La descomposición espinodal ocurre cuando una fase termodinámica espontáneamente (es decir, sin nucleación ) se separa en dos fases. [1] La descomposición ocurre en ausencia de nucleación porque ciertas fluctuaciones en el sistema reducen la energía libre. Como resultado, el cambio de fase se produce de inmediato. No hay que esperar, como suele ocurrir cuando hay una barrera de nucleación.
La descomposición espinodal se observa, por ejemplo, cuando mezclas de metales o polímeros se separan en dos fases coexistentes, cada una rica en una especie y pobre en la otra. [2]
Cuando las dos fases emergen en una proporción aproximadamente igual (cada una ocupando aproximadamente el mismo volumen o área), forman estructuras entrelazadas características que gradualmente se vuelven más gruesas - vea la animación en esta página. La dinámica de la descomposición espinodal se modela comúnmente usando la ecuación de Cahn-Hilliard .
La descomposición espinodal es fundamentalmente diferente de la nucleación y el crecimiento. Cuando existe una barrera de nucleación para la formación de una segunda fase, el sistema necesita tiempo para superar esa barrera. Como no existe una barrera (por definición) para la descomposición espinodal, algunas fluctuaciones (en el parámetro de orden que caracteriza la fase) comienzan a crecer instantáneamente. Además, en la descomposición espinodal las fluctuaciones comienzan a crecer en todas partes, uniformemente en todo el volumen, mientras que se forma una fase nucleada en un número discreto de puntos.
La descomposición espinodal ocurre cuando una fase homogénea se vuelve termodinámicamente inestable. Una fase inestable se encuentra en un máximo de energía libre . Por el contrario, la nucleación y el crecimiento se producen cuando una fase homogénea se vuelve metaestable . Es decir, otra nueva fase se vuelve más baja en energía libre, pero la fase homogénea permanece en un mínimo local en energía libre y, por lo tanto, es resistente a pequeñas fluctuaciones. J. Willard Gibbs describió dos criterios para una fase metaestable: que debe permanecer estable frente a un pequeño cambio en un área grande y que debe permanecer estable frente a un gran cambio en un área pequeña. [3]
Modelo de Cahn-Hilliard para la descomposición espinodal
Las energías libres en presencia de pequeñas fluctuaciones de amplitud, por ejemplo, en la concentración, pueden evaluarse utilizando una aproximación introducida por Ginzburg y Landau para describir gradientes de campo magnético en superconductores. Este enfoque permite aproximar la energía libre como una expansión en términos del gradiente de concentración.. Este es un vector y, como la energía libre es un escalar, la energía libre no puede tener un término proporcional a en él, por lo que el término de orden más bajo es cuadrático, es - un escalar. Aquí es un parámetro que controla el costo de energía libre de variaciones en la concentración .
La energía libre de Cahn-Hilliard es entonces
dónde es la energía libre aparente por unidad de volumen de la solución homogénea, y la integral es sobre el volumen del sistema.
Ahora queremos estudiar la estabilidad del sistema con respecto a pequeñas fluctuaciones en la concentración. , por ejemplo una onda sinusoidal de amplitud y wavevector , por la longitud de onda de la onda de concentración. Para ser termodinámicamente estable, la energía libre cambia debido a cualquier pequeña fluctuación de concentración de amplitud , debe ser positivo.
Podemos expandirnos sobre la composición media c o de la siguiente manera:
- y por la perturbación el cambio de energía libre es
- cuando esto se integra sobre el volumen , la da cero, mientras que y integrar para dar . Entonces, entonces [4]
Como , la estabilidad termodinámica requiere que el término entre paréntesis sea positivo. Laes siempre positivo pero tiende a cero en vectores de onda pequeños, longitudes de onda grandes. Dado que estamos interesados en las fluctuaciones macroscópicas,, la estabilidad requiere que la segunda derivada de la energía libre sea positiva. Cuando lo es, no hay descomposición espinodal, pero cuando es negativo, ocurrirá descomposición espinodal. Luego fluctuaciones con vectores de onda se vuelven espontáneamente inestables, donde el número de onda crítica es dado por:
- que corresponde a fluctuaciones por encima de una longitud de onda crítica
Dinámica de la descomposición espinodal cuando las moléculas se mueven por difusión.
La descomposición espinodal se puede modelar utilizando una ecuación de difusión generalizada
por el potencial químico y la movilidad. Como señala Cahn, esta ecuación puede considerarse como una definición fenomenológica de la movilidad M, que por definición debe ser positiva. [8] Consiste en la relación entre el flujo y el gradiente local en el potencial químico. El potencial químico es una variación de la energía libre y cuando esta es la energía libre de Cahn-Hilliard es [5]
y entonces
y ahora queremos ver qué sucede con una pequeña fluctuación de concentración - tenga en cuenta que ahora tiene dependencia del tiempo como dependencia del vector de onda. Aquíes una tasa de crecimiento. Sientonces la perturbación se reduce a nada, el sistema es estable con respecto a pequeñas perturbaciones o fluctuaciones y no hay descomposición espinodal. Sin embargo, si luego la perturbación crece y el sistema es inestable con respecto a pequeñas perturbaciones o fluctuaciones: hay descomposición espinodal.
Sustituyendo en esta fluctuación de concentración, obtenemos
Esto da las mismas expresiones para la estabilidad que arriba, pero también da una expresión para la tasa de crecimiento de las perturbaciones de concentración.
que tiene un máximo en un vector de onda
Entonces, al menos al comienzo de la descomposición espinodal, esperamos que las concentraciones crecientes tengan principalmente este vector de onda.
Diagrama de fases
Este tipo de transformación de fase se conoce como descomposición espinodal y se puede ilustrar en un diagrama de fase que muestra una brecha de miscibilidad. Por tanto, la separación de fases se produce siempre que un material pasa a la región inestable del diagrama de fases. El límite de la región inestable, a veces denominada curva binodal o de coexistencia, se encuentra realizando una construcción tangente común del diagrama de energía libre. Dentro del binodal hay una región llamada espinodal, que se encuentra determinando dónde la curvatura de la curva de energía libre es negativa. El binodal y el espinodal se encuentran en el punto crítico. Es cuando un material se mueve a la región espinodal del diagrama de fase que puede ocurrir la descomposición espinodal. [9]
La curva de energía libre se representa en función de la composición para una temperatura por debajo de la temperatura convoluta, T. Las composiciones de la fase de equilibrio son las correspondientes a los mínimos de energía libre. Las regiones de curvatura negativa (∂ 2 f / ∂c 2 <0) se encuentran dentro de los puntos de inflexión de la curva (∂ 2 f / ∂c 2 = 0) que se denominan espinodos. Su lugar en función de la temperatura define la curva espinodal. Para las composiciones dentro del espinodal, una solución homogénea es inestable frente a fluctuaciones infinitesimales en la densidad o composición, y no existe una barrera termodinámica para el crecimiento de una nueva fase. Por tanto, el espinodal representa el límite de la estabilidad física y química.
Para alcanzar la región espinodal del diagrama de fase, una transición debe llevar el material a través de la región binodal o el punto crítico. A menudo, la separación de fases se producirá mediante nucleación durante esta transición y no se observará descomposición espinodal. Para observar la descomposición espinodal , se requiere una transición muy rápida, a menudo llamada extinción , para pasar de la región estable a la región espinodal inestable del diagrama de fase.
En algunos sistemas, la ordenación del material conduce a una inestabilidad de la composición y esto se conoce como espinodal condicional , por ejemplo, en los feldespatos . [10] [11] [12] [13] [14]
Cepas de coherencia
Para la mayoría de las soluciones sólidas cristalinas, existe una variación del parámetro de red con la composición. Si la celosía de tal solución ha de permanecer coherente en presencia de una modulación de la composición, se debe realizar un trabajo mecánico para deformar la estructura rígida de la celosía. El mantenimiento de la coherencia afecta, por tanto, a la fuerza impulsora de la difusión. [8] [15] [16] [17]
Considere un sólido cristalino que contiene una modulación de composición unidimensional a lo largo de la dirección x. Calculamos la energía de deformación elástica para un cristal cúbico estimando el trabajo requerido para deformar una rodaja de material de modo que pueda agregarse de manera coherente a una losa existente de área de sección transversal. Supondremos que la modulación de la composición es a lo largo de la dirección x 'y, como se indica, se utilizará un número primo para distinguir los ejes de referencia de los ejes estándar de un sistema cúbico (es decir, a lo largo del <100>). [6]
Deje que el espaciado de celosía en el plano de la losa sea una o y la del corte no deformado a . Si el corte debe ser coherente después de la adición de la losa, debe someterse a una deformación ε en las direcciones z ' e y' que viene dada por:
En el primer paso, el corte se deforma hidrostáticamente para producir las deformaciones requeridas en las direcciones z ' e y' . Usamos la compresibilidad lineal de un sistema cúbico 1 / (c 11 + 2 c 12 ) donde las c son las constantes elásticas. Por tanto, las tensiones necesarias para producir una deformación hidrostática de δ vienen dadas por:
El trabajo elástico por unidad de volumen viene dado por:
donde las ε son las cepas. Por tanto, el trabajo realizado por unidad de volumen de la rodaja durante el primer paso viene dado por:
En el segundo paso, los lados del corte paralelos a la dirección x 'se sujetan y la tensión en esta dirección se relaja de forma reversible. Por lo tanto, ε z ' = ε y' = 0. El resultado es que:
El trabajo neto realizado en el corte para lograr la coherencia viene dado por:
o
El paso final es expresar c 1'1 ' en términos de las constantes referidas a los ejes estándar. De la rotación de ejes obtenemos lo siguiente:
donde l, m, n son los cosenos de dirección del eje x 'y, por tanto, los cosenos de dirección de la modulación de la composición. Combinando estos, obtenemos lo siguiente:
No se ha tenido en cuenta la existencia de ninguna deformación por cizallamiento. Cahn consideró este problema y concluyó que el cizallamiento estaría ausente para las modulaciones a lo largo de <100>, <110>, <111> y que para otras direcciones el efecto de las deformaciones por cizallamiento sería pequeño. Luego se deduce que la energía de deformación elástica total de una losa de área A de sección transversal viene dada por:
A continuación, tenemos que relacionar la deformación δ con la variación de la composición. Sea a o el parámetro reticular del sólido sin filtrar de la composición media c o . El uso de una expansión de la serie de Taylor sobre c o produce lo siguiente:
en el cual
donde los derivados se evalúan en c o . Por lo tanto, descuidando los términos de orden superior, tenemos:
Sustituyendo, obtenemos:
Este simple resultado indica que la energía de deformación de una modulación de composición depende solo de la amplitud y es independiente de la longitud de onda. Para una amplitud dada, la energía de deformación W E es proporcional a Y. Considere algunos casos especiales.
Para un material isotrópico:
así que eso:
Esta ecuación también se puede escribir en términos del módulo de Young E y la razón de Poissons υ usando las relaciones estándar:
Sustituyendo, obtenemos lo siguiente:
Para la mayoría de los metales, el lado izquierdo de esta ecuación
es positivo, por lo que la energía elástica será mínima para aquellas direcciones que minimicen el término: l 2 m 2 + m 2 n 2 + l 2 n 2 . Por inspección, se ve que son <100>. Para este caso:
lo mismo que para un material isotrópico. Al menos un metal (molibdeno) tiene una anisotropía de signo opuesto. En este caso, las direcciones para W E mínimo serán aquellas que maximicen la función coseno direccional. Estas direcciones son <111> y
Como veremos, la tasa de crecimiento de las modulaciones será máxima en las direcciones que minimicen Y. Estas direcciones determinan, por tanto, la morfología y las características estructurales de la descomposición en soluciones sólidas cúbicas.
Al reescribir la ecuación de difusión e incluir el término derivado para la energía elástica se obtiene lo siguiente:
o
que alternativamente se puede escribir en términos del coeficiente de difusión D como:
La forma más sencilla de resolver esta ecuación es mediante el método de las transformadas de Fourier.
Transformada de Fourier
La motivación de la transformada de Fourier proviene del estudio de una serie de Fourier . En el estudio de una serie de Fourier, las funciones periódicas complicadas se escriben como la suma de ondas simples representadas matemáticamente por senos y cosenos . Debido a las propiedades del seno y el coseno, es posible recuperar la cantidad de cada onda en la suma mediante una integral. En muchos casos es deseable usar la fórmula de Euler , que establece que e 2 πiθ = cos 2 πθ + i sin 2 πθ , para escribir series de Fourier en términos de ondas básicas e 2 πiθ , con la clara ventaja de simplificar muchas fórmulas difíciles de manejar .
El paso de los senos y cosenos a exponenciales complejos hace necesario que los coeficientes de Fourier tengan un valor complejo. La interpretación habitual de este número complejo es que le da tanto la amplitud (o tamaño) de la onda presente en la función como la fase (o el ángulo inicial) de la onda. Este pasaje también introduce la necesidad de "frecuencias" negativas. (Por ejemplo, si θ se midiera en segundos, las ondas e 2 πiθ y e −2 πiθ completarían un ciclo por segundo, pero representan frecuencias diferentes en la transformada de Fourier. Por lo tanto, la frecuencia ya no mide el número de ciclos por unidad de tiempo. , pero está estrechamente relacionado.)
Si A (β) es la amplitud de un componente de Fourier de longitud de onda λ y número de onda β = 2π / λ, la variación espacial en la composición se puede expresar mediante la integral de Fourier: [8]
en el que los coeficientes están definidos por la relación inversa:
Sustituyendo, obtenemos al igualar coeficientes:
Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución:
en el que A (β) es la amplitud inicial del componente de Fourier del número de onda β y R (β) definido por:
o, expresado en términos del coeficiente de difusión D:
De manera similar, la nueva ecuación de difusión:
tiene una solución de onda sinusoidal simple dada por:
donde R (β) se obtiene sustituyendo esta solución nuevamente en la ecuación de difusión de la siguiente manera:
Para los sólidos, las deformaciones elásticas resultantes de la (in) coherencia agregan términos al factor de amplificación R (β) de la siguiente manera:
donde, para sólidos isotrópicos:
- ,
donde E es el módulo de elasticidad de Young, υ es la relación de Poisson y η es la deformación lineal por unidad de diferencia de composición. Para los sólidos anisotrópicos, el término elástico depende de la dirección de una manera que puede predecirse mediante constantes elásticas y cómo varían los parámetros de la red con la composición. Para el caso cúbico, Y es un mínimo para las direcciones (100) o (111), dependiendo solo del signo de la anisotropía elástica.
Así, al describir cualquier fluctuación de la composición en términos de sus componentes de Fourier, Cahn mostró que una solución sería inestable con respecto a las fluctuaciones sinusoidales de una longitud de onda crítica. Al relacionar la energía de deformación elástica con las amplitudes de tales fluctuaciones, formalizó la dependencia de la longitud de onda o frecuencia del crecimiento de tales fluctuaciones, y así introdujo el principio de amplificación selectiva de los componentes de Fourier de ciertas longitudes de onda. El tratamiento produce el tamaño de partícula medio esperado o la longitud de onda de la fluctuación de crecimiento más rápido.
Por tanto, la amplitud de las fluctuaciones de la composición debería crecer continuamente hasta que se alcance un equilibrio metaestable con una amplificación preferencial de componentes de longitudes de onda particulares. El factor de amplificación cinética R es negativo cuando la solución es estable a la fluctuación, cero en la longitud de onda crítica y positivo para longitudes de onda más largas, exhibiendo un máximo en exactamente veces la longitud de onda crítica.
Considere una solución homogénea dentro del espinodal. Inicialmente tendrá una cierta cantidad de fluctuación de la composición promedio que puede escribirse como una integral de Fourier. Cada componente de Fourier de esa fluctuación crecerá o disminuirá según su longitud de onda.
Debido al máximo en R en función de la longitud de onda, los componentes de la fluctuación conveces la longitud de onda crítica crecerá más rápido y dominará. Este "principio de amplificación selectiva" depende de la presencia inicial de estas longitudes de onda, pero no depende críticamente de su amplitud exacta en relación con otras longitudes de onda (si el tiempo es grande en comparación con (1 / R). No depende de ninguna suposición adicional , ya que pueden coexistir diferentes longitudes de onda y no interfieren entre sí.
Las limitaciones de esta teoría parecerían surgir de esta suposición y de la ausencia de una expresión formulada para dar cuenta de los procesos irreversibles durante la separación de fases que pueden estar asociados con la fricción interna y la producción de entropía. En la práctica, generalmente existe amortiguación por fricción y parte de la energía se transforma en energía térmica. Por lo tanto, la amplitud y la intensidad de una onda unidimensional disminuye con la distancia a la fuente, y para una onda tridimensional la disminución será mayor.
Dinámica en el espacio k
En la región espinodal del diagrama de fases, la energía libre se puede reducir permitiendo que los componentes se separen, aumentando así la concentración relativa de un material componente en una región particular del material. La concentración seguirá aumentando hasta que el material alcance la parte estable del diagrama de fases. Las regiones muy grandes de material cambiarán su concentración lentamente debido a la cantidad de material que se debe mover. Las regiones muy pequeñas se encogerán debido al costo de energía al mantener una interfaz entre dos materiales componentes diferentes. [18] [19] [20]
Para iniciar una extinción homogénea, un parámetro de control, como la temperatura, cambia abrupta y globalmente. Para una mezcla binaria de-tipo y -materiales de tipo, la energía libre de Landau
es una buena aproximación de la energía libre cerca del punto crítico y se utiliza a menudo para estudiar templos homogéneos. La concentración de la mezcla es la diferencia de densidad de los componentes de la mezcla, los parámetros de control que determinan la estabilidad de la mezcla son y , y el costo de energía interfacial está determinado por .
El movimiento difusivo a menudo domina en la escala de longitud de la descomposición espinodal. La ecuación de movimiento para un sistema difusivo es
dónde es la movilidad difusiva, hay un ruido aleatorio tal que , y el potencial químico se deriva de la energía libre de Landau:
Vemos que si , pequeñas fluctuaciones alrededor tienen una movilidad difusiva efectiva negativa y crecerán en lugar de encogerse. Para comprender la dinámica del crecimiento, ignoramos las corrientes fluctuantes debido a, linealiza la ecuación de movimiento alrededory realizar una transformada de Fourier en-espacio. Esto lleva a
que tiene una solución de crecimiento exponencial :
Dado que la tasa de crecimiento es exponencial, el número de onda angular de más rápido crecimiento
dominará rápidamente la morfología. Ahora vemos que la descomposición espinodal da como resultado dominios de la escala de longitud característica llamada longitud espinodal :
La tasa de crecimiento del número de ondas angulares de más rápido crecimiento es
dónde se conoce como tiempo espinodal .
La longitud espinodal y el tiempo espinodal se pueden utilizar para no dimensionalizar la ecuación de movimiento, lo que da como resultado una escala universal para la descomposición espinodal.
Historia
A principios de la década de 1940, Bradley informó de la observación de bandas laterales alrededor de los picos de Bragg del patrón de difracción de rayos X de una aleación de Cu-Ni-Fe que se había templado y luego recocido dentro del espacio de miscibilidad . Daniel y Lipson hicieron más observaciones sobre la misma aleación, quienes demostraron que las bandas laterales podían explicarse mediante una modulación periódica de la composición en las direcciones <100>. A partir del espaciado de las bandas laterales, pudieron determinar la longitud de onda de la modulación, que era del orden de 100 angstroms.
El crecimiento de una modulación de la composición en una aleación inicialmente homogénea implica una difusión ascendente o un coeficiente de difusión negativo. Becker y Dehlinger ya habían predicho una difusividad negativa dentro de la región espinodal de un sistema binario. Pero sus tratamientos no pudieron explicar el crecimiento de una modulación de una longitud de onda particular, como se observó en la aleación Cu-Ni-Fe. De hecho, cualquier modelo basado en la ley de Fick produce una solución físicamente inaceptable cuando el coeficiente de difusión es negativo.
La primera explicación de la periodicidad la dio Mats Hillert en su Tesis Doctoral de 1955 en el MIT . Comenzando con un modelo de solución regular, derivó una ecuación de flujo para la difusión unidimensional en una red discreta. Esta ecuación se diferenciaba de la habitual por la inclusión de un término que permitía el efecto sobre la fuerza impulsora de la energía interfacial entre planos interatómicos adyacentes que diferían en composición. Hillert resolvió la ecuación de flujo numéricamente y encontró que dentro del espinodal producía una variación periódica de composición con la distancia. Además, la longitud de onda de la modulación fue del mismo orden que la observada en las aleaciones de Cu-Ni-Fe. [21] [22]
Sobre la base del trabajo de Hillert, John W. Cahn y John Hilliard desarrollaron posteriormente un modelo continuo más flexible , que incluyeron los efectos de las tensiones de coherencia, así como el término de energía de gradiente. Las cepas son significativas porque dictan la morfología última de la descomposición en materiales anisotrópicos. [23] [24] [25]
Referencias
- ↑ Binder, K (1 de julio de 1987). "Teoría de las transiciones de fase de primer orden" . Informes sobre avances en física . 50 (7): 783–859. doi : 10.1088 / 0034-4885 / 50/7/001 . ISSN 0034-4885 .
- ^ Gennes, Pierre-Gilles de. (1979). Conceptos de escalado en física de polímeros . Ithaca, Nueva York: Cornell University Press. ISBN 0-8014-1203-X. OCLC 4494721 .
- ^ Gibbs, JW, Artículos científicos de J Willard Gibbs , 2 vols. Bumstead, HA y Van Name, RG, eds. (Dover, Nueva York, 1961) ISBN 0-918024-77-3
- ^ Cahn, John W .; Hilliard, John E. (1958). "Energía libre de un sistema no uniforme. I. Energía libre interfacial". La Revista de Física Química . Publicación AIP. 28 (2): 258–267. Código bibliográfico : 1958JChPh..28..258C . doi : 10.1063 / 1.1744102 . ISSN 0021-9606 .
- ^ a b Bray, AJ (1 de marzo de 2002). "Teoría de la cinética de ordenamiento de fases" . Avances en Física . 51 (2): 481–587. arXiv : cond-mat / 9501089 . Código bibliográfico : 2002AdPhy..51..481B . doi : 10.1080 / 00018730110117433 . ISSN 0001-8732 . S2CID 218646292 .
- ↑ a b Hilliard, JE, Descomposición espinodal , en Transformaciones de fase p. 497 (Sociedad Estadounidense de Metales, Metals Park, 1970)
- ^ Bray, AJ (1994). "Teoría de la cinética de ordenamiento de fases" . Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 194 (1): 41–52. arXiv : cond-mat / 9501089 . doi : 10.1016 / 0378-4371 (93) 90338-5 . ISSN 0378-4371 .
- ^ a b c Cahn, JW, Descomposición de Spinodal , Conferencia del Instituto de Metales de 1967 , Trans. Reunió. Soc. AIME, vol. 242, pág. 168 (1968)
- ^ Jones, Richard AL (2004) [2002]. Materia suave condensada . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 33. ISBN 978-0-19-850589-1. Consultado el 22 de octubre de 2007 .
- ^ Cook, HE (1973). "Un modelo de celosía de transformaciones estructurales y de dislocación". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 21 (10): 1431-1444. doi : 10.1016 / 0001-6160 (73) 90092-8 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cook, HE (1973). "Sobre la naturaleza de la transformación omega". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 21 (10): 1445-1449. doi : 10.1016 / 0001-6160 (73) 90093-x . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cook, HE (1975). "En las transiciones de fase estructural de primer orden - I. Consideraciones generales de los fenómenos de pretransición y nucleación". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 23 (9): 1027–1039. doi : 10.1016 / 0001-6160 (75) 90107-8 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Suzuki, T. y Wuttig, M., Analogía entre la descomposición espinodal y la transformación martensítica , Acta Met., vol. 23, pág. 1069 (1975)
- ^ Carpenter, MA (1981). "Un" espinodal condicional "dentro de la brecha de miscibilidad peristerita de feldespatos de plagioclasa" (PDF) . Revista del mineralogista estadounidense . 66 : 553–560.
- ^ de Fontaine, D (1969). "Un criterio aproximado de pérdida de coherencia en estructuras moduladas". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 17 (4): 477–482. doi : 10.1016 / 0001-6160 (69) 90029-7 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cook, ÉL; De Fontaine, D; Hilliard, Je (1969). "Un modelo de difusión sobre celosías cúbicas y su aplicación en las primeras etapas del pedido". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 17 (6): 765–773. doi : 10.1016 / 0001-6160 (69) 90083-2 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cook, ÉL; de Fontaine, D (1969). "Sobre la energía libre elástica de soluciones sólidas - I. Teoría microscópica". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 17 (7): 915–924. doi : 10.1016 / 0001-6160 (69) 90112-6 . ISSN 0001-6160 .
- ^ De Fontaine, D. (1970). "Inestabilidades mecánicas en la red bcc y la transformación de fase beta a omega". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 18 (2): 275–279. doi : 10.1016 / 0001-6160 (70) 90035-0 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cook, ÉL; De Fontaine, D. (1971). "Sobre la energía libre elástica de soluciones sólidas — II. Influencia del módulo efectivo sobre la precipitación de la solución y la reacción de desorden de orden". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 19 (7): 607–616. doi : 10.1016 / 0001-6160 (71) 90013-7 . ISSN 0001-6160 .
- ^ De Fontaine, D; Paton, NE; Williams, JC (1971). "La transformación de fase omega en aleaciones de titanio como ejemplo de reacciones controladas por desplazamiento". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 19 (11): 1153-1162. doi : 10.1016 / 0001-6160 (71) 90047-2 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Hillert, M., una teoría de nucleación para soluciones metálicas sólidas , Sc. D. Tesis (MIT, 1955)
- ^ Hillert, M. (1961). "Un modelo de solución sólida para sistemas no homogéneos". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 9 (6): 525–535. doi : 10.1016 / 0001-6160 (61) 90155-9 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cahn, John W. (1961). "Sobre la descomposición espinodal". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 9 (9): 795–801. doi : 10.1016 / 0001-6160 (61) 90182-1 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cahn, John W. (1962). "Sobre la descomposición espinodal en cristales cúbicos". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 10 (3): 179–183. doi : 10.1016 / 0001-6160 (62) 90114-1 . ISSN 0001-6160 .
- ^ Cahn, John W. (1962). "Fluctuaciones coherentes y nucleación en sólidos isotrópicos". Acta Metallurgica . Elsevier BV. 10 (10): 907–913. doi : 10.1016 / 0001-6160 (62) 90140-2 . ISSN 0001-6160 .
Otras lecturas
- Langer, JS; Baron, M .; Miller, HD (1975). "Nuevo método computacional en la teoría de la descomposición espinodal". Physical Review A . 11 (4): 1417. Código Bibliográfico : 1975PhRvA..11.1417L . doi : 10.1103 / PhysRevA.11.1417 .
- Vidyasagar, A .; Krödel, S .; Kochmann, DM (2018). "Patrones microestructurales con anisotropía mecánica sintonizable obtenidos simulando la descomposición espinodal anisotrópica" . Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . La Royal Society. 474 (2218): 20180535. Bibcode : 2018RSPSA.47480535V . doi : 10.1098 / rspa.2018.0535 . ISSN 1364-5021 .
enlaces externos
- Breve declaración de Mats Hillert
- Página de John Cahn
- Aleaciones binarias
- Perfiles de composición
- Aleaciones de cobre / níquel / estaño
- Representación gráfica de la evolución microestructural