En matemáticas , las constantes de Stieltjes son los números γ k {\ Displaystyle \ gamma _ {k}} que ocurren en la expansión de la serie Laurent de la función zeta de Riemann :
ζ ( s ) = 1 s - 1 + ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte norte ! γ norte ( s - 1 ) norte . {\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} \ gamma _ {n} (s-1) ^ {n}.} El constante γ 0 = γ = 0.577 ... {\ Displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma = 0.577 \ dots} se conoce como la constante de Euler-Mascheroni .
Representaciones Las constantes de Stieltjes están dadas por el límite
γ norte = lim metro → ∞ { ∑ k = 1 metro ( en k ) norte k - ( en metro ) norte + 1 norte + 1 } . {\ Displaystyle \ gamma _ {n} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(\ ln k) ^ {n} } {k}} - {\ frac {(\ ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}}.} (En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0 0 , que se toma como 1.)
La fórmula de diferenciación de Cauchy conduce a la representación integral
γ norte = ( - 1 ) norte norte ! 2 π ∫ 0 2 π mi - norte I X ζ ( mi I X + 1 ) D X . {\ Displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- nix} \ zeta \ left (e ^ {ix} +1 \ right) dx.} Varias representaciones en términos de integrales y series infinitas se dan en obras de Jensen , Franel, Hermite , Hardy , Ramanujan , Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine y algunos otros autores. [1] [2] [3] [4] [5] [6] En particular, la fórmula integral de Jensen-Franel, a menudo atribuida erróneamente a Ainsworth y Howell, establece que
γ norte = 1 2 δ norte , 0 + 1 I ∫ 0 ∞ D X mi 2 π X - 1 { ( en ( 1 - I X ) ) norte 1 - I X - ( en ( 1 + I X ) ) norte 1 + I X } , norte = 0 , 1 , 2 , ... {\ Displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {n, 0} + {\ frac {1} {i}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (1-ix)) ^ {n}} {1-ix}} - {\ frac {(\ ln (1 + ix)) ^ {n}} {1 + ix}} \ right \} \ ,, \ qquad \ quad n = 0,1,2, \ ldots} donde δ n, k es el símbolo de Kronecker (delta de Kronecker) . [5] [6] Entre otras fórmulas, encontramos
γ norte = - π 2 ( norte + 1 ) ∫ - ∞ ∞ ( en ( 1 2 ± I X ) ) norte + 1 aporrear 2 π X D X norte = 0 , 1 , 2 , ... {\ Displaystyle \ gamma _ {n} = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (\ ln \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ pm ix \ right) \ right) ^ {n + 1}} {\ cosh ^ {2} \ pi x}} \, dx \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad n = 0,1,2, \ ldots} γ 1 = - [ γ - en 2 2 ] en 2 + I ∫ 0 ∞ D X mi π X + 1 { en ( 1 - I X ) 1 - I X - en ( 1 + I X ) 1 + I X } γ 1 = - γ 2 - ∫ 0 ∞ [ 1 1 - mi - X - 1 X ] mi - X en X D X {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ gamma _ {1} = - \ left [\ gamma - {\ frac {\ ln 2} {2}} \ right] \ ln 2 + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {\ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {\ ln (1-ix)} {1-ix}} - {\ frac {\ ln (1 + ix)} {1 + ix}} \ right \} \\ [6 mm] \ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ gamma ^ {2} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right] e ^ {- x} \ ln x \, dx \ end {matriz}}} ver. [1] [5] [7]
En lo que respecta a las representaciones en serie, Hardy dio en 1912 una famosa serie que implica una parte entera de un logaritmo [8].
γ 1 = en 2 2 ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k k ⌊ Iniciar sesión 2 k ⌋ ⋅ ( 2 Iniciar sesión 2 k - ⌊ Iniciar sesión 2 2 k ⌋ ) {\ Displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ ln 2} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k }} \ lfloor \ log _ {2} {k} \ rfloor \ cdot \ left (2 \ log _ {2} {k} - \ lfloor \ log _ {2} {2k} \ rfloor \ right)} Israilov [9] dio series semi-convergentes en términos de números de Bernoulli B 2 k {\ Displaystyle B_ {2k}}
γ metro = ∑ k = 1 norte ( en k ) metro k - ( en norte ) metro + 1 metro + 1 - ( en norte ) metro 2 norte - ∑ k = 1 norte - 1 B 2 k ( 2 k ) ! [ ( en X ) metro X ] X = norte ( 2 k - 1 ) - θ ⋅ B 2 norte ( 2 norte ) ! [ ( en X ) metro X ] X = norte ( 2 norte - 1 ) , 0 < θ < 1 {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m}} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ Left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2k-1) } - \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N}} {(2N)!}} \ left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2N-1)} \ ,, \ qquad 0 <\ theta <1} Connon, [10] Blagouchine [6] [11] y Coppo [1] dieron varias series con los coeficientes binomiales
γ metro = - 1 metro + 1 ∑ norte = 0 ∞ 1 norte + 1 ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro + 1 γ metro = - 1 metro + 1 ∑ norte = 0 ∞ 1 norte + 2 ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro + 1 k + 1 γ metro = - 1 metro + 1 ∑ norte = 0 ∞ H norte + 1 ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 2 ) ) metro + 1 γ metro = ∑ norte = 0 ∞ | GRAMO norte + 1 | ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro k + 1 {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 1)) ^ { m + 1} \\ [7 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m + 1}} {k + 1}} \\ [7 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n + 1} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 2)) ^ {m +1} \\ [7 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | G_ {n + 1} \ right | \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ end {matriz }}} donde G n son los coeficientes de Gregory , también conocidos como números logarítmicos recíprocos ( G 1 = + 1/2, G 2 = −1 / 12, G 3 = + 1/24, G 4 = −19 / 720, ...) . Series más generales de la misma naturaleza incluyen estos ejemplos [11]
γ metro = - ( en ( 1 + a ) ) metro + 1 metro + 1 + ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte ψ norte + 1 ( a ) ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro k + 1 , ℜ ( a ) > - 1 {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {(\ ln (1 + a)) ^ {m + 1}} {m + 1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}}, \ quad \ Re (a)> - 1} y
γ metro = - 1 r ( metro + 1 ) ∑ l = 0 r - 1 ( en ( 1 + a + l ) ) metro + 1 + 1 r ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte norte norte + 1 , r ( a ) ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro k + 1 , ℜ ( a ) > - 1 , r = 1 , 2 , 3 , ... {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {r (m + 1)}} \ sum _ {l = 0} ^ {r-1} (\ ln (1 + a + l) ) ^ {m + 1} + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} N_ {n + 1, r} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k +1}}, \ quad \ Re (a)> - 1, \; r = 1,2,3, \ ldots} o
γ metro = - 1 1 2 + a { ( - 1 ) metro metro + 1 ζ ( metro + 1 ) ( 0 , 1 + a ) - ( - 1 ) metro ζ ( metro ) ( 0 ) - ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte ψ norte + 2 ( a ) ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( en ( k + 1 ) ) metro k + 1 } , ℜ ( a ) > - 1 {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {{\ tfrac {1} {2}} + a}} \ left \ {{\ frac {(-1) ^ {m}} { m + 1}} \, \ zeta ^ {(m + 1)} (0,1 + a) - (- 1) ^ {m} \ zeta ^ {(m)} (0) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 2} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ right \}, \ quad \ Re (a)> - 1} donde ψ n ( a ) son los polinomios de Bernoulli del segundo tipo y N n, r ( a ) son los polinomios dados por la ecuación generadora
( 1 + z ) a + metro - ( 1 + z ) a en ( 1 + z ) = ∑ norte = 0 ∞ norte norte , metro ( a ) z norte , | z | < 1 , {\ Displaystyle {\ frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, \ qquad | z | <1,} respectivamente (tenga en cuenta que N n, 1 ( a ) = ψ n ( a ) ). [12] Oloa y Tauraso [13] mostraron que las series con números armónicos pueden conducir a constantes de Stieltjes
∑ norte = 1 ∞ H norte - ( γ + en norte ) norte = - γ 1 - 1 2 γ 2 + 1 12 π 2 ∑ norte = 1 ∞ H norte 2 - ( γ + en norte ) 2 norte = - γ 2 - 2 γ γ 1 - 2 3 γ 3 + 5 3 ζ ( 3 ) {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} - (\ gamma + \ ln n)} {n}} = - \ gamma _ {1} - {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {2} + {\ frac {1} {12}} \ pi ^ {2} \\ [6 mm] \ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} ^ {2} - (\ gamma + \ ln n) ^ {2}} {n}} = - \ gamma _ {2} - 2 \ gamma \ gamma _ {1} - {\ frac {2} {3}} \ gamma ^ {3} + {\ frac {5} {3}} \ zeta (3) \ end {array}}} Blagouchine [6] obtuvo series de convergencia lenta que incluían números de Stirling sin signo del primer tipo. [ ⋅ ⋅ ] {\ Displaystyle \ left [{\ cdot \ encima de \ cdot} \ right]}
γ metro = 1 2 δ metro , 0 + ( - 1 ) metro metro ! π ∑ norte = 1 ∞ 1 norte ⋅ norte ! ∑ k = 0 ⌊ norte / 2 ⌋ ( - 1 ) k ⋅ [ 2 k + 2 metro + 1 ] ⋅ [ norte 2 k + 1 ] ( 2 π ) 2 k + 1 , metro = 0 , 1 , 2 , . . . , {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + {\ frac {(-1) ^ {m} m!} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ cdot n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {\ frac {(- 1) ^ {k} \ cdot \ left [{2k + 2 \ sobre m + 1} \ right] \ cdot \ left [{n \ sobre 2k + 1} \ right]} {(2 \ pi) ^ {2k +1}}} \ ,, \ qquad m = 0,1,2, ...,} así como series semi-convergentes con términos racionales solamente
γ metro = 1 2 δ metro , 0 + ( - 1 ) metro metro ! ⋅ ∑ k = 1 norte [ 2 k metro + 1 ] ⋅ B 2 k ( 2 k ) ! + θ ⋅ ( - 1 ) metro metro ! ⋅ [ 2 norte + 2 metro + 1 ] ⋅ B 2 norte + 2 ( 2 norte + 2 ) ! , 0 < θ < 1 , {\ Displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + (- 1) ^ {m} m! \ cdot \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {\ left [{2k \ sobre m + 1} \ right] \ cdot B_ {2k}} {(2k)!}} + \ Theta \ cdot {\ frac {(-1) ^ { m} m! \ cdot \ left [{2N + 2 \ atop m + 1} \ right] \ cdot B_ {2N + 2}} {(2N + 2)!}}, \ qquad 0 <\ theta <1, } donde m = 0,1,2, ... En particular, la serie para la primera constante de Stieltjes tiene una forma sorprendentemente simple
γ 1 = - 1 2 ∑ k = 1 norte B 2 k ⋅ H 2 k - 1 k + θ ⋅ B 2 norte + 2 ⋅ H 2 norte + 1 2 norte + 2 , 0 < θ < 1 , {\ Displaystyle \ gamma _ {1} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2k} \ cdot H_ {2k-1}} {k}} + \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N + 2} \ cdot H_ {2N + 1}} {2N + 2}}, \ qquad 0 <\ theta <1,} donde H n es el n- ésimo número armónico . [6] Se dan series más complicadas para las constantes de Stieltjes en obras de Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey. [2] [3] [6]
Límites y crecimiento asintótico Las constantes de Stieltjes satisfacen el límite
| γ norte | ≤ { 2 ( norte - 1 ) ! π norte , norte = 1 , 3 , 5 , ... 4 ( norte - 1 ) ! π norte , norte = 2 , 4 , 6 , ... {\ Displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 (n-1)!} {\ pi ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 1 , 3,5, \ ldots \\ [3 mm] \ displaystyle {\ frac {4 (n-1)!} {\ Pi ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 2,4,6, \ ldots \ end {cases}}} dada por Berndt en 1972. [14] Lavrik obtuvo mejores límites en términos de funciones elementales [15]
| γ norte | ≤ norte ! 2 norte + 1 , norte = 1 , 2 , 3 , ... {\ Displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n!} {2 ^ {n + 1}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots} por Israilov [9]
| γ norte | ≤ norte ! C ( k ) ( 2 k ) norte , norte = 1 , 2 , 3 , ... {\ Displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n! C (k)} {(2k) ^ {n}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots} con k = 1,2, ... y C (1) = 1/2, C (2) = 7/12, ..., por Nan-You y Williams [16]
| γ norte | ≤ { 2 ( 2 norte ) ! norte norte + 1 ( 2 π ) norte , norte = 1 , 3 , 5 , ... 4 ( 2 norte ) ! norte norte + 1 ( 2 π ) norte , norte = 2 , 4 , 6 , ... {\ Displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 1,3,5, \ ldots \\ [4 mm] \ displaystyle {\ frac {4 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}} } \ ,, \ qquad & n = 2,4,6, \ ldots \ end {cases}}} por Blagouchine [6]
- | B metro + 1 | metro + 1 < γ metro < ( 3 metro + 8 ) ⋅ | B metro + 3 | 24 - | B metro + 1 | metro + 1 , metro = 1 , 5 , 9 , ... | B metro + 1 | metro + 1 - ( 3 metro + 8 ) ⋅ | B metro + 3 | 24 < γ metro < | B metro + 1 | metro + 1 , metro = 3 , 7 , 11 , ... - | B metro + 2 | 2 < γ metro < ( metro + 3 ) ( metro + 4 ) ⋅ | B metro + 4 | 48 - | B metro + 2 | 2 , metro = 2 , 6 , 10 , ... | B metro + 2 | 2 - ( metro + 3 ) ( metro + 4 ) ⋅ | B metro + 4 | 48 < γ metro < | B metro + 2 | 2 , metro = 4 , 8 , 12 , ... {\ Displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} <\ gamma _ { m} <{\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 3} {\ big |}} {24}} - {\ frac {{\ big |} {B } _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, & m = 1,5,9, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} B_ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} - {\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} B_ {m + 3} {\ big |}} {24}} <\ gamma _ {m} <{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, & m = 3,7,11, \ ldots \\ [12pt ] \ Displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} <\ gamma _ {m} <{\ frac {(m + 3) ( m + 4) \ cdot {\ grande |} {B} _ {m + 4} {\ grande |}} {48}} - {\ frac {{\ grande |} B_ {m + 2} {\ grande | }} {2}}, \ qquad & m = 2,6,10, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} - {\ frac {(m + 3) (m + 4) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 4} {\ big |}} {48}} <\ gamma _ { m} <{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}}, & m = 4,8,12, \ ldots \\\ end {array}} } donde B n son números de Bernoulli , y por Matsuoka [17] [18]
| γ norte | < 10 - 4 mi norte en en norte , norte = 5 , 6 , 7 , ... {\ Displaystyle | \ gamma _ {n} | <10 ^ {- 4} e ^ {n \ ln \ ln n} \ ,, \ qquad n = 5,6,7, \ ldots} En lo que respecta a las estimaciones que recurren a funciones y soluciones no elementales, Knessl, Coffey [19] y Fekih-Ahmed [20] obtuvieron resultados bastante precisos. Por ejemplo, Knessl y Coffey dan la siguiente fórmula que se aproxima relativamente bien a las constantes de Stieltjes para n grandes . [19] Si v es la única solución de
2 π Exp ( v broncearse v ) = norte porque ( v ) v {\ Displaystyle 2 \ pi \ exp (v \ tan v) = n {\ frac {\ cos (v)} {v}}} con 0 < v < π / 2 {\ Displaystyle 0 , y si tu = v broncearse v {\ Displaystyle u = v \ tan v} , luego
γ norte ∼ B norte mi norte A porque ( a norte + B ) {\ Displaystyle \ gamma _ {n} \ sim {\ frac {B} {\ sqrt {n}}} e ^ {nA} \ cos (an + b)} dónde
A = 1 2 en ( tu 2 + v 2 ) - tu tu 2 + v 2 {\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ ln (u ^ {2} + v ^ {2}) - {\ frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2}} }} B = 2 2 π tu 2 + v 2 [ ( tu + 1 ) 2 + v 2 ] 1 / 4 {\ Displaystyle B = {\ frac {2 {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}} {[(u + 1) ^ {2} + v ^ {2}] ^ {1/4}}}} a = broncearse - 1 ( v tu ) + v tu 2 + v 2 {\ Displaystyle a = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) + {\ frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2}}}} B = broncearse - 1 ( v tu ) - 1 2 ( v tu + 1 ) . {\ Displaystyle b = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {u +1}} \ derecha).} Hasta n = 100000, la aproximación de Knessl-Coffey predice correctamente el signo de γ n con la única excepción de n = 137. [19]
Valores numéricos Los primeros valores son [21]
norte valor aproximado de γ n OEIS 0 +0.5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620 1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633 2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279 3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280 4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281 5 +0.0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282 6 −0.0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141 7 −0.0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167 8 −0.0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206 9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853 10 +0.0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854 100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10 17 1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10 486 10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10 6883 100000 +1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10 83432
Para n grande , las constantes de Stieltjes crecen rápidamente en valor absoluto y cambian de signo en un patrón complejo.
Se puede encontrar más información relacionada con la evaluación numérica de las constantes de Stieltjes en los trabajos de Keiper, [22] Kreminski, [23] Plouffe, [24] Johansson [25] [26] y Blagouchine. [26] Primero, Johansson proporcionó valores de las constantes de Stieltjes hasta n = 100000, con una precisión de más de 10000 dígitos cada una (los valores numéricos se pueden recuperar del LMFDB [1] . Más tarde, Johansson y Blagouchine idearon un algoritmo particularmente eficiente para constantes de Stieltjes generalizadas (ver más abajo) para n grandes y complejos a , que también se pueden usar para constantes de Stieltjes ordinarias. [26] En particular, permite calcular γ n hasta 1000 dígitos en un minuto para cualquier n hasta n = 10 100 .
Constantes de Stieltjes generalizadas Información general De manera más general, se pueden definir las constantes de Stieltjes γ n (a) que ocurren en la expansión de la serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz :
ζ ( s , a ) = 1 s - 1 + ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte norte ! γ norte ( a ) ( s - 1 ) norte . {\ Displaystyle \ zeta (s, a) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.} Aquí a es un número complejo con Re ( a )> 0. Dado que la función zeta de Hurwitz es una generalización de la función zeta de Riemann, tenemos γ n (1) = γ n La cero enésima constante es simplemente la función digamma γ 0 (a) = - Ψ (a), [27] mientras que otras constantes no son reducibles a ninguna función de análisis elemental o clásica. Sin embargo, existen numerosas representaciones para ellos. Por ejemplo, existe la siguiente representación asintótica
γ norte ( a ) = lim metro → ∞ { ∑ k = 0 metro ( en ( k + a ) ) norte k + a - ( en ( metro + a ) ) norte + 1 norte + 1 } , norte = 0 , 1 , 2 , ... a ≠ 0 , - 1 , - 2 , ... {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left \ {\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {(\ ln (k + a )) ^ {n}} {k + a}} - {\ frac {(\ ln (m + a)) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}, \ qquad {\ begin {matriz} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {matriz}}} debido a Berndt y Wilton. El análogo de la fórmula de Jensen-Franel para la constante de Stieltjes generalizada es la fórmula de Hermite [5]
γ norte ( a ) = [ 1 2 a - en a norte + 1 ] ( en a ) norte - I ∫ 0 ∞ D X mi 2 π X - 1 { ( en ( a - I X ) ) norte a - I X - ( en ( a + I X ) ) norte a + I X } , norte = 0 , 1 , 2 , ... ℜ ( a ) > 0 {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ left [{\ frac {1} {2a}} - {\ frac {\ ln {a}} {n + 1}} \ right] (\ ln a ) ^ {n} -i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (a -ix)) ^ {n}} {a-ix}} - {\ frac {(\ ln (a + ix)) ^ {n}} {a + ix}} \ right \}, \ qquad {\ begin {matriz} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 mm] \ Re (a)> 0 \ end {matriz}}} Las siguientes fórmulas dan representaciones similares: [26]
γ norte ( a ) = - ( en ( a - 1 2 ) ) norte + 1 norte + 1 + I ∫ 0 ∞ D X mi 2 π X + 1 { ( en ( a - 1 2 - I X ) ) norte a - 1 2 - I X - ( en ( a - 1 2 + I X ) ) norte a - 1 2 + I X } , norte = 0 , 1 , 2 , ... ℜ ( a ) > 1 2 {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (a) = - {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}}) {\ big)} ^ {n + 1} } {n + 1}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ grande)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} - ix}} - {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} + ix) {\ big)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} + ix }} \ right \}, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] \ Re (a)> {\ frac {1} {2}} \ end {array}}} y
γ norte ( a ) = - π 2 ( norte + 1 ) ∫ 0 ∞ ( en ( a - 1 2 - I X ) ) norte + 1 + ( en ( a - 1 2 + I X ) ) norte + 1 ( aporrear ( π X ) ) 2 D X , norte = 0 , 1 , 2 , ... ℜ ( a ) > 1 2 {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (a) = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ big)} ^ {n + 1} + {\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} + ix) {\ big)} ^ {n + 1}} {{\ big (} \ cosh (\ pi x) {\ big)} ^ {2}}} \, dx, \ qquad {\ begin {matriz } {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 mm] \ Re (a)> {\ frac {1} {2}} \ end {array}}} Las constantes de Stieltjes generalizadas satisfacen la siguiente relación de recurrencia
γ norte ( a + 1 ) = γ norte ( a ) - ( en a ) norte a , norte = 0 , 1 , 2 , ... a ≠ 0 , - 1 , - 2 , ... {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (a + 1) = \ gamma _ {n} (a) - {\ frac {(\ ln a) ^ {n}} {a}} \ ,, \ qquad {\ comenzar {matriz} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {matriz}}} así como el teorema de la multiplicación
∑ l = 0 norte - 1 γ pag ( a + l norte ) = ( - 1 ) pag norte [ en norte pag + 1 - Ψ ( a norte ) ] ( en norte ) pag + norte ∑ r = 0 pag - 1 ( - 1 ) r ( pag r ) γ pag - r ( a norte ) ⋅ ( en norte ) r , norte = 2 , 3 , 4 , ... {\ Displaystyle \ sum _ {l = 0} ^ {n-1} \ gamma _ {p} \ left (a + {\ frac {l} {n}} \ right) = (- 1) ^ {p} n \ left [{\ frac {\ ln n} {p + 1}} - \ Psi (an) \ right] (\ ln n) ^ {p} + n \ sum _ {r = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {r} {\ binom {p} {r}} \ gamma _ {pr} (an) \ cdot (\ ln n) ^ {r} \ ,, \ qquad \ qquad n = 2, 3,4, \ ldots} dónde ( pag r ) {\ Displaystyle {\ binom {p} {r}}} denota el coeficiente binomial (ver [28] y, [29] págs. 101-102).
Primera constante de Stieltjes generalizada La primera constante de Stieltjes generalizada tiene varias propiedades notables.
Identidad de Malmsten (fórmula de reflexión para las primeras constantes de Stieltjes generalizadas): la fórmula de reflexión para la primera constante de Stieltjes generalizada tiene la siguiente forma γ 1 ( metro norte ) - γ 1 ( 1 - metro norte ) = 2 π ∑ l = 1 norte - 1 pecado 2 π metro l norte ⋅ en Γ ( l norte ) - π ( γ + en 2 π norte ) cuna metro π norte {\ Displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {m} {n}} {\ biggr)} - \ gamma _ {1} {\ biggl (} 1 - {\ frac {m} { n}} {\ biggr)} = 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {2 \ pi ml} {n}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {n}} {\ biggr)} - \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi n) \ cot {\ frac {m \ pi} {n}}} donde m y n son números enteros positivos tales que m < n . Esta fórmula se ha atribuido durante mucho tiempo a Almkvist y Meurman, quienes la derivaron en la década de 1990. [30] Sin embargo, recientemente se informó que esta identidad, aunque en una forma ligeramente diferente, fue obtenida por primera vez por Carl Malmsten en 1846. [5] [31]
Teorema de los argumentos racionales: la primera constante de Stieltjes generalizada en un argumento racional se puede evaluar en una forma cuasi cerrada mediante la siguiente fórmula γ 1 ( r metro ) = γ 1 + γ 2 + γ en 2 π metro + en 2 π ⋅ en metro + 1 2 ( en metro ) 2 + ( γ + en 2 π metro ) ⋅ Ψ ( r metro ) + π ∑ l = 1 metro - 1 pecado 2 π r l metro ⋅ en Γ ( l metro ) + ∑ l = 1 metro - 1 porque 2 π r l metro ⋅ ζ ″ ( 0 , l metro ) , r = 1 , 2 , 3 , ... , metro - 1 . {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma ^ {2} + \ gamma \ ln 2 \ pi m + \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln {m} + {\ frac {1} {2}} (\ ln m) ^ {2} + ( \ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ cdot \ Psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \\ [5 mm] \ displaystyle & \ displaystyle \ qquad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} + \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m} } \ right) \ end {matriz}} \ ,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1 \ ,.} ver Blagouchine. [5] [27] Posteriormente, Coffey [32] y varios otros autores propusieron una prueba alternativa .
Sumas finitas: existen numerosas fórmulas de suma para las primeras constantes de Stieltjes generalizadas. Por ejemplo, ∑ r = 0 metro - 1 γ 1 ( a + r metro ) = metro en metro ⋅ Ψ ( a metro ) - metro 2 ( en metro ) 2 + metro γ 1 ( a metro ) , a ∈ C ∑ r = 1 metro - 1 γ 1 ( r metro ) = ( metro - 1 ) γ 1 - metro γ en metro - metro 2 ( en metro ) 2 ∑ r = 1 2 metro - 1 ( - 1 ) r γ 1 ( r 2 metro ) = - γ 1 + metro ( 2 γ + en 2 + 2 en metro ) en 2 ∑ r = 0 2 metro - 1 ( - 1 ) r γ 1 ( 2 r + 1 4 metro ) = metro { 4 π en Γ ( 1 4 ) - π ( 4 en 2 + 3 en π + en metro + γ ) } ∑ r = 1 metro - 1 γ 1 ( r metro ) ⋅ porque 2 π r k metro = - γ 1 + metro ( γ + en 2 π metro ) en ( 2 pecado k π metro ) + metro 2 { ζ ″ ( 0 , k metro ) + ζ ″ ( 0 , 1 - k metro ) } , k = 1 , 2 , ... , metro - 1 ∑ r = 1 metro - 1 γ 1 ( r metro ) ⋅ pecado 2 π r k metro = π 2 ( γ + en 2 π metro ) ( 2 k - metro ) - π metro 2 { en π - en pecado k π metro } + metro π en Γ ( k metro ) , k = 1 , 2 , ... , metro - 1 ∑ r = 1 metro - 1 γ 1 ( r metro ) ⋅ cuna π r metro = π 6 { ( 1 - metro ) ( metro - 2 ) γ + 2 ( metro 2 - 1 ) en 2 π - ( metro 2 + 2 ) en metro } - 2 π ∑ l = 1 metro - 1 l ⋅ en Γ ( l metro ) ∑ r = 1 metro - 1 r metro ⋅ γ 1 ( r metro ) = 1 2 { ( metro - 1 ) γ 1 - metro γ en metro - metro 2 ( en metro ) 2 } - π 2 metro ( γ + en 2 π metro ) ∑ l = 1 metro - 1 l ⋅ cuna π l metro - π 2 ∑ l = 1 metro - 1 cuna π l metro ⋅ en Γ ( l metro ) {\ Displaystyle {\ begin {array} {ll} \ Displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left (a + {\ frac {r} {m}} \ right ) = m \ ln {m} \ cdot \ Psi (am) - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} + m \ gamma _ {1} (am) \ ,, \ qquad a \ in \ mathbb {C} \\ [6 mm] \ Displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {r} {m}} \ derecha) = (m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m} - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \\ [6mm] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {2m}} {\ biggr)} = - \ gamma _ {1} + m (2 \ gamma + \ ln 2 + 2 \ ln m) \ ln 2 \\ [6 mm] \ Displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {2r + 1} {4m}} {\ biggr)} = m \ left \ {4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} - \ pi {\ big (} 4 \ ln 2 + 3 \ ln \ pi + \ ln m + \ gamma {\ big)} \ right \} \\ [6 mm] \ Displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cos { \ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = - \ gamma _ {1} + m (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {k \ pi} { m}} \ right) + {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {k} {m}} \ right) + \ zeta '' \ left (0,1 - {\ frac {k} {m}} \ derecha) \ derecha \} \ ,, \ qquad k = 1,2, \ ld ots, m-1 \\ [6 mm] \ Displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr )} \ cdot \ sin {\ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = {\ frac {\ pi} {2}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) (2k-m) - {\ frac {\ pi m} {2}} \ left \ {\ ln \ pi - \ ln \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} \ right \} + m \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {k} {m}} {\ biggr)} \ ,, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1 \\ [6 mm] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} = \ Displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} {\ Big \ {} (1-m) (m-2) \ gamma +2 (m ^ {2} -1) \ ln 2 \ pi - (m ^ { 2} +2) \ ln {m} {\ Big \}} - 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {l} {m}} \ derecha) \\ [6 mm] \ estilo de visualización \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r} {m}} \ cdot \ gamma _ {1} {\ biggl ( } {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = {\ frac {1} {2}} \ left \ {(m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m } - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} - {\ frac {\ pi} {2m}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} \ end {matriz} }} Para obtener más detalles y más fórmulas de suma, consulte. [5] [29]
Algunos valores particulares: algunos valores particulares de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales pueden reducirse a la función gamma , la primera constante de Stieltjes y funciones elementales. Por ejemplo, γ 1 ( 1 2 ) = - 2 γ en 2 - ( en 2 ) 2 + γ 1 = - 1.353459680 ... {\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = - 2 \ gamma \ ln 2 - (\ ln 2) ^ {2} + \ gamma _ {1} = -1.353459680 \ ldots} En los puntos 1/4, 3/4 y 1/3, Connon [33] y Blagouchine [29] obtuvieron de forma independiente los valores de las primeras constantes de Stieltjes generalizadas .
γ 1 ( 1 4 ) = 2 π en Γ ( 1 4 ) - 3 π 2 en π - 7 2 ( en 2 ) 2 - ( 3 γ + 2 π ) en 2 - γ π 2 + γ 1 = - 5.518076350 ... γ 1 ( 3 4 ) = - 2 π en Γ ( 1 4 ) + 3 π 2 en π - 7 2 ( en 2 ) 2 - ( 3 γ - 2 π ) en 2 + γ π 2 + γ 1 = - 0.3912989024 ... γ 1 ( 1 3 ) = - 3 γ 2 en 3 - 3 4 ( en 3 ) 2 + π 4 3 { en 3 - 8 en 2 π - 2 γ + 12 en Γ ( 1 3 ) } + γ 1 = - 3.259557515 ... {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) - {\ frac {3 \ pi} {2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma +2 \ pi) \ ln 2 - {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 5.518076350 \ ldots \\ [6 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ right) = - 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) + {\ frac {3 \ pi} { 2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma -2 \ pi) \ ln 2 + {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 0.3912989024 \ ldots \\ [6 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} + {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}} } \ left \ {\ ln 3-8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ { 1} = - 3.259557515 \ ldots \ end {matriz}}} En los puntos 2/3, 1/6 y 5/6
γ 1 ( 2 3 ) = - 3 γ 2 en 3 - 3 4 ( en 3 ) 2 - π 4 3 { en 3 - 8 en 2 π - 2 γ + 12 en Γ ( 1 3 ) } + γ 1 = - 0.5989062842 ... γ 1 ( 1 6 ) = - 3 γ 2 en 3 - 3 4 ( en 3 ) 2 - ( en 2 ) 2 - ( 3 en 3 + 2 γ ) en 2 + 3 π 3 2 en Γ ( 1 6 ) - π 2 3 { 3 en 3 + 11 en 2 + 15 2 en π + 3 γ } + γ 1 = - 10,74258252 ... γ 1 ( 5 6 ) = - 3 γ 2 en 3 - 3 4 ( en 3 ) 2 - ( en 2 ) 2 - ( 3 en 3 + 2 γ ) en 2 - 3 π 3 2 en Γ ( 1 6 ) + π 2 3 { 3 en 3 + 11 en 2 + 15 2 en π + 3 γ } + γ 1 = - 0,2461690038 ... {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {\ ln 3- 8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0.5989062842 \ ldots \\ [6 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3 } {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2 + {\ frac {3 \ pi {\ sqrt { 3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [5 mm] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad - {\ frac {\ pi} { 2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \ gamma \ right \} + \ gamma _ {1} = - 10,74258252 \ ldots \\ [6 mm] \ Displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2} } \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2- { \ frac {3 \ pi {\ sqrt {3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [6mm] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad + {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \gama \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0.2461690038 \ ldots \ end {array}}} Estos valores fueron calculados por Blagouchine. [29] Al mismo autor también se deben
γ 1 ( 1 5 ) = γ 1 + 5 2 { ζ ″ ( 0 , 1 5 ) + ζ ″ ( 0 , 4 5 ) } + π 10 + 2 5 2 en Γ ( 1 5 ) + π 10 - 2 5 2 en Γ ( 2 5 ) + { 5 2 en 2 - 5 2 en ( 1 + 5 ) - 5 4 en 5 - π 25 + 10 5 10 } ⋅ γ - 5 2 { en 2 + en 5 + en π + π 25 - 10 5 10 } ⋅ en ( 1 + 5 ) + 5 2 ( en 2 ) 2 + 5 ( 1 - 5 ) 8 ( en 5 ) 2 + 3 5 4 en 2 ⋅ en 5 + 5 2 en 2 ⋅ en π + 5 4 en 5 ⋅ en π - π ( 2 25 + 10 5 + 5 25 + 2 5 ) 20 en 2 - π ( 4 25 + 10 5 - 5 5 + 2 5 ) 40 en 5 - π ( 5 5 + 2 5 + 25 + 10 5 ) 10 en π = - 8.030205511 ... γ 1 ( 1 8 ) = γ 1 + 2 { ζ ″ ( 0 , 1 8 ) + ζ ″ ( 0 , 7 8 ) } + 2 π 2 en Γ ( 1 8 ) - π 2 ( 1 - 2 ) en Γ ( 1 4 ) - { 1 + 2 2 π + 4 en 2 + 2 en ( 1 + 2 ) } ⋅ γ - 1 2 ( π + 8 en 2 + 2 en π ) ⋅ en ( 1 + 2 ) - 7 ( 4 - 2 ) 4 ( en 2 ) 2 + 1 2 en 2 ⋅ en π - π ( 10 + 11 2 ) 4 en 2 - π ( 3 + 2 2 ) 2 en π = - 16.64171976 ... γ 1 ( 1 12 ) = γ 1 + 3 { ζ ″ ( 0 , 1 12 ) + ζ ″ ( 0 , 11 12 ) } + 4 π en Γ ( 1 4 ) + 3 π 3 en Γ ( 1 3 ) - { 2 + 3 2 π + 3 2 en 3 - 3 ( 1 - 3 ) en 2 + 2 3 en ( 1 + 3 ) } ⋅ γ - 2 3 ( 3 en 2 + en 3 + en π ) ⋅ en ( 1 + 3 ) - 7 - 6 3 2 ( en 2 ) 2 - 3 4 ( en 3 ) 2 + 3 3 ( 1 - 3 ) 2 en 3 ⋅ en 2 + 3 en 2 ⋅ en π - π ( 17 + 8 3 ) 2 3 en 2 + π ( 1 - 3 ) 3 4 en 3 - π 3 ( 2 + 3 ) en π = - 29.84287823 ... {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {5}} \ right) + \ zeta '' \ left (0 , {\ frac {4} {5}} \ right) \ right \} + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} \\ [5 mm] y \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}} }} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {2} {5}} {\ biggr)} + \ left \ {{\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {2} - {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}} {\ big)} - {\ frac {5} {4} } \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}} {10}} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 mm] & \ displaystyle - { \ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ ln 2+ \ ln 5+ \ ln \ pi + {\ frac {\ pi {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}} " }}} {10}} \ right \} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}}) + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} + {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {5}} {\ big)}} {8}} (\ ln 5) ^ {2} \ \ [5 mm] y \ Displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {5}}} {4}} \ ln 2 \ cdot \ ln 5 + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi + {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ ln 5 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 2 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} + 5 {\ sqrt {25 + 2 {\ sqrt {5}} }} {\ big)}} {20}} \ ln 2 \\ [5 mm] y \ displaystyle - {\ frac {\ pi {\ big (} 4 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}) }} - 5 {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {40}} \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ big (} 5 {\ sqrt { 5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {10}} \ ln \ pi \\ [5 mm] & \ displaystyle = -8.030205511 \ ldots \\ [6 mm] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {8}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {7} { 8}} \ derecha) \ derecha \} + 2 \ pi {\ sqrt {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} - \ pi {\ sqrt {2}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {2}} {\ big)} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} \\ [5 mm] y \ Displaystyle - \ left \ {{\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2}} \ pi +4 \ ln {2} + {\ sqrt {2}} \ ln {\ grande (} 1 + {\ sqrt {2}} {\ grande)} \ derecha \} \ cdot \ gamma - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ grande (} \ pi +8 \ ln 2 + 2 \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {2}}) \\ [5 mm] y \ displaystyle - {\ frac {7 {\ big ( } 4 - {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} ( \ ln 2) ^ {2} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 10 + 11 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} \ ln 2 - {\ frac {\ pi {\ big (} 3 + 2 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {2}} \ ln \ pi \\ [5 mm] y \ displaystyle = -16,64171976 \ ldots \\ [6 mm] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {12}} {\ biggr)} = & \ Displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {3}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {12}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {11} {12}} \ right) \ right \} + 4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} + 3 \ pi {\ sqrt {3}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {3}} {\ biggr)} \\ [5 mm] y \ displaystyle - \ left \ {{\ frac { 2 + {\ sqrt {3}}} {2}} \ pi + {\ frac {3} {2}} \ ln 3 - {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}}) \ ln {2} +2 {\ sqrt {3}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}} {\ big)} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 mm] & \ displaystyle -2 {\ sqrt {3}} {\ big (} 3 \ ln 2+ \ ln 3+ \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}} ) - {\ frac {7-6 {\ sqrt {3}}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} \\ [5 mm] y \ Displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}})} {2}} \ ln 3 \ cdot \ ln 2 + {\ sqrt { 3}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 17 +8 {\ sqrt {3}} {\ big)}} {2 {\ sqrt {3}}}} \ ln 2 \\ [5 mm] y \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ big (} 1 - {\ sqrt {3}} {\ big)} {\ sqrt {3}}} {4}} \ ln 3- \ pi {\ sqrt {3}} (2 + {\ sqrt {3}}) \ ln \ pi = -29.84287823 \ ldots \ end {matriz}}} Segunda constante de Stieltjes generalizada La segunda constante de Stieltjes generalizada está mucho menos estudiada que la primera constante. De manera similar a la primera constante de Stieltjes generalizada, la segunda constante de Stieltjes generalizada en el argumento racional se puede evaluar mediante la siguiente fórmula
γ 2 ( r metro ) = γ 2 + 2 3 ∑ l = 1 metro - 1 porque 2 π r l metro ⋅ ζ ‴ ( 0 , l metro ) - 2 ( γ + en 2 π metro ) ∑ l = 1 metro - 1 porque 2 π r l metro ⋅ ζ ″ ( 0 , l metro ) + π ∑ l = 1 metro - 1 pecado 2 π r l metro ⋅ ζ ″ ( 0 , l metro ) - 2 π ( γ + en 2 π metro ) ∑ l = 1 metro - 1 pecado 2 π r l metro ⋅ en Γ ( l metro ) - 2 γ 1 en metro - γ 3 - [ ( γ + en 2 π metro ) 2 - π 2 12 ] ⋅ Ψ ( r metro ) + π 3 12 cuna π r metro - γ 2 en ( 4 π 2 metro 3 ) + π 2 12 ( γ + en metro ) - γ ( ( en 2 π ) 2 + 4 en metro ⋅ en 2 π + 2 ( en metro ) 2 ) - { ( en 2 π ) 2 + 2 en 2 π ⋅ en metro + 2 3 ( en metro ) 2 } en metro , r = 1 , 2 , 3 , ... , metro - 1. {\ Displaystyle {\ begin {array} {rl} \ displaystyle \ gamma _ {2} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = \ gamma _ {2} + {\ frac {2} {3}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' '\ left (0, { \ frac {l} {m}} \ right) -2 (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) \\ [6mm] \ displaystyle \ quad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ { m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) -2 \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} - 2 \ gamma _ {1} \ ln {m} \\ [6 mm] \ Displaystyle \ quad - \ gamma ^ {3} - \ left [(\ gamma + \ ln 2 \ pi m) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ right] \ cdot \ Psi {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} { \ biggr)} + {\ frac {\ pi ^ {3}} {12}} \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} - \ gamma ^ {2} \ ln {\ big (} 4 \ pi ^ {2} m ^ {3} {\ big)} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} (\ gamma + \ ln {m}) \\ [6 mm] \ Displaystyle \ quad - \ gamma {\ big (} (\ ln 2 \ pi) ^ {2} +4 \ ln m \ cdot \ ln 2 \ pi +2 (\ ln m) ^ {2} {\ big)} - \ left \ {(\ ln 2 \ pi) ^ {2} +2 \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln m + {\ frac { 2} {3}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} \ ln m \ end {matriz}} \ ,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1. } ver Blagouchine. [5] Posteriormente, Coffey obtuvo un resultado equivalente mediante otro método. [32]
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