Cuadrado vertical Simple | diagonal cuadrado centrado |
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En matemáticas , la celosía cuadrada es un tipo de celosía en un espacio euclidiano bidimensional . Es la versión bidimensional de la red de números enteros , denotada como Z 2 . [1] Es uno de los cinco tipos de celosías bidimensionales clasificados por sus grupos de simetría ; [2] su grupo de simetría en notación IUC como p4m , [3] notación de Coxeter como [4,4], [4] y notación orbifold como * 442. [5]
Dos orientaciones de una imagen de la celosía son, con mucho, las más comunes. Convenientemente, pueden denominarse celosía cuadrada vertical y celosía cuadrada diagonal; este último también se llama celosía cuadrada centrada . [6] Se diferencian por un ángulo de 45 °. Esto está relacionado con el hecho de que una celosía cuadrada se puede dividir en dos sub-celosías cuadradas, como es evidente en el color de un tablero de ajedrez .
Simetría
La categoría de simetría de la celosía cuadrada es el grupo de papel tapiz p4m. Un patrón con este entramado de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el entramado mismo. Una celosía cuadrada vertical se puede ver como una celosía cuadrada diagonal con un tamaño de malla √2 veces más grande, con los centros de los cuadrados agregados. En consecuencia, después de sumar los centros de los cuadrados de una celosía cuadrada vertical, tenemos una celosía cuadrada diagonal con un tamaño de malla √2 veces más pequeño que el de la celosía original. Un patrón con simetría rotacional de 4 pliegues tiene una celosía cuadrada de rotocentros de 4 pliegues que es un factor √2 más fino y está orientado diagonalmente en relación con la celosía de simetría de traslación .
Con respecto a los ejes de reflexión existen tres posibilidades:
- Ninguno. Este es el grupo de fondos de pantalla p4.
- En cuatro direcciones. Este es el grupo de fondos de pantalla p4m.
- En dos direcciones perpendiculares. Este es el grupo de fondos de pantalla p4g. Los puntos de intersección de los ejes de reflexión forman una retícula cuadrada que es tan fina y orientada igual que la celosía cuadrada de los rotocentros de 4 pliegues, con estos rotocentros en los centros de los cuadrados formados por los ejes de reflexión.
p4, [4,4] + , (442) | p4g, [4,4 + ], (4 * 2) | p4m, [4,4], (* 442) |
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Grupo de papel tapiz p4, con la disposición dentro de una celda primitiva de los rotocentros de 2 y 4 pliegues (también aplicable para p4g y p4m). Un dominio fundamental se indica en amarillo. | Grupo de fondos de pantalla p4g. Hay ejes de reflexión en dos direcciones, no a través de los rotocentros de 4 pliegues. | Grupo de fondos de pantalla p4m. Hay ejes de reflexión en cuatro direcciones, a través de los rotocentros cuádruples. En dos direcciones, los ejes de reflexión están orientados igual y tan densos como los de p4g, pero desplazados. En las otras dos direcciones son linealmente un factor √2 más denso. |
Ver también
Referencias
- ^ Conway, John ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas , Springer, p. 106, ISBN 9780387985855.
- ^ Golubitsky, Martin ; Stewart, Ian (2003), The Symmetry Perspective: From Equilibrium to Chaos in Phase Space and Physical Space , Progress in Mathematics, 200 , Springer, p. 129, ISBN 9783764321710.
- ^ Field, Michael; Golubitsky, Martin (2009), Symmetry in Chaos: A Search for Pattern in Mathematics, Art, and Nature (2ª ed.), SIAM, p. 47, ISBN 9780898717709.
- ^ Johnson, Norman W .; Weiss, Asia Ivić (1999), "Enteros cuadráticos y grupos de Coxeter", Canadian Journal of Mathematics , 51 (6): 1307-1336, doi : 10.4153 / CJM-1999-060-6. Ver en particular la parte superior de la p. 1320.
- ^ Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", en Goodman, Jacob E .; O'Rourke, Joseph (eds.), Manual de geometría discreta y computacional , Matemáticas discretas y sus aplicaciones (2ª ed.), CRC Press, págs. 53–72, ISBN 9781420035315. Ver en particular la tabla de la p. 62 relaciona la notación IUC con la notación orbifold.
- ^ Johnston, Bernard L .; Richman, Fred (1997), Números y simetría: Introducción al álgebra , CRC Press, pág. 159, ISBN 9780849303012.