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Una proyección en perspectiva bidimensional de una esfera.

Una esfera (del griego σφαῖρα - sphaira , "globo, bola" [1] ) es un objeto geométrico en un espacio tridimensional que es la superficie de una bola (es decir, análoga a los objetos circulares en dos dimensiones, donde un " el círculo "circunscribe su " disco " ).

Como un círculo en un espacio bidimensional, una esfera se define matemáticamente como el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia r de un punto dado en un espacio tridimensional. [2] Esta distancia r es el radio de la bola, que se compone de todos los puntos con una distancia menor que (o, para una bola cerrada, menor o igual a ) r desde el punto dado, que es el centrode la pelota matemática. Estos también se conocen como el radio y el centro de la esfera, respectivamente. El segmento de línea recta más largo a través de la bola, que conecta dos puntos de la esfera, pasa por el centro y su longitud es, por tanto, el doble del radio; es un diámetro tanto de la esfera como de su bola.

Mientras que fuera de las matemáticas los términos "esfera" y "bola" a veces se usan indistintamente, en matemáticas la distinción anterior se hace entre una esfera , que es una superficie cerrada bidimensional incrustada en un espacio euclidiano tridimensional , y una bola , que es una forma tridimensional que incluye la esfera y todo lo que está dentro de la esfera (una bola cerrada ) o, más a menudo, solo los puntos dentro , pero no en la esfera (una bola abierta ). La distinción entre pelota y esferano siempre se ha mantenido y sobre todo las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. Esto es análogo a la situación en el plano , donde los términos "círculo" y "disco" también pueden confundirse.

Ecuaciones en el espacio tridimensional [ editar ]

Dos radios ortogonales de una esfera

En geometría analítica , una esfera con centro ( x 0 , y 0 , z 0 ) y radio r es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

Sean a, b, c, d, e números reales con a ≠ 0 y ponga

Entonces la ecuación

no tiene puntos reales como soluciones si y se llama ecuación de una esfera imaginaria . Si , la única solución de es el punto y se dice que la ecuación es la ecuación de una esfera puntual . Finalmente, en el caso , es una ecuación de una esfera cuyo centro es y cuyo radio es . [2]

Si a en la ecuación anterior es cero, entonces f ( x , y , z ) = 0 es la ecuación de un plano. Por tanto, se puede pensar en un plano como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito . [3]

Los puntos de la esfera con radio y centro se pueden parametrizar mediante

[4]

El parámetro se puede asociar con el ángulo contado positivo desde la dirección del eje z positivo a través del centro hasta el radio-vector, y el parámetro se puede asociar con el ángulo contado positivo desde la dirección del eje x positivo a través del centro a la proyección del radio-vector en el plano xy .

Una esfera de cualquier radio centrada en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial :

Esta ecuación refleja que los vectores de posición y velocidad de un punto ( x , y , z ) y ( dx , dy , dz ) que viajan sobre la esfera son siempre ortogonales entre sí.

También se puede construir una esfera como la superficie formada al girar un círculo alrededor de cualquiera de sus diámetros . Dado que un círculo es un tipo especial de elipse , una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución . Reemplazando el círculo con una elipse girada alrededor de su eje mayor , la forma se convierte en un esferoide alargado ; girado alrededor del eje menor, un esferoide achatado. [5]

Volumen cerrado[ editar ]

Esfera y cilindro circunscrito

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una bola , pero clásicamente referido como el volumen de una esfera) es

donde r es el radio yd es el diámetro de la esfera. Arquímedes primero derivó esta fórmula mostrando que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). [6] Esto puede demostrarse inscribiendo un cono al revés en una semiesfera, notando que el área de una sección transversal del cono más el área de una sección transversal de la esfera es la misma que el área de la sección transversal de el cilindro circunscriptor y aplicando el principio de Cavalieri . [7] Esta fórmula también se puede derivar mediante cálculo integral., Es decir, la integración de disco para resumir los volúmenes de un número infinito de circulares discos de infinitesimalmente pequeño lado espesor apilados a lado y centrada a lo largo de la x eje x de x = - r a x = r , suponiendo que la esfera de radio r está centrada en el origen.

En cualquier x dado , el volumen incremental ( δV ) es igual al producto del área de la sección transversal del disco en x y su espesor ( δx ):

El volumen total es la suma de todos los volúmenes incrementales:

En el límite cuando δx se acerca a cero, [8] esta ecuación se convierte en:

En un momento dado x , un ángulo recto conecta triángulo x , y y r al origen; por lo tanto, aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

El uso de esta sustitución da

que se puede evaluar para dar el resultado

Se encuentra una fórmula alternativa usando coordenadas esféricas , con elemento de volumen

asi que

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar al 52,4% del volumen del cubo, ya que V =π/6 d 3 , donde d es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo yπ/6 ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1  m tiene el 52,4% del volumen de un cubo con una longitud de borde de 1  m, o aproximadamente 0,524 m 3 .

Área de superficie[ editar ]

El área de la superficie de una esfera de radio r es:

Arquímedes primero derivó esta fórmula [9] del hecho de que la proyección a la superficie lateral de un cilindro circunscrito preserva el área. [10] Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula para el volumen con respecto a r porque el volumen total dentro de una esfera de radio r se puede considerar como la suma del área de superficie de un número infinito de conchas esféricas de espesor infinitesimal apiladas concéntricamente una dentro de la otra desde el radio 0 hasta el radio r. Con un espesor infinitesimal, la discrepancia entre el área de la superficie interna y externa de cualquier capa dada es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio r es simplemente el producto del área de la superficie en el radio ry el espesor infinitesimal.

En cualquier radio r dado , [nota 1] el volumen incremental ( δV ) es igual al producto del área de la superficie en el radio r ( A ( r ) ) y el espesor de un caparazón ( δr ):

El volumen total es la suma de todos los volúmenes de la carcasa:

En el límite cuando δr se acerca a cero [8], esta ecuación se convierte en:

Sustituir V :

Al diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto a r, se obtiene A en función de r :

Esto generalmente se abrevia como:

donde ahora se considera que r es el radio fijo de la esfera.

Alternativamente, el elemento de área en la esfera está dado en coordenadas esféricas por dA = r 2 sin θ dθ dφ . En coordenadas cartesianas , el elemento de área es [ cita requerida ]

Por tanto, el área total se puede obtener mediante integración :

La esfera tiene el área de superficie más pequeña de todas las superficies que encierran un volumen dado, y encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área de superficie dada. [11] Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área de la superficie.

El área de superficie relativa a la masa de una bola se llama área de superficie específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones establecidas anteriormente como

donde ρ es la densidad (la relación entre masa y volumen).

Curvas en una esfera [ editar ]

Sección plana de una esfera: 1 círculo
Intersección coaxial de una esfera y un cilindro: 2 círculos

Círculos [ editar ]

  • La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o un vacío.

En el caso de un círculo, el círculo se puede describir mediante una ecuación paramétrica : consulte la sección plana de un elipsoide .

Pero superficies más complicadas también pueden intersecar una esfera en círculos:

  • Una intersección no vacía de una esfera con una superficie de revolución , cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales ) consta de círculos y / o puntos.

El diagrama muestra el caso, donde la intersección de un cilindro y una esfera consta de dos círculos. Si el radio del cilindro fuera igual al radio de la esfera, la intersección sería un círculo, donde ambas superficies son tangentes.

En el caso de un esferoide con el mismo centro y eje mayor que la esfera, la intersección consistiría en dos puntos (vértices), donde las superficies son tangentes.

Curvas de Clelia [ editar ]

espiral esférica con

Si la esfera se describe mediante una representación paramétrica

se obtienen curvas de Clelia , si los ángulos están conectados por la ecuación

Los casos especiales son: la curva de Viviani ( ) y espirales esféricas ( ), como la espiral de Seiffert .

Loxodrome [ editar ]

Loxodrome

En navegación , una línea de rumbo o loxódromo es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo. Una línea de rumbo no es una espiral esférica. No existe una conexión simple entre los ángulos y .

Intersección de una esfera con una superficie más general [ editar ]

Esfera-cilindro de intersección general

Si una esfera se cruza con otra superficie, puede haber curvas esféricas más complicadas.

Ejemplo
esfera - cilindro

La intersección de la esfera con la ecuación y el cilindro con la ecuación no es solo uno o dos círculos. Es la solución del sistema de ecuaciones no lineal.

(ver curva implícita y diagrama)

Propiedades geométricas [ editar ]

Una esfera está determinada de forma única por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada únicamente por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. [12] Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede ver que dos esferas se cruzan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama el plano radical de las esferas que se cruzan. [13] Aunque el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen un punto real en común) o constar de un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto). [14]

El ángulo entre dos esferas en un punto real de intersección es el ángulo diedro determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se cruzan en el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. [15] Se cruzan en ángulos rectos (son ortogonales ) si y solo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios. [3]

Lápiz de esferas [ editar ]

Si f ( x , y , z ) = 0 y g ( x , y , z ) = 0 son las ecuaciones de dos esferas distintas, entonces

también es la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros de s y t . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se llama lápiz de esferas determinadas por las dos esferas originales. En esta definición, una esfera puede ser un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planos, entonces todas las esferas del lápiz son planos; de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en el lápiz. [3]

Terminología [ editar ]

Secciones de plano [ editar ]

Un gran círculo en la esfera tiene el mismo centro y radio que la esfera, por lo que se divide en dos partes iguales. Las secciones planas de una esfera se denominan secciones esféricas, que son círculos grandes para los planos que pasan por el centro de la esfera o círculos pequeños para todos los demás. [dieciséis]

Cualquier plano que incluya el centro de una esfera la divide en dos hemisferios iguales . Cualquiera de los dos planos que se cortan, que incluyen el centro de una esfera subdividen la esfera en cuatro lunes o biangles, los vértices de los cuales coinciden con los puntos antípodas se extiende sobre la línea de intersección de los planos.

Ramas de geometría [ editar ]

Distancia no euclidiana [ editar ]

Cualquier par de puntos en una esfera que se encuentran en una línea recta a través del centro de la esfera (es decir, el diámetro) se llaman puntos antípodas; en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia. [nota 2] Cualquier otro par (es decir, no antípoda) de puntos distintos en una esfera

  • yace en un gran círculo único,
  • segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y uno mayor (es decir, más largo) , y
  • haga que la longitud del arco menor sea la distancia más corta entre ellos en la esfera. [nota 3]

La geometría esférica [nota 4] comparte muchas propiedades análogas a la euclidiana una vez equipada con esta " distancia de círculo máximo ".

Geometría diferencial [ editar ]

Y una generalización mucho más abstracta de la geometría también usa el mismo concepto de distancia en el círculo de Riemann .

Se conjetura que el hemisferio es el relleno isométrico óptimo (área mínima) del círculo de Riemann.

Geometría proyectiva [ editar ]

El cociente antípoda de la esfera es la superficie llamada plano proyectivo real , que también se puede considerar como el hemisferio norte con los puntos antípodas del ecuador identificados.

Geografía [ editar ]

Los términos tomados directamente de la geografía de la Tierra , a pesar de que su forma esferoidal tiene mayores o menores desviaciones de una esfera perfecta (ver geoide ), se comprenden ampliamente. En geometría no relacionada con cuerpos astronómicos, la terminología geocéntrica debe usarse solo para ilustración y anotarse como tal, a menos que no haya posibilidad de malentendidos.

Polos, longitud y latitudes [ editar ]

Si un punto particular de una esfera se designa (arbitrariamente) como su polo norte , su punto antípoda se llama polo sur . El gran círculo equidistante a cada uno es entonces el ecuador . Los grandes círculos a través de los polos se denominan líneas de longitud (o meridianos ). Una línea no en la esfera sino a través de su centro que conecta los dos polos puede llamarse eje de rotación . Los círculos de la esfera que son paralelos (es decir, no grandes círculos) al ecuador son líneas de latitud .

Generalizaciones [ editar ]

Dimensionalidad [ editar ]

Las esferas se pueden generalizar a espacios de cualquier número de dimensiones . Para cualquier número natural n , una " n -esfera", a menudo escrita como S n , es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano ( n + 1 ) dimensional que están a una distancia fija r de un punto central de ese espacio, donde r es, como antes, un número real positivo. En particular:

  • S 0 : una esfera 0 es un par de puntos finales de un intervalo [- r , r ] de la línea real
  • S 1 : una 1-esfera es un círculo de radio r
  • S 2 : una 2-esfera es una esfera ordinaria
  • S 3 : una 3-esfera es una esfera en un espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Las esferas para n > 2 a veces se denominan hiperesferas .

La n -esfera de unidad de radio centrada en el origen se denota S n y a menudo se la denomina "la" n -esfera. Tenga en cuenta que la esfera ordinaria es una esfera de 2, porque es una superficie de 2 dimensiones (que está incrustada en un espacio de 3 dimensiones).

El área de la superficie de la unidad ( n -1 ) -esfera es

donde Γ ( z ) es la función gamma de Euler .

Otra expresión para el área de la superficie es

y el volumen es el área de la superficie veces r/norte o

También existen fórmulas recursivas generales para el volumen de una bola n .

Espacios métricos [ editar ]

De manera más general, en un espacio métrico ( E , d ) , la esfera de centro x y radio r > 0 es el conjunto de puntos y tales que d ( x , y ) = r .

Si el centro es un punto distinguido que se considera el origen de E , como en un espacio normado , no se menciona en la definición y notación. Lo mismo se aplica al radio si se considera igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria .

A diferencia de una bola , incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en Z n con métrica euclidiana , una esfera de radio r no está vacía solo si r 2 se puede escribir como suma de n cuadrados de números enteros .

Topología [ editar ]

En topología , una n -esfera se define como un espacio homeomórfico hasta el límite de una ( n + 1) -ball ; por lo tanto, es homeomórfico para la n- esfera euclidiana , pero quizás carece de su métrica .

  • Una esfera 0 es un par de puntos con topología discreta .
  • Una 1-esfera es un círculo ( hasta el homeomorfismo); así, por ejemplo, (la imagen de) cualquier nudo es una esfera.
  • Una 2-esfera es una esfera ordinaria (hasta el homeomorfismo); así, por ejemplo, cualquier esferoide es una esfera de 2.

La n -esfera se denota S n . Es un ejemplo de una variedad topológica compacta sin límite . Una esfera no necesita ser lisa ; si es suave, no tiene por qué ser difeomórfico a la esfera euclidiana (una esfera exótica ).

El teorema de Heine-Borel implica que una n- esfera euclidiana es compacta. La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua || x || . Por tanto, la esfera está cerrada. S n también está acotado; por tanto, es compacto.

Sorprendentemente, es posible darle la vuelta a una esfera ordinaria en un espacio tridimensional con posibles auto-intersecciones pero sin crear ningún pliegue, en un proceso llamado eversión de esfera .

Geometría esférica [ editar ]

Gran círculo en una esfera

Los elementos básicos de la geometría del plano euclidiano son los puntos y las líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica , que es un gran círculo ; la característica definitoria de un gran círculo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. La medición por longitud de arco muestra que el camino más corto entre dos puntos que se encuentran en la esfera es el segmento más corto del gran círculo que incluye los puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos porque la esfera no satisface algunos de los postulados de la geometría clásica , incluido el postulado paralelo . En trigonometría esférica , los ángulos se definen entre círculos máximos. La trigonometría esférica se diferencia de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre excede los 180 grados. Además, dos triángulos esféricos similares son congruentes.

Once propiedades de la esfera [ editar ]

Un vector normal a una esfera, un plano normal y su sección normal. La curvatura de la curva de intersección es la curvatura seccional. Para la esfera, cada sección normal a través de un punto dado será un círculo del mismo radio: el radio de la esfera. Esto significa que cada punto de la esfera será un punto umbilical.

En su libro Geometry and the Imagination , [17] David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y discuten si estas propiedades determinan de forma única la esfera. Varias propiedades son válidas para el plano , que se puede considerar como una esfera con un radio infinito. Estas propiedades son:

  1. Los puntos de la esfera están todos a la misma distancia de un punto fijo. Además, la razón de la distancia de sus puntos a dos puntos fijos es constante.
    La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina de forma única. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar de Apolonio de Perge para el círculo . Esta segunda parte también es válida para el avión .
  2. Los contornos y las secciones planas de la esfera son círculos.
    Esta propiedad define la esfera de forma única.
  3. La esfera tiene un ancho constante y una circunferencia constante.
    El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelos. Numerosas otras superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, por ejemplo, el cuerpo de Meissner . La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal sobre un plano. Cada una de estas propiedades implica la otra.
  4. Todos los puntos de una esfera son umbilicos .
    En cualquier punto de una superficie, una dirección normal es perpendicular a la superficie porque la esfera son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva que se llama sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, las diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estos se denominan curvaturas principales . Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales . En un umbilico todas las curvaturas seccionales son iguales; en particular las principales curvaturasson iguales. Los puntos umbilicales se pueden considerar como los puntos donde la superficie se aproxima mucho a una esfera.
    Para la esfera, las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbilical. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.
  5. La esfera no tiene una superficie de centros.
    Para una sección normal dada, existe un círculo de curvatura que es igual a la curvatura de la sección, es tangente a la superficie y cuyas líneas centrales se encuentran a lo largo de la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas seccionales máxima y mínima se denominan puntos focales , y el conjunto de todos esos centros forma la superficie focal .
    Para la mayoría de las superficies, la superficie focal forma dos láminas que son cada una una superficie y se encuentran en puntos umbilicales. Varios casos son especiales:
    * Para superficies de canal, una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie
    * Para conos , cilindros, tori y ciclides, ambas hojas forman curvas.
    * Para la esfera, el centro de cada círculo osculador está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Esta propiedad es exclusiva de la esfera.
  6. Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.
    Las geodésicas son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son una generalización del concepto de línea recta en el plano. Para la esfera, las geodésicas son grandes círculos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.
  7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es la que tiene el área de superficie más pequeña; de todos los sólidos que tienen un área de superficie determinada, la esfera es la que tiene el mayor volumen.
    Se sigue de la desigualdad isoperimétrica . Estas propiedades definen la esfera de forma única y se pueden ver en las pompas de jabón : una pompa de jabón encerrará un volumen fijo y la tensión superficial minimiza su área de superficie para ese volumen. Por lo tanto, una burbuja de jabón que flota libremente se aproxima a una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionarán ligeramente la forma de la burbuja). También se puede ver en planetas y estrellas donde la gravedad minimiza el área de superficie de los grandes cuerpos celestes.
  8. La esfera tiene la curvatura media total más pequeña entre todos los sólidos convexos con un área de superficie determinada.
    La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.
  9. La esfera tiene una curvatura media constante.
    La esfera es la única superficie incrustada que carece de límites o singularidades con curvatura media positiva constante. Otras superficies sumergidas como las superficies mínimas tienen una curvatura media constante.
  10. La esfera tiene una curvatura gaussiana positiva constante.
    La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo la longitud y los ángulos y es independiente de cómo se incrusta la superficie en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no alterará la curvatura gaussiana, y se pueden obtener otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante cortando una pequeña hendidura en la esfera y doblándola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de un límite con curvatura gaussiana positiva constante. La pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.
  11. La esfera se transforma en sí misma mediante una familia de tres parámetros de movimientos rígidos.
    Al girar alrededor de cualquier eje, una esfera unitaria en el origen mapeará la esfera sobre sí misma. Cualquier rotación alrededor de una línea que pasa por el origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor del eje de tres coordenadas (ver ángulos de Euler ). Por lo tanto, existe una familia de rotaciones de tres parámetros tal que cada rotación transforma la esfera sobre sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO (3) . El avión es la única otra superficie con una familia de tres parámetros de transformaciones (traducciones a lo largo de la x - y y -axes y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de dos parámetros de movimientos rígidos y las superficies de revolución y helicoides. son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Galería [ editar ]

  • Una imagen de una de las esferas más precisas hechas por humanos, ya que refracta la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera era un giroscopio de cuarzo fundido para el experimento Gravity Probe B , y difiere en forma de una esfera perfecta en no más de 40 átomos (menos de 10 nm) de espesor. El 1 de julio de 2008 se anunció que los científicos australianos habían creado esferas aún más perfectas, con una precisión de 0,3 nm, como parte de una búsqueda internacional para encontrar un nuevo kilogramo estándar mundial . [18]  

  • Baraja de naipes ilustrando instrumentos de ingeniería, Inglaterra, 1702. Rey de espadas : Esferas

Regiones [ editar ]

  • Casquete esférico
  • Polígono esférico
  • Sector esférico
  • Segmento esférico
  • Cuña esférica
  • Zona esférica

Ver también [ editar ]

  • 3 esferas
  • Esfera afín
  • Esfera con cuernos de Alejandro
  • Esferas celestes
  • Cubo
  • Curvatura
  • Estadísticas direccionales
  • Cúpula (matemáticas)
  • Esfera Dyson
  • Mano con esfera reflectante , dibujo de autorretrato de MC Escher que ilustra la reflexión y las propiedades ópticas de una esfera de espejo
  • Esfera Hoberman
  • Esfera de homología
  • Grupos de esferas de homotopía
  • Esfera de homotopía
  • Hiperesfera
  • Esfera de Lenart
  • Problema del anillo de servilleta
  • Orb (óptica)
  • Pseudoesfera
  • Esfera de Riemann
  • Ángulo sólido
  • Embalaje de esfera
  • Coordenadas esféricas
  • Tierra esférica
  • Hélice esférica, indicatriz tangente de una curva de precesión constante
  • Concha esférica
  • Esfericidad
  • Teorema de la pelota de tenis
  • Esfera Zoll

Notas y referencias [ editar ]

Notas [ editar ]

  1. ^ r se considera una variable en este cálculo.
  2. ^ No importa qué dirección se elija, la distancia es el radio de la esfera × π .
  3. ^ La distancia entre dos puntos no distintos (es decir, un punto y él mismo) en la esfera es cero.
  4. ^ A pesar de no ser plana, una esfera es bidimensional ya que comprende solo la superficie de una bola sólida.

Referencias [ editar ]

  1. ^ σφαῖρα , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo.
  2. ↑ a b Albert , 2016 , p. 54.
  3. ↑ a b c Woods , 1961 , pág. 266.
  4. ^ Kreyszig (1972 , p. 342).
  5. Albert , 2016 , p. 60.
  6. Steinhaus , 1969 , p. 223.
  7. ^ "El volumen de una esfera - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Consultado el 10 de junio de 2019 .
  8. ^ a b E.J. Borowski; JM Borwein. Diccionario Collins de Matemáticas . págs. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Esfera" . MathWorld .
  10. Steinhaus , 1969 , p. 221.
  11. ^ Osserman, Robert (1978). "La desigualdad isoperimétrica" . Boletín de la American Mathematical Society . 84 : 1187 . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
  12. Albert , 2016 , p. 55.
  13. Albert , 2016 , p. 57.
  14. Woods , 1961 , p. 267.
  15. Albert , 2016 , p. 58.
  16. ^ Weisstein, Eric W. "Sección esférica" . MathWorld .
  17. ^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). La geometría y la imaginación (2ª ed.). Chelsea. ISBN 978-0-8284-1087-8.
  18. ^ Nuevo científico | Tecnología Se crean los objetos más redondos del mundo .

Lectura adicional [ editar ]

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica sólida , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
  • Dunham, William (1997). El universo matemático: un viaje alfabético a través de las grandes pruebas, problemas y personalidades . Wiley . Nueva York. pp.  28 , 226. bibcode : 1994muaa.book ..... D . ISBN 978-0-471-17661-9.
  • Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
  • Steinhaus, H. (1969), Instantáneas matemáticas (Tercera edición estadounidense), Oxford University Press.
  • Woods, Frederick S. (1961) [1922], Geometría superior / Introducción a métodos avanzados en geometría analítica , Dover.

Enlaces externos [ editar ]

  • Mathematica / Distribución esférica uniforme
  • Superficie de prueba de esfera