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Una matriz cuadrada de orden 4. Las entradas forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz de 4 × 4 anterior contiene los elementos a 11 = 9 , a 22 = 11 , a 33 = 4 , a 44 = 10 .

En matemáticas , una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas. Una matriz n- por- n se conoce como matriz cuadrada de orden . Se pueden sumar y multiplicar dos matrices cuadradas cualesquiera del mismo orden.

Las matrices cuadradas se utilizan a menudo para representar transformaciones lineales simples , como corte o rotación . Por ejemplo, si es una matriz cuadrada que representa una rotación ( matriz de rotación ) y es un vector de columna que describe la posición de un punto en el espacio, el producto produce otro vector de columna que describe la posición de ese punto después de esa rotación. Si es un vector de fila , se puede obtener la misma transformación usando , donde es la transposición de .

Diagonal principal [ editar ]

Las entradas ( i = 1,…, n ) forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Se encuentran en la línea imaginaria que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha de la matriz. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz de 4 × 4 anterior contiene los elementos a 11 = 9 , a 22 = 11 , a 33 = 4 , a 44 = 10 .

La diagonal de una matriz cuadrada de la parte superior derecha a la esquina inferior izquierda se llama antidiagonal o counterdiagonal .

Tipos especiales [ editar ]

Matriz diagonal o triangular [ editar ]

Si todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero, se denomina matriz diagonal . Si solo todas las entradas por encima (o por debajo) de la diagonal principal son cero, se denomina matriz triangular inferior (o superior) .

Matriz de identidad [ editar ]

La matriz de identidad de tamaño es la matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0, p. Ej.

Es una matriz cuadrada de orden , y también un tipo especial de matriz diagonal . Se llama matriz de identidad porque la multiplicación con ella deja una matriz sin cambios:

AI n = I m A = A para cualquiermatriz m- por- n .

Matriz invertible y su inversa [ editar ]

Una matriz cuadrada se llama invertible o no singular si existe una matriz tal que

[1] [2]

Si existe, es único y se denomina matriz inversa de , denotado .

Matriz simétrica o simétrica sesgada [ editar ]

Una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta, es decir , es una matriz simétrica . Si en cambio , entonces se llama matriz simétrica sesgada .

Para una matriz cuadrada compleja , a menudo el análogo apropiado de la transpuesta es la transpuesta conjugada , definida como la transpuesta del conjugado complejo de . Una matriz cuadrada compleja que satisface se llama matriz hermitiana . Si en cambio , entonces se llama matriz sesgada-hermitiana .

Por el teorema espectral , simétrica real (o hermitiana complejo) matrices tienen un ortogonal (o unitaria) base propia ; es decir, cada vector se puede expresar como una combinación lineal de autovectores. En ambos casos, todos los valores propios son reales. [3]

Matriz definida [ editar ]

Una matriz simétrica n × n se llama positiva-definida (respectivamente negativa-definida; indefinida), si para todos los vectores distintos de cero la forma cuadrática asociada dada por

Q ( x ) = x T A x

toma solo valores positivos (respectivamente solo valores negativos; algunos valores negativos y algunos positivos). [4] Si la forma cuadrática toma solo valores no negativos (respectivamente solo no positivos), la matriz simétrica se llama positivo-semidefinito (respectivamente negativo-semidefinito); por tanto, la matriz es indefinida precisamente cuando no es ni semidefinita positiva ni semidefinita negativa.

Una matriz simétrica es positiva-definida si y solo si todos sus valores propios son positivos. [5] La tabla de la derecha muestra dos posibilidades para matrices de 2 × 2.

Permitir como entrada dos vectores diferentes en su lugar produce la forma bilineal asociada a A :

B A ( x , y ) = x T A y . [6]

Matriz ortogonal [ editar ]

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada con entradas reales cuyas columnas y filas son vectores unitarios ortogonales (es decir, vectores ortonormales ). De manera equivalente, una matriz A es ortogonal si su transposición es igual a su inversa :

lo que implica

donde yo es la matriz de identidad .

Una matriz ortogonal A es necesariamente invertible (con inversa A −1 = A T ), unitaria ( A −1 = A * ) y normal ( A * A = AA * ). El determinante de cualquier matriz ortogonal es +1 o -1. El grupo ortogonal especial consta de las matrices ortogonales n × n con determinante +1.

El análogo complejo de una matriz ortogonal es una matriz unitaria .

Matriz normal [ editar ]

Una matriz cuadrada real o compleja se llama normal si . Si una matriz cuadrada real es simétrica, asimétrica u ortogonal, entonces es normal. Si una matriz cuadrada compleja es hermitiana, sesgada-hermitiana o unitaria, entonces es normal. Las matrices normales son de interés principalmente porque incluyen los tipos de matrices que acabamos de enumerar y forman la clase más amplia de matrices para las que se cumple el teorema espectral . [7]

Operaciones [ editar ]

Rastrear [ editar ]

La traza , tr ( A ) de una matriz cuadrada A es la suma de sus entradas diagonales. Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, la traza del producto de dos matrices es independiente del orden de los factores:

Esto es inmediato a partir de la definición de multiplicación de matrices:

Además, la traza de una matriz es igual a la de su transposición, es decir,

Determinante [ editar ]

Una transformación lineal dada por la matriz indicada. El determinante de esta matriz es -1, ya que el área del paralelogramo verde a la derecha es 1, pero el mapa invierte la orientación , ya que cambia la orientación de los vectores en sentido antihorario a una en sentido horario.

El determinante o de una matriz cuadrada es un número que codifica ciertas propiedades de la matriz. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Su valor absoluto es igual al área (pulgadas ) o volumen (pulgadas ) de la imagen del cuadrado unitario (o cubo), mientras que su signo corresponde a la orientación del mapa lineal correspondiente: el determinante es positivo si y solo si la orientación es Preservado.

El determinante de matrices 2 × 2 viene dado por

El determinante de matrices de 3 × 3 involucra 6 términos ( regla de Sarrus ). La fórmula de Leibniz más extensa generaliza estas dos fórmulas a todas las dimensiones. [8]

El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: [9]

Agregar un múltiplo de cualquier fila a otra fila, o un múltiplo de cualquier columna a otra columna, no cambia el determinante. El intercambio de dos filas o dos columnas afecta al determinante multiplicándolo por −1. [10] Usando estas operaciones, cualquier matriz se puede transformar en una matriz triangular inferior (o superior), y para tales matrices el determinante es igual al producto de las entradas en la diagonal principal; esto proporciona un método para calcular el determinante de cualquier matriz. Finalmente, la expansión de Laplace expresa el determinante en términos de menores , es decir, determinantes de matrices más pequeñas. [11]Esta expansión se puede utilizar para una definición recursiva de determinantes (tomando como caso de partida el determinante de una matriz 1 × 1, que es su única entrada, o incluso el determinante de una matriz 0 × 0, que es 1), que puede ser visto como equivalente a la fórmula de Leibniz. Los determinantes se pueden usar para resolver sistemas lineales usando la regla de Cramer , donde la división de los determinantes de dos matrices cuadradas relacionadas equivale al valor de cada una de las variables del sistema. [12]

Autovalores y autovectores [ editar ]

Un número λ y un vector distinto de cero que satisfacen

se denominan autovalor y autovector de , respectivamente. [13] [14] El número λ es un valor propio de una matriz A n × n si y solo si A - λ I n no es invertible, lo que equivale a

[15]

El polinomio P A en una indeterminada X dado por la evaluación del determinante det ( XI n - A ) se llama el polinomio característico de A . Es un polinomio mónico de grado n . Por lo tanto, la ecuación polinomial p A (λ) = 0 tiene como máximo n soluciones diferentes, es decir, valores propios de la matriz. [16] Pueden ser complejas incluso si las entradas de A son reales. Según el teorema de Cayley-Hamilton , pA ( A ) = 0, es decir, el resultado de sustituir la propia matriz en su propio polinomio característico produce lamatriz cero.

Ver también [ editar ]

  • Matriz de Cartan

Notas [ editar ]

  1. ^ Brown  1991 , Definición I.2.28
  2. ^ Brown  1991 , Definición I.5.13
  3. ^ Horn & Johnson  1985 , Teorema 2.5.6
  4. ^ Horn & Johnson  1985 , Capítulo 7
  5. ^ Horn & Johnson  1985 , Teorema 7.2.1
  6. ^ Horn & Johnson  1985 , ejemplo 4.0.6, p. 169
  7. ^ Artin, Álgebra , 2da edición, Pearson, 2018, sección 8.6.
  8. ^ Brown  1991 , Definición III.2.1
  9. ^ Brown  1991 , Teorema III.2.12
  10. Brown  1991 , Corolario III.2.16
  11. ^ Mirsky  1990 , Teorema 1.4.1
  12. ^ Brown  1991 , Teorema III.3.18
  13. ^ Eigen significa "propio" en alemán y holandés .
  14. ^ Brown  1991 , Definición III.4.1
  15. ^ Brown  1991 , Definición III.4.9
  16. Brown  1991 , Corolario III.4.10

Referencias [ editar ]

  • Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces , Nueva York, NY: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
  • Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
  • Mirsky, Leonid (1990), Introducción al álgebra lineal , Publicaciones de Courier Dover, ISBN 978-0-486-66434-7

Enlaces externos [ editar ]

  • Medios relacionados con matrices cuadradas en Wikimedia Commons