La raíz cuadrada de 2 , o la mitad de la potencia de 2 , escrita en matemáticas como o , es el número algebraico positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número 2 . [1] Técnicamente, debe llamarse raíz cuadrada principal de 2 , para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad.
Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de una diagonal a través de un cuadrado con lados de una unidad de longitud ; [2] esto se sigue del teorema de Pitágoras . Probablemente fue el primer número conocido por ser irracional . [3] La fracción99/70(≈ 1.4142 857) a veces se usa como una buena aproximación racional con un denominador razonablemente pequeño.
La secuencia A002193 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros consiste en los dígitos en la expansión decimal de la raíz cuadrada de 2, aquí truncada a 65 lugares decimales : [4]
- 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
Binario | 1.0110 1010 0000 1001 1110 … |
Decimal | 1,41421 35623 73095 0488… |
Hexadecimal | 1.6A09 E667 F3BC C908 B2F… |
Fracción continua |
Historia
La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800-1600 aC) da una aproximación de √ 2 en cuatro cifras sexagesimales , 1 24 51 10 , que tiene una precisión de aproximadamente seis dígitos decimales , [5] y es el número de tres posiciones más cercano posible representación sexagesimal de √ 2 :
Otra aproximación temprana se da en los textos matemáticos indios antiguos, las Sulbasutras (c. 800-200 a. C.), como sigue: Aumenta la longitud [del lado] en su tercio y este tercero en su propio cuarto menos la trigésimo cuarta parte de ese cuarto. [6] Es decir,
Esta aproximación es la séptima de una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas basadas en la secuencia de números de Pell , que puede derivarse de la expansión fraccionaria continua de √ 2 . A pesar de tener un denominador más pequeño, es solo un poco menos preciso que la aproximación babilónica.
Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en el lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero a menudo se menciona el nombre de Hippasus de Metapontum. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hippasus fue asesinado por divulgarlo. [2] [7] [8] [9] La raíz cuadrada de dos se llama ocasionalmente número de Pitágoras o constante de Pitágoras , por ejemplo, por Conway y Guy (1996) . [10]
Arquitectura romana antigua
En la arquitectura romana antigua , Vitruvio describe el uso de la raíz cuadrada de 2 progresión o técnica ad quadratum . Consiste básicamente en un método geométrico, más que aritmético, para doblar un cuadrado, en el que la diagonal del cuadrado original es igual al lado del cuadrado resultante. Vitruvio atribuye la idea a Platón . El sistema se empleó para construir aceras creando un cuadrado tangente a las esquinas del cuadrado original a 45 grados del mismo. La proporción también se utilizó para diseñar atrios dándoles una longitud igual a una diagonal tomada de un cuadrado, cuyos lados son equivalentes al ancho del atrio previsto. [11]
Valor decimal
Algoritmos de computación
Hay varios algoritmos para aproximar √ 2 como una proporción de números enteros o como un decimal. El algoritmo más común para esto, que se utiliza como base en muchas computadoras y calculadoras, es el método babilónico [12] para calcular raíces cuadradas, que es uno de los muchos métodos para calcular raíces cuadradas . Es como sigue:
Primero, elija una suposición, un 0 > 0 ; el valor de la conjetura afecta solo a cuántas iteraciones se requieren para alcanzar una aproximación de cierta precisión. Luego, usando esa suposición, repita el siguiente cálculo recursivo :
Cuantas más iteraciones a través del algoritmo (es decir, más cálculos realizados y mayor " n "), mejor será la aproximación. Cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. Comenzando con un 0 = 1 , los resultados del algoritmo son los siguientes:
- 1 ( a 0 )
- 3/2= 1 .5 ( a 1 )
- 17/12= 1,41 6 ... ( a 2 )
- 577/408= 1.41421 5 ... ( a 3 )
- 665857/470832= 1,41421356237 46 ... ( a 4 )
Aproximaciones racionales
Una aproximación racional simple 99/70(≈ 1.4142 857) a veces se usa. A pesar de tener un denominador de solo 70, se diferencia del valor correcto en menos de 1/10,000 (aprox. +0,72 × 10 −4 ). Dado que es un convergente de la representación de fracción continua de la raíz cuadrada de dos, cualquier mejor aproximación racional tiene un denominador no menor que 169, ya que 239/169 (≈ 1.4142012) es el siguiente convergente con un error de aprox. −0,12 × 10 −4 .
La aproximación racional de la raíz cuadrada de dos derivada de cuatro iteraciones del método babilónico después de comenzar con un 0 = 1 ( 665,857/470,832) es demasiado grande en aproximadamente 1,6 x 10 -12 ; su cuadrado es ≈2.000 000 000 0045 .
Registros en computación
En 1997, el equipo de Yasumasa Kanada calculó el valor de √ 2 en 137,438,953,444 lugares decimales . En febrero de 2006, el récord de cálculo de √ 2 se eclipsó con el uso de una computadora en casa. Shigeru Kondo calculó 1 billón de lugares decimales en 2010. [13] Entre las constantes matemáticas con expansiones decimales desafiantes computacionalmente, solo π se ha calculado con mayor precisión. [14] Dichos cálculos apuntan a verificar empíricamente si tales números son normales .
Esta es una tabla de registros recientes en el cálculo de los dígitos de √ 2 . [15]
Fecha | Nombre | Número de dígitos |
---|---|---|
28 de junio de 2016 | Ron Watkins | 10 billones |
3 de abril de 2016 | Ron Watkins | 5 billones |
9 de febrero de 2012 | Alexander Yee | 2 billones |
22 de marzo de 2010 | Shigeru Kondo | 1 billón |
Pruebas de irracionalidad
Se puede obtener una breve demostración de la irracionalidad de √ 2 a partir del teorema de la raíz racional , es decir, si p ( x ) es un polinomio mónico con coeficientes enteros, entonces cualquier raíz racional de p ( x ) es necesariamente un número entero. Aplicando esto al polinomio p ( x ) = x 2 - 2 , se deduce que √ 2 es un número entero o irracional. Debido a que √ 2 no es un número entero (2 no es un cuadrado perfecto), √ 2 debe ser irracional. Esta demostración se puede generalizar para mostrar que cualquier raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea el cuadrado de un número natural es irracional.
Para una prueba de que la raíz cuadrada de cualquier número natural no cuadrado es irracional, vea el descenso cuadrático irracional o infinito .
Prueba por descenso infinito
Una prueba de la irracionalidad del número es la siguiente prueba por descenso infinito . También es una prueba por contradicción , también conocida como prueba indirecta, en el sentido de que la proposición se prueba asumiendo que el opuesto de la proposición es verdadero y mostrando que este supuesto es falso, lo que implica que la proposición debe ser verdadera.
- Suponga que √ 2 es un número racional, lo que significa que existe un par de números enteros cuya razón es exactamente √ 2 .
- Si los dos números enteros tienen un factor común, se puede eliminar mediante el algoritmo euclidiano .
- Entonces √ 2 se puede escribir como una fracción irreducible a/Bde tal manera que una y b son coprimos números enteros (que tienen ningún factor común), que, además, significa que al menos una de una o b debe ser impar.
- Resulta que un 2/b 2= 2 y a 2 = 2 b 2 . ( ( a/B) n = un n/b n ) ( a 2 y b 2 son números enteros)
- Por lo tanto, a 2 es par porque es igual a 2 b 2 . ( 2 b 2 es necesariamente par porque es 2 veces otro número entero y los múltiplos de 2 son pares).
- De ello se deduce que a debe ser par (ya que los cuadrados de los números enteros impares nunca son pares).
- Como a es par, existe un entero k que cumple: a = 2 k .
- Sustituyendo 2 k del paso 7 por a en la segunda ecuación del paso 4: 2 b 2 = (2 k ) 2 es equivalente a 2 b 2 = 4 k 2 , que es equivalente a b 2 = 2 k 2 .
- Debido a que 2 k 2 es divisible por dos y, por lo tanto, par, y debido a que 2 k 2 = b 2 , se deduce que b 2 también es par, lo que significa que b es par.
- En los pasos 5 y 8, a y b son pares, lo que contradice quea/B es irreducible como se indica en el paso 3.
- QED
Debido a que existe una contradicción, la suposición (1) de que √ 2 es un número racional debe ser falsa. Esto significa que √ 2 no es un número racional. Es decir, √ 2 es irracional.
Aristóteles insinuó esta prueba en su Analytica Priora , §I.23. [16] Primero apareció como una prueba completa en los Elementos de Euclides , como la proposición 117 del Libro X. Sin embargo, desde principios del siglo XIX, los historiadores han acordado que esta prueba es una interpolación y no atribuible a Euclides. [17]
Prueba por factorización única
Al igual que con la prueba por descenso infinito, obtenemos . Siendo la misma cantidad, cada lado tiene la misma factorización prima por el teorema fundamental de la aritmética , y en particular, tendría que tener el factor 2 ocurriendo el mismo número de veces. Sin embargo, el factor 2 aparece un número impar de veces a la derecha, pero un número par de veces a la izquierda, una contradicción.
Prueba geométrica
John Horton Conway atribuye una prueba simple a Stanley Tennenbaum cuando este último era estudiante a principios de la década de 1950 [18] y cuya aparición más reciente se encuentra en un artículo de Noson Yanofsky en la edición de mayo-junio de 2016 de American Scientist . [19] En vista de dos cuadrados con lados enteros respectivamente una y b , uno de los cuales tiene dos veces el área de los demás, lugar dos copias del cuadrado más pequeño en el más grande como se muestra en la Figura 1. La zona de solapamiento cuadrado en el centro ( ( 2 b - a ) 2 ) debe ser igual a la suma de los dos cuadrados descubiertos ( 2 ( a - b ) 2 ). Sin embargo, estos cuadrados en la diagonal tienen lados enteros positivos que son más pequeños que los cuadrados originales. Repitiendo este proceso, hay cuadrados arbitrariamente pequeños, uno dos veces el área del otro, pero ambos tienen lados enteros positivos, lo cual es imposible ya que los números enteros positivos no pueden ser menores que 1.
Otro argumento geométrico reductio ad absurdum que muestra que √ 2 es irracional apareció en 2000 en el American Mathematical Monthly . [20] También es un ejemplo de prueba por descenso infinito . Utiliza la construcción clásica de compás y regla , lo que demuestra el teorema mediante un método similar al empleado por los antiguos geómetras griegos. Es esencialmente la misma prueba algebraica que en el párrafo anterior, vista geométricamente de otra manera.
Sea △ ABC un triángulo isósceles recto con hipotenusa de longitud my catetos n como se muestra en la Figura 2. Según el teorema de Pitágoras ,metro/norte= √ 2 . Supongamos que m y n son números enteros . Sea m : n una razón dada en sus términos más bajos .
Dibuje los arcos BD y CE con el centro de A . Únase a DE . De ello se deduce que AB = AD , AC = AE y ∠ BAC y ∠ DAE coinciden. Por lo tanto, los triángulos ABC y ADE son congruentes según SAS .
Como ∠ EBF es un ángulo recto y ∠ BEF es la mitad de un ángulo recto, △ BEF también es un triángulo isósceles recto. Por tanto, BE = m - n implica BF = m - n . Por simetría, DF = m - n , y △ FDC también es un triángulo isósceles recto. También se deduce que FC = n - ( m - n ) = 2 n - m .
Por lo tanto, hay un triángulo isósceles recto aún más pequeño, con hipotenusa de longitud 2 n - my catetos m - n . Estos valores son enteros incluso más pequeño que m y n y en la misma proporción, contradiciendo la hipótesis de que m : n es en su mínima expresión. Por lo tanto, m y n no pueden ser ambos enteros, por lo tanto √ 2 es irracional.
Prueba constructiva
En un enfoque constructivo, se distingue entre, por un lado, no ser racional y, por otro, ser irracional (es decir, estar cuantificablemente separado de todo racional), siendo este último una propiedad más fuerte. Dada enteros positivos a y b , ya que la valoración (es decir, la más alta potencia de 2 que divide un número) de 2 b 2 es impar, mientras que la valoración de un 2 es incluso, tienen que ser números enteros distintos; así | 2 b 2 - a 2 | ≥ 1 . Entonces [21]
siendo la última desigualdad cierta porque se supone que a/B≤ 3 - √ 2 (de lo contrario, la separación cuantitativa puede establecerse trivialmente). Esto da un límite inferior de1/3 b 2por la diferencia | √ 2 - a/B| , dando una prueba directa de irracionalidad al no apoyarse en la ley del medio excluido ; véase Errett Bishop (1985, p. 18). Esta demostración exhibe constructivamente una discrepancia entre √ 2 y cualquier racional.
Prueba por ecuaciones diofánticas
- Lema : para la ecuación diofántica en su forma primitiva (la más simple), existen soluciones enteras si y solo si o es extraño, pero nunca cuando ambos y son extraños. [22]
Prueba : Para la ecuación dada, solo hay seis combinaciones posibles de imparidad y uniformidad para valores de números enteros de y que producen un valor de número entero para . Una simple enumeración de las seis posibilidades muestra por qué cuatro de estas seis son imposibles. De las dos posibilidades restantes, se puede probar que una no contiene ninguna solución usando aritmética modular, dejando la única posibilidad restante como la única que contiene soluciones, si las hay.
x, y | z | |
---|---|---|
Ambos incluso | Incluso | Imposible. La ecuación diofántica dada es primitiva y por lo tanto no contiene factores comunes en todas partes. |
Ambos impares | Impar | Imposible. La suma de dos números impares no produce un número impar. |
Ambos incluso | Impar | Imposible. La suma de dos números pares no produce un número impar. |
Uno par, otro impar | Incluso | Imposible. La suma de un número par y un número impar no produce un número par. |
Ambos impares | Incluso | Posible |
Uno par, otro impar | Impar | Posible |
La quinta posibilidad (tanto y extraño y even) se puede demostrar que no contienen soluciones de la siguiente manera.
Desde incluso, debe ser divisible por , por eso
El cuadrado de cualquier número impar es siempre . El cuadrado de cualquier número par es siempre. Ya que ambos y son extraños y incluso:
lo cual es imposible. Por tanto, también se descarta la quinta posibilidad, dejando que la sexta sea la única combinación posible que contenga soluciones, en su caso.
Una extensión de este lema es el resultado de que nunca se pueden sumar dos cuadrados de números enteros idénticos para producir otro cuadrado de números enteros, incluso cuando la ecuación no está en su forma más simple.
- Teorema: es irracional.
Prueba : asumires racional. Por lo tanto,
- dónde
- Cuadrando ambos lados,
Pero el lema prueba que la suma de dos cuadrados de números enteros idénticos no puede producir otro cuadrado de números enteros.
Por lo tanto, la suposición de que es racional se contradice.
es irracional. QED
Multiplicación inversa
El inverso multiplicativo (recíproco) de la raíz cuadrada de dos (es decir, la raíz cuadrada de 1/2) es una constante ampliamente utilizada .
- 0.707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (secuencia A010503 en la OEIS )
La mitad de √ 2 , también el recíproco de √ 2 , es una cantidad común en geometría y trigonometría porque el vector unitario que forma un ángulo de 45 ° con los ejes en un plano tiene las coordenadas
Este número satisface
Propiedades
Una propiedad interesante de √ 2 es
desde
Esto está relacionado con la propiedad de las proporciones de plata .
√ 2 también se puede expresar en términos de las copias de la unidad imaginaria i usando solo la raíz cuadrada y las operaciones aritméticas , si el símbolo de la raíz cuadrada se interpreta adecuadamente para los números complejos i y - i :
√ 2 es también el único número real distinto de 1 cuyo tetrate infinito(es decir, torre exponencial infinita) es igual a su cuadrado. En otras palabras: si para c> 1 , x 1 = c y x n +1 = c x n para n > 1 , el límite de x n se llamará n → ∞ (si este límite existe) f ( c ) . Entonces √ 2 es el único número c > 1 para el cual f ( c ) = c 2 . O simbólicamente:
√ 2 aparece en la fórmula de Viète para π :
para m raíces cuadradas y solo un signo menos. [23]
Similar en apariencia pero con un número finito de términos, √ 2 aparece en varias constantes trigonométricas: [24]
No se sabe si √ 2 es un número normal , una propiedad más fuerte que la irracionalidad, pero los análisis estadísticos de su expansión binaria son consistentes con la hipótesis de que es normal en base dos . [25]
Representaciones
Serie y producto
La identidad porque π/4 = pecado π/4 = 1/√ 2, junto con las infinitas representaciones de productos para el seno y el coseno, conduce a productos como
y
o equivalente,
El número también se puede expresar tomando la serie de Taylor de una función trigonométrica. Por ejemplo, la serie para cos π/4 da
La serie de Taylor de √ 1 + x con x = 1 y usando el factorial doble n !! da
La convergencia de esta serie se puede acelerar con una transformada de Euler , produciendo
No se sabe si √ 2 se puede representar con una fórmula de tipo BBP . Sin embargo, las fórmulas de tipo BBP son conocidas para π √ 2 y √ 2 ln (1+ √ 2 ) . [26]
El número puede estar representado por una infinita serie de fracciones egipcias , con denominadores definidos por 2 n th términos de un Fibonacci -como una relación de recurrencia (n) = 34a (n-1) -a (n-2), a (0 ) = 0, a (1) = 6. [27]
Fracción continua
La raíz cuadrada de dos tiene la siguiente representación de fracción continua :
Los convergentes formados al truncar esta representación forman una secuencia de fracciones que se aproximan a la raíz cuadrada de dos para aumentar la precisión, y que se describen mediante los números de Pell (conocidos como números de lado y diámetro para los antiguos griegos debido a su uso para aproximar la razón entre los lados y la diagonal de un cuadrado). Los primeros convergentes son:1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. El convergentepag/qdifiere de √ 2 en casi exactamente1/2 q 2 √ 2[ cita requerida ] y luego el siguiente convergente esp + 2 q/p + q.
Cuadrado anidado
Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen en √ 2 :
Aplicaciones
Tamaño de papel
En 1786, el profesor de física alemán Georg Lichtenberg [28] descubrió que cualquier hoja de papel cuyo borde largo sea √ 2 veces más largo que su borde corto podría doblarse por la mitad y alinearse con su lado más corto para producir una hoja con exactamente las mismas proporciones que el original. Esta proporción de longitudes del lado más largo sobre el más corto garantiza que cortar una hoja por la mitad a lo largo de una línea da como resultado que las hojas más pequeñas tengan la misma proporción (aproximada) que la hoja original. Cuando Alemania estandarizó los tamaños de papel a principios del siglo XX, utilizaron la proporción de Lichtenberg para crear la serie "A" de tamaños de papel. [28] Actualmente, la relación de aspecto (aproximada) de los tamaños de papel bajo ISO 216 (A4, A0, etc.) es 1: √ 2 .
Prueba:
dejar longitud más corta y mayor longitud de los lados de una hoja de papel, con
- como lo requiere la norma ISO 216.
Dejar sea la relación analógica de la hoja partida a la mitad, entonces
- .
Ciencias fisicas
Hay algunas propiedades interesantes que involucran la raíz cuadrada de 2 en las ciencias físicas :
- La raíz cuadrada de dos es la relación de frecuencia de un intervalo de tritono en la música de temperamento igual de doce tonos .
- La raíz cuadrada de dos forma la relación de números de f en lentes fotográficos, lo que a su vez significa que la relación de áreas entre dos aperturas sucesivas es 2.
- La latitud celeste (declinación) del Sol durante los puntos astronómicos de cuarto de día de un planeta es igual a la inclinación del eje del planeta dividida por √ 2 .
Ver también
- Lista de constantes matemáticas
- Raíz cuadrada de 3 , √ 3
- Raíz cuadrada de 5 , √ 5
- Constante de Gelfond-Schneider , 2 √ 2
- Proporción de plata , 1 + √ 2
Notas
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- ↑ Aunque el término "método babilónico" es común en el uso moderno, no hay evidencia directa que muestre cómo los babilonios calcularon la aproximación de √ 2 vista en la tableta YBC 7289. Fowler y Robson ofrecen conjeturas informadas y detalladas.
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enlaces externos
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