Código estabilizador

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La teoría de la corrección de errores cuánticos juega un papel destacado en la realización práctica y la ingeniería de la computación cuántica y los dispositivos de comunicación cuántica . Los primeros códigos de corrección de errores cuánticos son sorprendentemente similares a los códigos de bloque clásicos en su funcionamiento y rendimiento. Los códigos de corrección de errores cuánticos restauran un estado cuántico descodificado y ruidoso a un estado cuántico puro. Un código estabilizador de corrección de errores cuánticos agrega qubits ancilla a qubits que queremos proteger. Un circuito de codificación unitario rota el estado global en un subespacio de un espacio de Hilbert más grande . Esta altamente enredada, el estado codificado corrige los errores locales con ruido. Un código de corrección de errores cuánticos hace que la computación cuántica y la comunicación cuántica sean prácticas al proporcionar una forma para que un remitente y un receptor simulen un canal qubit silencioso dado un canal qubit ruidoso cuyo ruido se ajusta a un modelo de error particular.

La teoría del estabilizador de la corrección de errores cuánticos permite importar algunos códigos binarios o cuaternarios clásicos para usarlos como código cuántico. Sin embargo, al importar el código clásico, debe satisfacer la restricción de doble contenido (o auto-ortogonalidad). Los investigadores han encontrado muchos ejemplos de códigos clásicos que satisfacen esta restricción, pero la mayoría de los códigos clásicos no. Sin embargo, sigue siendo útil importar códigos clásicos de esta manera (aunque, vea cómo el formalismo estabilizador asistido por entrelazamiento supera esta dificultad).

Antecedentes matemáticos

El formalismo estabilizador explota elementos del grupo Pauli para formular códigos cuánticos de corrección de errores. El conjunto consta de los operadores Pauli :${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}}$

${\displaystyle I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Los operadores anteriores actúan sobre un solo qubit, un estado representado por un vector en un espacio de Hilbert bidimensional . Los operadores tienen valores propios y conmutan o contrarrestan . El conjunto consta de productos tensoriales de- pliegues de operadores de Pauli :${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.}$

Elementos de acto sobre un registro cuántico de qubits. Ocasionalmente omitimos los símbolos del producto tensorial en lo que sigue para que${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.}$

El grupo de Pauli plegado juega un papel importante tanto para el circuito de codificación como para el procedimiento de corrección de errores de un código estabilizador cuántico sobre qubits.${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle n}$

Definición

Definamos un código estabilizador de corrección de errores cuánticos para codificar qubits lógicos en qubits físicos. La tasa de dicho código es . Su estabilizador es un subgrupo abeliano del grupo Pauli-pliegue . no contiene el operador . El simultánea - espacio propio de los operadores constituye el codespace . El espacio de código tiene dimensión para que podamos codificar qubits en él. El estabilizador tiene una representación mínima en términos de generadores independientes${\displaystyle \left[n,k\right]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k/n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle -I^{\otimes n}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.}$

Los generadores son independientes en el sentido de que ninguno de ellos es producto de otros dos (hasta una fase global ). Los operadores funcionan de la misma manera que lo hace una matriz de verificación de paridad para un código de bloque lineal clásico .${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-k}}$

Condiciones de corrección de errores del estabilizador

Una de las nociones fundamentales en la teoría de la corrección de errores cuánticos es que basta para corregir un conjunto de errores discretos con apoyo en el grupo de Pauli . Supongamos que los errores que afectan a un estado cuántico codificado son un subconjunto del grupo de Pauli :${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.}$

Debido a que y son ambos subconjuntos de , un error que afecta a un estado cuántico codificado conmuta o anticonmuta con cualquier elemento en particular en . El error se puede corregir si se contrarresta con un elemento en formato . Un error anticommuting es detectable por la medición de cada elemento en y el cálculo de un síndrome de identificación . El síndrome es un vector binario de longitud cuyos elementos identifican si el error conmuta o anticonmuta con cada uno . Un error que conmuta con todos los elementos de${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$se puede corregir si y solo si está en formato . Corrompe el estado codificado si conmuta con todos los elementos de pero no se encuentra en . Así que resumimos de forma compacta las condiciones de corrección de errores del estabilizador: un código de estabilizador puede corregir cualquier error en si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E_{1},E_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$

o

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}}$

donde es el centralizador de (es decir, el subgrupo de elementos que conmuta con todos los miembros de , también conocido como conmutador).${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Relación entre el grupo de Pauli y los vectores binarios

Existe un mapeo simple pero útil entre los elementos de y el espacio vectorial binario . Este mapeo proporciona una simplificación de la teoría de corrección de errores cuánticos. Representa códigos cuánticos con vectores binarios y operaciones binarias en lugar de con operadores de Pauli y operaciones matriciales, respectivamente.${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

Primero damos el mapeo para el caso de un qubit. Supongamos que es un conjunto de clases de equivalencia de un operador que tienen la misma fase :${\displaystyle \left[A\right]}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

Sea el conjunto de operadores Pauli sin fase donde . Defina el mapa como${\displaystyle \left[\Pi \right]}$${\displaystyle \left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}}$${\displaystyle N:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \Pi }$

${\displaystyle 00\to I,\,\,01\to X,\,\,11\to Y,\,\,10\to Z}$

Supongamos . Vamos a emplear el taquigrafía y donde , , , . Por ejemplo, supongamos . Entonces . El mapa induce un isomorfismo porque la adición de vectores en es equivalente a la multiplicación de operadores de Pauli hasta una fase global:${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$${\displaystyle u=\left(z|x\right)}$${\displaystyle v=\left(z^{\prime }|x^{\prime }\right)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle u=\left(0|1\right)}$${\displaystyle N\left(u\right)=X}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].}$

Deje que denotan el producto simpléctico entre dos elementos :${\displaystyle \odot }$${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime }.}$

El producto simpléctico da las relaciones de conmutación de elementos de :${\displaystyle \odot }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle N\left(u\right)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).}$

El producto simpléctico y el mapeo proporcionan una forma útil de expresar las relaciones de Pauli en términos de álgebra binaria . La extensión de las definiciones anteriores y el mapeo a múltiples qubits es sencilla. Deje denotan un elemento arbitrario de . De manera similar, podemos definir el grupo Pauli -qubit libre de fase donde${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {A} =A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}}$${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}}$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

La operación de grupo para la clase de equivalencia anterior es la siguiente:${\displaystyle \ast }$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].}$

La clase de equivalencia forma un grupo conmutativo en funcionamiento . Considere el espacio vectorial -dimensional${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}=\left\{\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\mathbf {x} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.}$

Forma el grupo conmutativo con operación definida como suma de vectores binarios. Empleamos la notación para representar cualquier vector respectivamente. Cada vector y tiene elementos y respectivamente con representaciones similares para y . El producto simpléctico de y es${\displaystyle (\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n},+)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {z} |\mathbf {x} \right),\mathbf {v} =\left(\mathbf {z} ^{\prime }|\mathbf {x} ^{\prime }\right)}$${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \odot }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime }-x_{i}z_{i}^{\prime },}$

o

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},}$

donde y . Definamos un mapa de la siguiente manera:${\displaystyle u_{i}=\left(z_{i}|x_{i}\right)}$${\displaystyle v_{i}=\left(z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime }\right)}$${\displaystyle \mathbf {N} :\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \Pi ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \otimes N\left(u_{n}\right).}$

Dejar

${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}}\otimes \cdots \otimes X^{x_{n}},\,\,\,\,\,\,\,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{z_{1}}\otimes \cdots \otimes Z^{z_{n}},}$

para que y pertenezcan a la misma clase de equivalencia :${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$${\displaystyle \mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].}$

El mapa es un isomorfismo por la misma razón dada como en el caso anterior:${\displaystyle \left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],}$

donde . El producto simpléctico captura las relaciones de conmutación de cualquier operador y :${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)}$

${\displaystyle \mathbf {N\left(\mathbf {u} \right)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(-1\right)^{\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right).}$

La representación binaria y el álgebra simpléctica anteriores son útiles para hacer más explícita la relación entre la corrección de errores lineales clásica y la corrección de errores cuánticos .

Al comparar los códigos de corrección de errores cuánticos en este lenguaje con los espacios vectoriales simplécticos , podemos ver lo siguiente. Un subespacio simpléctico corresponde a una suma directa de álgebras de Pauli (es decir, qubits codificados), mientras que un subespacio isotrópico corresponde a un conjunto de estabilizadores.

Ejemplo de un código de estabilizador

Un ejemplo de un código estabilizador es el código estabilizador de cinco qubit . Codifica qubit lógicos en qubits físicos y protege contra un error arbitrario de un solo qubit. Tiene distancia de código . Su estabilizador consta de operadores Pauli:${\displaystyle \left[[5,1,3\right]]}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle d=3}$${\displaystyle n-k=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}}$

Los operadores anteriores viajan diariamente. Por lo tanto, el espacio de código es el espacio propio + 1 simultáneo de los operadores anteriores. Suponga que ocurre un error de un solo qubit en el registro cuántico codificado. Un error de un solo qubit está en el conjunto donde denota un error de Pauli en qubit . Es sencillo verificar que cualquier error arbitrario de un solo qubit tiene un síndrome único. El receptor corrige cualquier error de un solo qubit identificando el síndrome y aplicando una operación correctiva.${\displaystyle \left\{X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$

Referencias

• D. Gottesman, "Códigos estabilizadores y corrección de errores cuánticos", quant-ph / 9705052, Caltech Ph.D. tesis. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
• Shor, Peter W. (1 de octubre de 1995). "Esquema para reducir la decoherencia en la memoria de la computadora cuántica". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 52 (4): R2493 – R2496. doi : 10.1103 / physreva.52.r2493 . ISSN  1050-2947 . PMID  9912632 .
• Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1 de agosto de 1996). "Existen buenos códigos cuánticos de corrección de errores". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 54 (2): 1098-1105. arXiv : quant-ph / 9512032 . doi : 10.1103 / physreva.54.1098 . ISSN  1050-2947 . PMID  9913578 . S2CID  11524969 .
• Steane, AM (29 de julio de 1996). "Códigos de corrección de errores en la teoría cuántica". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 77 (5): 793–797. doi : 10.1103 / physrevlett.77.793 . ISSN  0031-9007 . PMID  10062908 .
• A. Calderbank, E. Rains, P. Shor y N. Sloane, “Corrección de errores cuánticos mediante códigos sobre GF (4)”, IEEE Trans. Inf. Teoría, vol. 44, págs. 1369-1387, 1998. Disponible en https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006