En matemáticas , un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; [1] en otras palabras, es el producto de algún número entero consigo mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que es igual a 3 2 y se puede escribir como 3 × 3 .
La notación habitual para el cuadrado de un número n no es el producto n × n , sino la exponenciación equivalente n 2 , generalmente pronunciada como " n cuadrado". El número del cuadrado del nombre proviene del nombre de la forma. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario ( 1 × 1 ). Por tanto, un cuadrado con una longitud de lado n tiene un área n 2 . En otras palabras, si un número cuadrado está representado por npuntos, los puntos se pueden organizar en filas como un cuadrado, cada lado del cual tiene el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n ; por lo tanto, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son números cúbicos y números triangulares ).
Los números cuadrados no son negativos . Otra forma de decir que un número entero (no negativo) es un número cuadrado es que su raíz cuadrada es nuevamente un número entero. Por ejemplo, entonces 9 es un número cuadrado.
Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados perfectos excepto 1 se llama libre de cuadrados .
Para un número entero no negativo n , el n- ésimo número cuadrado es n 2 , siendo 0 2 = 0 el cero . El concepto de cuadrado puede extenderse a otros sistemas numéricos. Si se incluyen números racionales , entonces un cuadrado es la razón de dos enteros cuadrados y, a la inversa, la razón de dos enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo,.
Comenzando con 1, hay números cuadrados hasta m inclusive , donde la expresiónrepresenta el piso del número x .
Ejemplos de
Los cuadrados (secuencia A000290 en el OEIS ) menores que 60 2 = 3600 son:
- 0 2 = 0
- 1 2 = 1
- 2 2 = 4
- 3 2 = 9
- 4 2 = 16
- 5 2 = 25
- 6 2 = 36
- 7 2 = 49
- 8 2 = 64
- 9 2 = 81
- 10 2 = 100
- 11 2 = 121
- 12 2 = 144
- 13 2 = 169
- 14 2 = 196
- 15 2 = 225
- 16 2 = 256
- 17 2 = 289
- 18 2 = 324
- 19 2 = 361
- 20 2 = 400
- 21 2 = 441
- 22 2 = 484
- 23 2 = 529
- 24 2 = 576
- 25 2 = 625
- 26 2 = 676
- 27 2 = 729
- 28 2 = 784
- 29 2 = 841
- 30 2 = 900
- 31 2 = 961
- 32 2 = 1024
- 33 2 = 1089
- 34 2 = 1156
- 35 2 = 1225
- 36 2 = 1296
- 37 2 = 1369
- 38 2 = 1444
- 39 2 = 1521
- 40 2 = 1600
- 41 2 = 1681
- 42 2 = 1764
- 43 2 = 1849
- 44 2 = 1936
- 45 2 = 2025
- 46 2 = 2116
- 47 2 = 2209
- 48 2 = 2304
- 49 2 = 2401
- 50 2 = 2500
- 51 2 = 2601
- 52 2 = 2704
- 53 2 = 2809
- 54 2 = 2916
- 55 2 = 3025
- 56 2 = 3136
- 57 2 = 3249
- 58 2 = 3364
- 59 2 = 3481
La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor está dada por la identidad n 2 - ( n - 1) 2 = 2 n - 1 . De manera equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, n 2 = ( n - 1) 2 + ( n - 1) + n .
Propiedades
El número m es un número cuadrado si y solo si se pueden organizar m puntos en un cuadrado:
m = 1 2 = 1 | |
m = 2 2 = 4 | |
m = 3 2 = 9 | |
m = 4 2 = 16 | |
m = 5 2 = 25 |
La expresión para el n- ésimo número cuadrado es n 2 . Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares como se puede ver en las imágenes de arriba, donde un cuadrado resulta del anterior sumando un número impar de puntos (mostrado en magenta). La fórmula sigue:
Por ejemplo, 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .
Hay varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el n- ésimo número del cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante n 2 = ( n - 1) 2 + ( n - 1) + n = ( n - 1) 2 + (2 n - 1) . Alternativamente, el n- ésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el ( n - 1) ésimo cuadrado, restando el ( n - 2) número cuadrado y sumando 2, porque n 2 = 2 ( n - 1) 2 - ( n - 2) 2 + 2 . Por ejemplo,
- 2 x 5 2 - 4 2 + 2 = 2 x 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2 .
Un número menor que un cuadrado ( m - 1) es siempre el producto de y (por ejemplo, 8 × 6 es igual a 48, mientras que 7 2 es igual a 49). Por lo tanto, 3 es el único número primo uno menos que un cuadrado.
Un número cuadrado también es la suma de dos números triangulares consecutivos . La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado . Cada cuadrado impar es también un número octogonal centrado .
Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para producir el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma 4 k (8 m + 7) . Un entero positivo se puede representar como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4 k + 3 . Esto está generalizado por el problema de Waring .
En base 10 , un número cuadrado puede terminar solo con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:
- si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 0 (de hecho, los dos últimos dígitos deben ser 00);
- si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en 1;
- si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado termina en 4;
- si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en 9;
- si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en 6; y
- si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 5 (de hecho, los dos últimos dígitos deben ser 25).
En base 12 , un número cuadrado puede terminar solo con dígitos cuadrados (como en base 12, un número primo puede terminar solo con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:
- si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0;
- si un número no es divisible ni por 2 ni por 3, su cuadrado termina en 1;
- si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4; y
- si un número no es divisible por 2, sino por 3, su cuadrado termina en 9.
Se pueden dar reglas similares para otras bases o para dígitos anteriores (las decenas en lugar del dígito de las unidades, por ejemplo). [ cita requerida ] Todas estas reglas se pueden probar comprobando un número fijo de casos y usando aritmética modular .
En general, si un primo p divide un número cuadrado m, entonces el cuadrado de p también debe dividir m ; si p falla en dividirmetro/pag, entonces m definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la oración anterior, se concluye que cada primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluyendo posiblemente 0 veces). Por lo tanto, el número m es un número cuadrado si y solo si, en su representación canónica , todos los exponentes son pares.
Las pruebas de cuadratura se pueden utilizar como una forma alternativa en la factorización de grandes números. En lugar de probar la divisibilidad, pruebe la cuadratura: para m dado y algún número k , si k 2 - m es el cuadrado de un número entero n, entonces k - n divide m . (Ésta es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados ). Por ejemplo, 100 2 - 9991 es el cuadrado de 3, por lo tanto, 100 - 3 divide 9991. Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de k - n a k + n donde k cubre algún rango de números naturales
Un número cuadrado no puede ser un número perfecto .
La suma de los n primeros números cuadrados es
Los primeros valores de estas sumas, los números piramidales cuadrados , son: (secuencia A000330 en la OEIS )
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201 ...
La suma de los primeros números impares, que comienzan con uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de Galileo de los números impares : si un cuerpo caer desde el reposo cubre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, cubre 3, 5, 7, etc. unidades de distancia en intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. De s = ut + 1/2en 2 , para u = 0 y constante a (aceleración debida a la gravedad sin resistencia del aire); entonces s es proporcional a t 2 , y la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros de tiempo transcurrido. [2]
La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros números enteros positivos; este es el teorema de Nicomachus .
Todos los cuartos poderes, sextos poderes, octavos poderes y así sucesivamente son cuadrados perfectos.
Números cuadrados pares e impares
Los cuadrados de números pares son pares (y de hecho divisibles entre 4), ya que (2 n ) 2 = 4 n 2 .
Los cuadrados de números impares son impares, ya que (2 n + 1) 2 = 4 ( n 2 + n ) + 1 .
De ello se deduce que las raíces cuadradas de números cuadrados pares son pares y las raíces cuadradas de números cuadrados impares son impares.
Como todos los números cuadrados pares son divisibles por 4, los números pares de la forma 4 n + 2 no son números cuadrados.
Como todos los números cuadrados impares son de la forma 4 n + 1 , los números impares de la forma 4 n + 3 no son números cuadrados.
Los cuadrados de números impares tienen la forma 8 n + 1 , ya que (2 n + 1) 2 = 4 n ( n + 1) + 1 y n ( n + 1) es un número par.
Cada cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado . La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares es un múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar superior siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar superior es ocho veces un número triangular menos ocho. Dado que todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de 2 n que difieran en una cantidad que contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma 2 n - 1 es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma 2 n + 1 es 9.
Casos especiales
- Si el número tiene la forma m 5 donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n 25 donde n = m ( m + 1) y representa dígitos antes del 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 se puede calcular mediante n = 6 × (6 + 1) = 42 lo que hace que el cuadrado sea igual a 4225.
- Si el número tiene la forma m 0 donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n 00 donde n = m 2 . Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
- Si el número tiene dos dígitos y es de la forma 5 m donde m representa el dígito de las unidades, su cuadrado es aabb donde aa = 25 + m y bb = m 2 . Ejemplo: Para calcular el cuadrado de 57, 25 + 7 = 32 y 7 2 = 49, lo que significa 57 2 = 3249.
- Si el número termina en 5, su cuadrado terminará en 5; de manera similar para terminar en 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc. Si el número termina en 6, su cuadrado terminará en 6, de manera similar para terminar en 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Por ejemplo, el cuadrado de 55376 es 3066501376, ambos terminan en 376 . (Los números 5, 6, 25, 76, etc. se denominan números automórficos . Son la secuencia A003226 en la OEIS . [3] )
Ver también
- Identidad de Brahmagupta-Fibonacci : expresión de un producto de sumas de cuadrados como suma de cuadrados
- Número cúbico : número elevado a la tercera potencia
- Identidad de cuatro cuadrados de Euler : un producto de sumas de cuatro cuadrados es una suma de cuatro cuadrados
- Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados : condición bajo la cual un primo impar es una suma de dos cuadrados
- Algunas identidades que involucran varios cuadrados
- Raíz cuadrada entera : entero mayor que es más pequeño que una raíz cuadrada
- Métodos para calcular raíces cuadradas : algoritmos para calcular raíces cuadradas
- Potencia de dos : dos elevado a una potencia entera
- Triple pitagórico : tres números enteros positivos, los cuadrados de dos de los cuales suman el cuadrado del tercero.
- Residuo cuadrático : entero que es un cuadrado perfecto módulo algún entero
- Función cuadrática: función polinomial de grado dos
- Número triangular cuadrado: número entero que es tanto un cuadrado perfecto como un número triangular
Notas
- ^ Algunos autores también llaman cuadradosperfectos a los cuadrados de números racionales .
- ^ Olenick, Richard P .; Apostol, Tom M .; Goodstein, David L. (14 de enero de 2008). El Universo Mecánico: Introducción a la Mecánica y al Calor . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003226 (números automórficos: n ^ 2 termina con n.)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
Otras lecturas
- Conway, JH y Guy, RK El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag, págs. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
- Kiran Parulekar. Propiedades asombrosas de los cuadrados y sus cálculos . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s