios. Los estimadores de Burg generalmente se consideran superiores a los estimadores de Yule-Walker. [3] : 452 Burg los asoció con la estimación espectral de entropía máxima . [4]
- Los estimadores de mínimos cuadrados hacia adelante y hacia atrás tratan elproceso como un problema de regresión y resuelve ese problema utilizando el método hacia adelante y hacia atrás. Son competitivos con los estimadores Burg.
- Los estimadores de máxima verosimilitud estiman los parámetros utilizando un enfoque de máxima verosimilitud . Esto implica una optimización no lineal y es más complejo que los tres primeros.
Los métodos paramétricos alternativos incluyen el ajuste a un modelo de promedio móvil (MA) y a un modelo de promedio móvil autorregresivo completo (ARMA).
Estimación de frecuencia
La estimación de frecuencia es el proceso de estimar los componentes de frecuencia complejos de una señal en presencia de ruido dados los supuestos sobre el número de componentes. [5] Esto contrasta con los métodos generales anteriores, que no hacen suposiciones previas sobre los componentes.
Tono único
Si solo se desea estimar la frecuencia más alta, se puede usar un algoritmo de detección de tono . Si la frecuencia dominante cambia con el tiempo, entonces el problema se convierte en la estimación de la frecuencia instantánea tal como se define en la representación tiempo-frecuencia . Los métodos para la estimación de frecuencia instantánea incluyen aquellos basados en la distribución de Wigner-Ville y funciones de ambigüedad de orden superior . [6]
Si se desea conocer todos los componentes de frecuencia (posiblemente complejos) de una señal recibida (incluida la señal transmitida y el ruido), se utiliza un enfoque de tonos múltiples.
Múltiples tonos
Un modelo típico para una señal. consiste en una suma de exponenciales complejos en presencia de ruido blanco ,
- .
La densidad espectral de potencia de está compuesto por funciones de impulso además de la función de densidad espectral debido al ruido.
Los métodos más comunes para la estimación de frecuencias implican identificar el subespacio de ruido para extraer estos componentes. Estos métodos se basan en la descomposición propia de la matriz de autocorrelación en un subespacio de señal y un subespacio de ruido. Una vez identificados estos subespacios, se utiliza una función de estimación de frecuencia para encontrar las frecuencias componentes del subespacio de ruido. Los métodos más populares de estimación de frecuencia basado subespacio de ruido son el método de Pisarenko , la clasificación múltiple señal de método (música), el método de vector propio, y el método de norma mínima.
- El método de Pisarenko
- MÚSICA
- ,
- Método de vector propio
- Método de norma mínima
Cálculo de ejemplo
Suponer , de a es una serie de tiempo (tiempo discreto) con media cero. Supongamos que es una suma de un número finito de componentes periódicos (todas las frecuencias son positivas):
La varianza de es, para una función de media cero como la anterior, dada por
Si estos datos fueran muestras tomadas de una señal eléctrica, esta sería su potencia promedio (la potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que es análoga a la varianza si la energía es análoga a la amplitud al cuadrado).
Ahora, por simplicidad, suponga que la señal se extiende infinitamente en el tiempo, por lo que pasamos al límite como Si la potencia media está acotada, que es casi siempre el caso en la realidad, entonces existe el siguiente límite y es la varianza de los datos.
Nuevamente, por simplicidad, pasaremos al tiempo continuo y asumiremos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo en ambas direcciones. Entonces estas dos fórmulas se vuelven
y
La raíz cuadrada media de es , entonces la varianza de es Por tanto, la contribución a la potencia media de procedente del componente con frecuencia es Todas estas contribuciones se suman a la potencia media de
Entonces la potencia en función de la frecuencia es y su función de distribución estadística acumulada estarán
es una función escalonada , monótonamente no decreciente. Sus saltos ocurren en las frecuencias de los componentes periódicos de, y el valor de cada salto es la potencia o varianza de ese componente.
La varianza es la covarianza de los datos consigo misma. Si ahora consideramos los mismos datos pero con un retraso de, podemos tomar la covarianza de con , y defina esto como la función de autocorrelación de la señal (o datos) :
Si existe, es una función par de Si la potencia media está acotada, entonces existe en todas partes, es finito y está limitado por que es la potencia media o la varianza de los datos.
Se puede demostrar que se puede descomponer en componentes periódicos con los mismos períodos que :
Esta es de hecho la descomposición espectral de sobre las diferentes frecuencias, y está relacionado con la distribución de potencia de sobre las frecuencias: la amplitud de un componente de frecuencia de es su contribución a la potencia media de la señal.
El espectro de potencia de este ejemplo no es continuo y, por lo tanto, no tiene una derivada y, por lo tanto, esta señal no tiene una función de densidad espectral de potencia. En general, el espectro de potencia suele ser la suma de dos partes: un espectro de línea como en este ejemplo, que no es continuo y no tiene una función de densidad, y un residuo, que es absolutamente continuo y tiene una función de densidad. .
Ver también
- Periodograma
- SigSpec
- Espectrograma
- Análisis de frecuencia de tiempo
- Representación de frecuencia de tiempo
- Probabilidad pequeña
- Distribución de energía espectral
Referencias
- ^ P Stoica y R Moses, Análisis espectral de señales, Prentice Hall, 2005.
- ^ Welch, PD (1967), "El uso de la transformada rápida de Fourier para la estimación de espectros de potencia: un método basado en promediar el tiempo sobre periodogramas cortos y modificados", Transacciones IEEE sobre audio y electroacústica , AU-15 (2): 70 –73, doi : 10.1109 / TAU.1967.1161901
- ^ a b c d Percival, Donald B .; Walden, Andrew T. (1992). Análisis espectral para aplicaciones físicas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521435413.
- ^ Burg, JP (1967) "Análisis espectral de máxima entropía", Actas de la 37ª reunión de la Sociedad de geofísicos de exploración , Oklahoma City, Oklahoma.
- ^ Hayes, Monson H., Procesamiento y modelado estadístico de señales digitales , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 .
- ^ Lerga, Jonatan. "Descripción general de los métodos de estimación de la frecuencia instantánea de la señal" (PDF) . Universidad de Rijeka . Consultado el 22 de marzo de 2014 .
Otras lecturas
- Porat, B. (1994). Procesamiento digital de señales aleatorias: teoría y métodos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2.
- Priestley, MB (1991). Análisis espectral y series de tiempo . Prensa académica. ISBN 978-0-12-564922-3.
- Stoica, P .; Moisés, R. (2005). Análisis espectral de señales . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5.
- Thomson, DJ (1982). "Estimación de espectro y análisis armónico". Actas del IEEE . 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109 / PROC.1982.12433 .