En matemáticas , una espiral es una curva que emana de un punto y se aleja a medida que gira alrededor del punto. [1] [2] [3] [4]
Helices
Dos definiciones principales de "espiral" en el American Heritage Dictionary son: [5]
- una curva en un plano que gira alrededor de un punto central fijo a una distancia que aumenta o disminuye continuamente desde el punto.
- una curva tridimensional que gira alrededor de un eje a una distancia constante o variable continua mientras se mueve en paralelo al eje; una hélice .
La primera definición describe una curva plana , que se extiende en ambas direcciones perpendiculares dentro de su plano; el surco en un lado de un disco se aproxima mucho a una espiral plana (y es por el ancho y la profundidad finitos del surco, pero no por el espaciado más amplio entre las pistas que dentro de ellas, que no llega a ser un ejemplo perfecto); tenga en cuenta que los bucles sucesivos difieren en diámetro. En otro ejemplo, las "líneas centrales" de los brazos de una galaxia espiral trazan espirales logarítmicas .
La segunda definición incluye dos tipos de parientes tridimensionales de espirales:
- un resorte cónico o en espiral (incluido el resorte que se usa para sostener y hacer contacto con los terminales negativos de las baterías AA o AAA en una caja de baterías ), y el vórtice que se crea cuando el agua se drena en un fregadero a menudo se describe como una espiral, o como una hélice cónica.
- bastante explícitamente, la definición 2 también incluye un resorte helicoidal cilíndrico y una hebra de ADN , los cuales son bastante helicoidales, de modo que "hélice" es una descripción más útil que "espiral" para cada uno de ellos; en general, "espiral" rara vez se aplica si los "bucles" sucesivos de una curva tienen el mismo diámetro. [5]
En la imagen lateral, la curva negra en la parte inferior es una espiral de Arquímedes , mientras que la curva verde es una hélice. La curva que se muestra en rojo es una hélice cónica.
Bidimensional
Una espiral bidimensional o plana se puede describir más fácilmente utilizando coordenadas polares , donde el radio es una función continua monótona del ángulo:
El círculo se consideraría un caso degenerado (la función no es estrictamente monótona, sino constante ).
En --coordina la curva tiene la representación paramétrica:
Ejemplos de
Algunos de los tipos más importantes de espirales bidimensionales incluyen:
- La espiral de Arquímedes :
- La espiral hiperbólica :
- Espiral de Fermat :
- El lituus :
- La espiral logarítmica :
- La espiral de Cornu o clotoide
- La espiral de Fibonacci y la espiral dorada
- La espiral de Teodoro : una aproximación de la espiral de Arquímedes compuesta de triángulos rectángulos contiguos
- La involuta de un círculo, utilizada dos veces en cada diente de casi todos los engranajes modernos.
Espiral de Arquímedes
espiral hiperbólica
Espiral de Fermat
lituus
espiral logarítmica
Espiral cornu
espiral de Theodorus
Espiral de Fibonacci (espiral dorada)
La involuta de un círculo (negro) no es idéntica a la espiral de Arquímedes (rojo).
Una espiral de Arquímedes se genera, por ejemplo, mientras se enrolla una alfombra. [6]
Una espiral hiperbólica aparece como imagen de una hélice con una proyección central especial (ver diagrama). Una espiral hiperbólica a veces se llama espiral recíproca , porque es la imagen de una espiral de Arquímedes con una inversión de círculo (ver más abajo). [7]
El nombre de espiral logarítmica se debe a la ecuación. Aproximaciones de esto se encuentran en la naturaleza.
Espirales que no encajan en este esquema de los primeros 5 ejemplos:
Una espiral de Cornu tiene dos puntos asintóticos.
La espiral de Theodorus es un polígono.
La espiral de Fibonacci consta de una secuencia de arcos circulares.
La involuta de un círculo se parece a una de Arquímedes, pero no lo es: ver Ejemplos de Involuta # .
Propiedades geométricas
Las siguientes consideraciones se refieren a espirales, que pueden describirse mediante una ecuación polar , especialmente para los casos (Espirales de Arquímedes, hiperbólicas, de Fermat, lituus) y la espiral logarítmica .
- Ángulo de pendiente polar
El ángulo entre la espiral tangente y el círculo polar correspondiente (ver diagrama) se llama ángulo de la pendiente polar yla pendiente polar .
Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula
De ahí la pendiente de la espiral. es
En caso de una espiral de Arquímedes () la pendiente polar es
La espiral logarítmica es un caso especial, debido a constante !
- curvatura
La curvatura de una curva con ecuación polar es
Para una espiral con uno consigue
En caso de (Espiral de Arquímedes) .
Solo parala espiral tiene un punto de inflexión .
La curvatura de una espiral logarítmica. es
- Área del sector
El área de un sector de una curva (ver diagrama) con ecuación polar es
Para una espiral con ecuación uno consigue
La fórmula de una espiral logarítmica es
- Longitud de arco
La longitud de un arco de una curva con ecuación polar es
Para la espiral la longitud es
No todas estas integrales se pueden resolver con una tabla adecuada. En el caso de una espiral de Fermat, la integral solo se puede expresar mediante integrales elípticas .
La longitud del arco de una espiral logarítmica. es
- Inversión de círculo
La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple:.
- La imagen de una espiral debajo de la inversión en el círculo unitario está la espiral con ecuación polar . Por ejemplo: la inversa de una espiral de Arquímedes es una espiral hiperbólica.
- Una espiral logarítmica se asigna a la espiral logarítmica
Espirales acotadas
Función de una espiral es generalmente terminantemente monotónico, continua y poco limitado . Para las espirales estándares una función de potencia o una función exponencial. Si uno eligeuna función acotada , la espiral también está acotada. Una función acotada adecuada es la función arctan :
- Ejemplo 1
Configuración y la eleccion da una espiral, que comienza en el origen (como una espiral de Arquímedes) y se acerca al círculo con radio (diagrama, izquierda).
- Ejemplo 2
Para y se obtiene una espiral, que se acerca al origen (como una espiral hiperbólica) y se acerca al círculo con radio (diagrama, derecha).
Tridimensional
Espirales cónicas
Si en el --planea una espiral con representación paramétrica
se da, entonces se puede agregar una tercera coordenada , de modo que la curva ahora espacial se encuentra en el cono con la ecuación:
Las espirales basadas en este procedimiento se denominan espirales cónicas .
- Ejemplo
Comenzando con una espiral de Arquímedes se obtiene la espiral cónica (ver diagrama)
Espirales esféricas
Si uno representa una esfera de radio por:
y establece la dependencia lineal para las coordenadas del ángulo, se obtiene una curva esférica llamada espiral esférica [8] con la representación paramétrica (con igual al doble del número de vueltas)
Pappus también conocía las espirales esféricas.
Observación: una línea de rumbo no es una espiral esférica en este sentido.
Espiral esférica
Loxodrome
Una línea de rumbo (también conocida como loxódromo o "espiral esférica") es la curva en una esfera trazada por un barco con rumbo constante (por ejemplo, viajando de un polo al otro manteniendo un ángulo fijo con respecto a los meridianos ). El loxódromo tiene un número infinito de revoluciones , y la separación entre ellas disminuye a medida que la curva se acerca a cualquiera de los polos, a diferencia de una espiral de Arquímedes que mantiene un espaciado de línea uniforme independientemente del radio.
En naturaleza
El estudio de las espirales en la naturaleza tiene una larga historia. Christopher Wren observó que muchas conchas forman una espiral logarítmica ; Jan Swammerdam observó las características matemáticas comunes de una amplia gama de proyectiles desde Helix hasta Spirula ; y Henry Nottidge Moseley describió las matemáticas de los proyectiles univalvos . D'Arcy Wentworth Thompson 's El crecimiento y la forma da un tratamiento extensivo a estas espirales. Describe cómo se forman las conchas al girar una curva cerrada alrededor de un eje fijo: la forma de la curva permanece fija pero su tamaño crece en una progresión geométrica . En algunas conchas, como Nautilus y ammonites , la curva generadora gira en un plano perpendicular al eje y la concha formará una forma discoide plana. En otros, sigue una trayectoria oblicua que forma un helico patrón -spiral. Thompson también estudió espirales que ocurren en cuernos , dientes , garras y plantas . [9] [ página necesaria ]
H. Vogel propuso un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol [10] . Esto tiene la forma
donde n es el número índice de la flor yc es un factor de escala constante, y es una forma de la espiral de Fermat . El ángulo de 137,5 ° es el ángulo dorado que está relacionado con la proporción áurea y da un empaquetamiento compacto de floretes. [11]
Las espirales en plantas y animales se describen con frecuencia como verticilos . Este es también el nombre que se le da a las huellas dactilares en forma de espiral .
Representación de un artista de una galaxia espiral.
Cabeza de girasol con floretes en espirales de 34 y 55 alrededor del exterior.
En el laboratorio
Cuando el sulfato de potasio se calienta en agua y se somete a un remolino en un vaso de precipitados, los cristales forman una estructura en espiral de múltiples brazos cuando se dejan sedimentar. [12]
El sulfato de potasio forma una estructura en espiral en solución.
Como símbolo
Se ha encontrado una forma en espiral en Mezine , Ucrania , como parte de un objeto decorativo que data del 10.000 a. C. [ cita requerida ]
El motivo espiral y triple espiral es un símbolo neolítico en Europa ( Templos Megalíticos de Malta ). El símbolo celta de la triple espiral es de hecho un símbolo precelta. [13] Está tallado en la roca de un rombo de piedra cerca de la entrada principal del monumento prehistórico de Newgrange en el condado de Meath , Irlanda . Newgrange se construyó alrededor del 3200 a. C. antes de los celtas y las espirales triples se tallaron al menos 2500 años antes de que los celtas llegaran a Irlanda, pero hace mucho que se incorporó a la cultura celta. [14] El símbolo del triskelion , que consta de tres espirales entrelazadas o tres piernas humanas dobladas, aparece en muchas culturas tempranas, incluidas las vasijas micénicas , acuñadas en Licia , en los estados de Panfilia (en Aspendos , 370-333 a. C.) y Pisidia , como así como en el emblema heráldico de los escudos de los guerreros representados en la cerámica griega. [15]
Las espirales se pueden encontrar en todo el arte precolombino en América Latina y Centroamérica. Los más de 1,400 petroglifos (grabados rupestres) en Las Plazuelas , Guanajuato México , que datan del 750-1200 d.C., representan predominantemente espirales, figuras de puntos y modelos a escala. [16] En Colombia, las figuras de monos, ranas y lagartos representadas en petroglifos o como figuras de ofrendas de oro con frecuencia incluyen espirales, por ejemplo, en las palmas de las manos. [17] En la Baja Centroamérica, las espirales junto con los círculos, las líneas onduladas, las cruces y los puntos son caracteres de petroglifos universales. [18] También se pueden encontrar espirales entre las Líneas de Nazca en el desierto costero de Perú, que datan del 200 a. C. al 500 d. C. Los geoglifos se cuentan por miles y representan animales, plantas y motivos geométricos, incluidas espirales. [19]
Las formas espirales, incluida la esvástica , el triskele , etc., a menudo se han interpretado como símbolos solares . [ cita requerida ] Tejas que datan de la dinastía Tang con este símbolo se han encontrado al oeste de la antigua ciudad de Chang'an (la actual Xi'an). [ cita requerida ] [ año necesario ]
Las espirales también son un símbolo de hipnosis , que surgen del cliché de personas y personajes de dibujos animados hipnotizados al mirar fijamente una espiral giratoria (un ejemplo es Kaa en El libro de la selva de Disney ). También se utilizan como símbolo de mareo , donde los ojos de un personaje de dibujos animados, especialmente en anime y manga , se convertirán en espirales para mostrar que está mareado o aturdido. La espiral también se encuentra en estructuras tan pequeñas como la doble hélice del ADN y tan grandes como una galaxia . Debido a esta ocurrencia natural frecuente, la espiral es el símbolo oficial del Movimiento Panteísta Mundial . [20] La espiral es también un símbolo del proceso dialéctico y del monismo dialéctico .
En arte
La espiral ha inspirado a artistas de todas las épocas. Entre los más famosos del arte inspirado en espirales se encuentra el movimiento de tierra de Robert Smithson , " Spiral Jetty ", en el Gran Lago Salado de Utah. [21] El tema de la espiral también está presente en Spiral Resonance Field de David Wood en el Balloon Museum de Albuquerque, así como en el álbum conceptual de 1994 de Nine Inch Nails, aclamado por la crítica, The Downward Spiral . La Espiral también es un tema destacado en el anime Gurren Lagann , donde representa una filosofía y una forma de vida. También es central en el trabajo de Mario Merz y Andy Goldsworthy. La espiral es el tema central del manga de terror Uzumaki de Junji Ito , donde una pequeña ciudad costera se ve afectada por una maldición que involucra espirales. 2012 A Piece of Mind Por Wayne A Beale también representa una gran espiral en este libro de sueños e imágenes. [22] [ se necesita cita completa ] [23] [se necesita verificación ]
Ver también
- Laberinto celta (espiral en línea recta)
- Círculos concéntricos
- ADN
- Número de Fibonacci
- Hipogeo de Ħal-Saflieni
- Templos megalíticos de Malta
- Patrones en la naturaleza
- Superficie de la concha
- Espira
- Cortadora de verduras en espiral
- Escaleras de caracol
- Triskelion
Referencias
- ^ "Espiral | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ "Definición de espiral (Diccionario ilustrado de matemáticas)" . www.mathsisfun.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ "espiral.htm" . www.math.tamu.edu . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ "Patrones matemáticos en la naturaleza" . El Instituto Franklin . 2017-06-01 . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ a b " Espiral , Diccionario de herencia americana de la lengua inglesa , Houghton Mifflin Company, cuarta edición, 2009.
- ^ Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Espiral hiperbólica" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
- ^ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, S. 132
- ^ Thompson, D'Arcy (1942) [1917]. Sobre crecimiento y forma . Prensa de la Universidad de Cambridge ; Nueva York: Macmillan.
- ^ Ben Sparks. "Geogebra: los girasoles son irracionalmente bonitos" .
- ^ Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas . Springer-Verlag. págs. 101-107 . ISBN 978-0-387-97297-8.
- ^ Thomas, Sunil (2017). "El sulfato de potasio forma una estructura en espiral cuando se disuelve en solución". Ruso J Phys Chem B . 11 : 195-198. doi : 10.1134 / S1990793117010328 . S2CID 99162341 .
- ^ Anthony Murphy y Richard Moore, Isla del sol poniente: En busca de los antiguos astrónomos de Irlanda, 2da ed., Dublín: The Liffey Press, 2008, págs. 168-169
- ^ "Newgrange Irlanda - tumba de paso megalítico - Patrimonio de la humanidad" . Knowth.com. 2007-12-21. Archivado desde el original el 26 de julio de 2013 . Consultado el 16 de agosto de 2013 .
- ↑ Por ejemplo, el trislele delescudo redondo de Aquiles en un ático de hidria de finales del siglo VIen el Museo de Bellas Artes de Boston , ilustrado en John Boardman, Jasper Griffin y Oswyn Murray, Grecia y el mundo helenístico (Oxford History of the Classical World ) vol. I (1988), pág. 50.
- ^ "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio de 2006. p. 5. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
- ^ "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio de 2006. p. 99. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
- ^ "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio de 2006. p. 17. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
- ^ Jarus, Owen (14 de agosto de 2012). "Líneas de Nazca: misteriosos geoglifos en el Perú" . LiveScience. Archivado desde el original el 4 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
- ^ Harrison, Paul. "Arte panteísta" (PDF) . Movimiento Panteísta Mundial . Consultado el 7 de junio de 2012 .
- ^ Israel, Nico (2015). Espirales: la imagen girada en la literatura y el arte del siglo XX . Prensa de la Universidad de Columbia de Nueva York. págs. 161-186. ISBN 978-0-231-15302-7.
- ^ 2012 Un pedazo de mente por Wayne A Beale
- ^ http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (se requiere suscripción)
Publicaciones relacionadas
- Cook, T., 1903. Espirales en la naturaleza y el arte . Nature 68 (1761), 296.
- Cook, T., 1979. Las curvas de la vida . Dover, Nueva York.
- Habib, Z., Sakai, M., 2005. Curvas de transición en espiral y sus aplicaciones . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195-206.
- Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). "Transición cúbica justa entre dos círculos con un círculo dentro o tangente al otro". Algoritmos numéricos . 51 (4): 461–476. doi : 10.1007 / s11075-008-9252-1 . S2CID 22532724 .
- Harary, G., Tal, A., 2011. La espiral 3D natural . Computer Graphics Forum 30 (2), 237 - 246 [1] .
- Xu, L., Mold, D., 2009. Curvas magnéticas: curvas estéticas controladas por curvatura mediante campos magnéticos . En: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Estética computacional en gráficos, visualización e imágenes. Asociación Eurographics [2] .
- Wang, Yulin; Zhao, Bingyan; Zhang, Luzou; Xu, Jiachuan; Wang, Kanchang; Wang, Shuchun (2004). "Diseño de curvas justas utilizando piezas de curvatura monótona". Diseño geométrico asistido por computadora . 21 (5): 515-527. doi : 10.1016 / j.cagd.2004.04.001 .
- Kurnosenko, A. (2010). "Aplicación de la inversión para construir espirales racionales planas que satisfagan los datos de Hermite G2 de dos puntos". Diseño geométrico asistido por computadora . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . doi : 10.1016 / j.cagd.2009.12.004 .
- A. Kurnosenko. Interpolación de Hermite G2 de dos puntos con espirales por inversión de hipérbola . Diseño geométrico asistido por computadora, 27 (6), 474–481, 2010.
- Miura, KT, 2006. Una ecuación general de las curvas estéticas y su autoafinidad . Diseño y aplicaciones asistidos por computadora 3 (1–4), 457–464 [3] .
- Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivación de una fórmula general de curvas estéticas . En: VIII Congreso Internacional sobre Humanos y Computadoras (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japón, págs. 166 - 171 [4] .
- Meek, DS; Walton, DJ (1989). "El uso de espirales Cornu en el dibujo de curvas planas de curvatura controlada" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 25 : 69–78. doi : 10.1016 / 0377-0427 (89) 90076-9 .
- Thomas, Sunil (2017). "El sulfato de potasio forma una estructura en espiral cuando se disuelve en solución". Rusia Journal of Physical Chemistry B . 11 : 195-198. doi : 10.1134 / S1990793117010328 . S2CID 99162341 .
- Farin, Gerald (2006). "Curvas clase a Bézier". Diseño geométrico asistido por computadora . 23 (7): 573–581. doi : 10.1016 / j.cagd.2006.03.004 .
- Farouki, RT, 1997. Curvas de transición quíntica pitagórica-hodógrafa de curvatura monótona . Diseño asistido por computadora 29 (9), 601–606.
- Yoshida, N., Saito, T., 2006. Segmentos de curvas estéticas interactivas . The Visual Computer 22 (9), 896–905 [5] .
- Yoshida, N., Saito, T., 2007. Curvas cuasiestéticas en formas cúbicas racionales de Bézier . Diseño y aplicaciones asistidos por computadora 4 (9-10), 477-486 [6] .
- Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Ecuaciones paramétricas analíticas de curvas log-estéticas en términos de funciones gamma incompletas . Diseño geométrico asistido por computadora 29 (2), 129—140 [7] .
- Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Ajuste de la curva de transición multiespiral G2 que une dos líneas rectas , Diseño asistido por computadora 44 (6), 591-596 [8] .
- Ziatdinov, R., 2012. Familia de superespirales con curvatura completamente monótona dada en términos de función hipergeométrica de Gauss . Diseño geométrico asistido por computadora 29 (7): 510-518, 2012 [9] .
- Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. Sobre la variedad de espirales planas y sus aplicaciones en el diseño asistido por computadora . Investigador europeo 27 (8-2), 1227-1232 [10] .
enlaces externos
- Jamnitzer -Galerie: espirales 3D
- SpiralZoom.com , un sitio web educativo sobre la ciencia de la formación de patrones, espirales en la naturaleza y espirales en la imaginación mítica.
- Espirales de Jürgen Köller
- Espirales : una colección de la Enciclopedia de la vida con ejemplos de espirales en la naturaleza.
- La espiral de Arquímedes se transforma en la espiral de Galileo. Mikhail Gaichenkov, OEIS
- Página web educativa que conecta espirales con la naturaleza, el arte y los patrones.
- Texto en Espiral