Método espectral

Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales , lo que potencialmente implica el uso de la transformada rápida de Fourier . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas " funciones básicas " (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de sinusoides ) y luego elegir los coeficientes en la suma para satisfacer el diferencial ecuación lo mejor posible.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales usan funciones de base que son distintas de cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos usan funciones de base que son distintas de cero solo en subdominios pequeños. En otras palabras, los métodos espectrales adoptan un enfoque global, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan un enfoque local . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es fluida . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral de dominio único tridimensional (las ondas de choque no son suaves). ^[1] En la comunidad de elementos finitos, un método en el que el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que el parámetro de cuadrícula h disminuye a cero a veces se denomina método de elementos espectrales .

Los métodos espectrales se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y problemas de valores propios que involucran ecuaciones diferenciales. Cuando se aplican métodos espectrales a PDE dependientes del tiempo, la solución se escribe típicamente como una suma de funciones base con coeficientes dependientes del tiempo; al sustituir esto en el PDE se obtiene un sistema de EDO en los coeficientes que se pueden resolver utilizando cualquier método numérico para EDO . Los problemas de valores propios para las EDO se convierten de manera similar en problemas de valores propios de la matriz ^{[ cita requerida ]} .

Los métodos espectrales fueron desarrollados en una larga serie de artículos por Steven Orszag a partir de 1969 que incluyen, entre otros, métodos de series de Fourier para problemas de geometría periódica, métodos espectrales polinomiales para problemas de geometría finitos e ilimitados, métodos pseudoespectrales para problemas altamente no lineales y espectrales. métodos de iteración para la solución rápida de problemas de estado estacionario. La implementación del método espectral normalmente se logra con la colocación o con un enfoque de Galerkin o Tau .

Los métodos espectrales son computacionalmente menos costosos que los métodos de elementos finitos, pero se vuelven menos precisos para problemas con geometrías complejas y coeficientes discontinuos. Este aumento del error es consecuencia del fenómeno de Gibbs .

Ejemplos de métodos espectrales

Un ejemplo lineal y concreto

Aquí suponemos una comprensión del cálculo multivariado básico y las series de Fourier . Si${\displaystyle g(x,y)}$ es una función conocida de valor complejo de dos variables reales, y g es periódica en xey (es decir, ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$) entonces estamos interesados ​​en encontrar una función f (x, y) para que

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$

donde la expresión de la izquierda denota las segundas derivadas parciales de f en xey, respectivamente. Esta es la ecuación de Poisson y se puede interpretar físicamente como algún tipo de problema de conducción de calor, o un problema en la teoría del potencial, entre otras posibilidades.

Si escribimos fyg en series de Fourier:

${\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

${\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

y sustituir en la ecuación diferencial, obtenemos esta ecuación:

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

Hemos intercambiado la diferenciación parcial con una suma infinita, lo cual es legítimo si asumimos, por ejemplo, que f tiene una segunda derivada continua. Por el teorema de unicidad para las expansiones de Fourier, entonces debemos igualar los coeficientes de Fourier término por término, dando

(*) ${\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}}$

que es una fórmula explícita para los coeficientes de Fourier a _{j , k} .

Con condiciones de contorno periódicas, la ecuación de Poisson posee una solución solo si b _{0 , 0} = 0 . Por tanto, podemos elegir libremente un _{0 , 0} que será igual a la media de la resolución. Esto corresponde a elegir la constante de integración.

Para convertir esto en un algoritmo, solo se resuelven un número finito de frecuencias. Esto introduce un error que puede demostrarse que es proporcional a${\displaystyle h^{n}}$, dónde ${\displaystyle h:=1/n}$ y ${\displaystyle n}$ es la frecuencia más alta tratada.

Algoritmo

1. Calcule la transformada de Fourier ( b _{j, k} ) de g .
2. Calcule la transformada de Fourier ( a _{j, k} ) de f mediante la fórmula (*).
3. Calcule f tomando una transformada de Fourier inversa de ( a _{j, k} ).

Dado que solo estamos interesados ​​en una ventana finita de frecuencias (de tamaño n , digamos), esto se puede hacer usando un algoritmo de transformada rápida de Fourier . Por lo tanto, globalmente el algoritmo se ejecuta en el tiempo O ( n log n ).

Ejemplo no lineal

Deseamos resolver la ecuación de Burgers forzada, transitoria y no lineal utilizando un enfoque espectral.

Dado ${\displaystyle u(x,0)}$ en el dominio periódico ${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$, encontrar ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ tal que

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

donde ρ es el coeficiente de viscosidad . En forma conservadora débil esto se convierte en

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

dónde ${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx}$siguiendo la notación interna del producto . Integración por partes y uso de subvenciones de periodicidad

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

Para aplicar el método de Fourier- Galerkin , elija ambos

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\right\}}$

dónde ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$. Esto reduce el problema a encontrar${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$ tal que

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Usando la relación de ortogonalidad${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ dónde ${\displaystyle \delta _{lk}}$es el delta de Kronecker , simplificamos los tres términos anteriores para cada${\displaystyle k}$ para ver

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}\right)\left(\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

Reúna los tres términos para cada ${\displaystyle k}$ para obtener

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Dividiendo por ${\displaystyle 2\pi }$, finalmente llegamos a

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Con condiciones iniciales transformadas de Fourier ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ y forzando ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$, este sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias puede integrarse en el tiempo (usando, por ejemplo, una técnica de Runge Kutta ) para encontrar una solución. El término no lineal es una convolución y existen varias técnicas basadas en transformadas para evaluarlo de manera eficiente. Véanse las referencias de Boyd y Canuto et al. para más detalles.

Una relación con el método del elemento espectral.

Uno puede demostrar que si ${\displaystyle g}$es infinitamente diferenciable, entonces el algoritmo numérico que usa Transformadas Rápidas de Fourier convergerá más rápido que cualquier polinomio en el tamaño de cuadrícula h. Es decir, para cualquier n> 0, hay un${\displaystyle C_{n}<\infty }$ tal que el error sea menor que ${\displaystyle C_{n}h^{n}}$ para todos los valores suficientemente pequeños de ${\displaystyle h}$. Decimos que el método espectral es de orden${\displaystyle n}$, por cada n> 0.

Debido a que un método de elementos espectrales es un método de elementos finitos de muy alto orden, existe una similitud en las propiedades de convergencia. Sin embargo, mientras que el método espectral se basa en la descomposición propia del problema de valor de frontera particular, el método de elementos finitos no usa esa información y funciona para problemas de valores de frontera elípticos arbitrarios .

Ver también

• Método de elementos finitos
• Cuadrícula gaussiana
• Método pseudo-espectral
• Método del elemento espectral
• Método Galerkin
• Método de colocación

Referencias

1. pp 235, Métodos espectrales : evolución a geometrías complejas y aplicaciones a la dinámica de fluidos, por Canuto, Hussaini, Quarteroni y Zang, Springer, 2007.

• Bengt Fornberg (1996) Una guía práctica de métodos pseudospectrales. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido
• Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier por John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A. y Zang TA (2006) Métodos espectrales. Fundamentos en dominios individuales. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo: un método de elementos espectrales para las ecuaciones de Navier-Stokes con precisión mejorada
• Aproximación polinomial de ecuaciones diferenciales , por Daniele Funaro, Lecture Notes in Physics, Volumen 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb y S. Orzag (1977) "Análisis numérico de métodos espectrales: teoría y aplicaciones", SIAM, Filadelfia, PA
• J. Hesthaven, S. Gottlieb y D. Gottlieb (2007) "Métodos espectrales para problemas dependientes del tiempo", Cambridge UP, Cambridge, Reino Unido
• Steven A. Orszag (1969) Métodos numéricos para la simulación de turbulencias , Phys. Suplemento de fluidos II, 12, 250–257
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.7. Métodos espectrales" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Jie Shen, Tao Tang y Li-Lian Wang (2011) "Métodos espectrales: algoritmos, análisis y aplicaciones" (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN  354071040X
• Lloyd N. Trefethen (2000) Métodos espectrales en MATLAB. SIAM, Filadelfia, PA