Esfera

Una esfera (del griego σφαῖρα - sphaira , "globo, bola" ^[1] ) es un objeto geométrico en un espacio tridimensional que es la superficie de una bola . Como un círculo en un espacio bidimensional, una esfera se define matemáticamente como el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia r de un punto dado en un espacio tridimensional. ^[2] Esta distancia r es el radio de la bola, que se compone de todos los puntos con una distancia menor que (o, para una bola cerrada, menor o igual a ) rdesde el punto dado, que es el centro de la bola matemática. Estos también se conocen como el radio y el centro de la esfera, respectivamente. El segmento de línea recta más largo a través de la bola, que conecta dos puntos de la esfera, pasa por el centro y su longitud es, por tanto, el doble del radio; es un diámetro tanto de la esfera como de su bola.

Mientras que fuera de las matemáticas los términos "esfera" y "bola" a veces se usan indistintamente, en matemáticas la distinción anterior se hace entre una esfera , que es una superficie cerrada bidimensional incrustada en un espacio euclidiano tridimensional , y una bola , que es una forma tridimensional que incluye la esfera y todo lo que está dentro de la esfera (una bola cerrada ), o, más a menudo, solo los puntos dentro, pero no en la esfera (una bola abierta ). La distinción entre pelota y esfera.No siempre se ha mantenido y sobre todo las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. Esto es análogo a la situación en el plano , donde los términos "círculo" y "disco" también pueden confundirse.

En geometría analítica , una esfera con centro ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) y radio r es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

no tiene puntos reales como soluciones si y se llama ecuación de una esfera imaginaria . Si , la única solución de es el punto y se dice que la ecuación es la ecuación de una esfera puntual . Finalmente, en el caso , es una ecuación de una esfera cuyo centro es y cuyo radio es . ^[2]${\ Displaystyle \ rho <0}$${\ Displaystyle \ rho = 0}$${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0}$${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$${\ Displaystyle \ rho> 0}$${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0}$${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ rho}}}$

Si a en la ecuación anterior es cero, entonces f ( x , y , z ) = 0 es la ecuación de un plano. Por tanto, se puede pensar en un plano como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito . ^[3]

Los puntos de la esfera con radio y centro se pueden parametrizar mediante${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Dos radios ortogonales de una esfera

Esfera y cilindro circunscrito

Gran círculo en una esfera

Sección plana de una esfera: 1 círculo

Intersección coaxial de una esfera y un cilindro: 2 círculos

Loxodrome

espiral esférica con ${\ Displaystyle c = 8}$

Esfera-cilindro de intersección general

Un vector normal a una esfera, un plano normal y su sección normal. La curvatura de la curva de intersección es la curvatura seccional. Para la esfera, cada sección normal a través de un punto dado será un círculo del mismo radio: el radio de la esfera. Esto significa que cada punto de la esfera será un punto umbilical.