En 1851, George Gabriel Stokes derivó una expresión, ahora conocida como ley de Stokes , para la fuerza de fricción, también llamada fuerza de arrastre , ejercida sobre objetos esféricos con números de Reynolds muy pequeños en un fluido viscoso . [1] La ley de Stokes se obtiene resolviendo el límite de flujo de Stokes para números de Reynolds pequeños de las ecuaciones de Navier-Stokes . [2]
Declaración de la ley
La fuerza de la viscosidad sobre una pequeña esfera que se mueve a través de un fluido viscoso viene dada por: [3]
dónde:
- F d es la fuerza de fricción, conocida como arrastre de Stokes , que actúa sobre la interfaz entre el fluido y la partícula.
- μ es la viscosidad dinámica (algunos autores usan el símbolo η )
- R es el radio del objeto esférico
- v es la velocidad del flujo relativa al objeto.
En unidades del SI , F d se expresa en newtons (= kg ms −2 ), μ en Pa · s (= kg m −1 s −1 ), R en metros y v en m / s.
La ley de Stokes hace las siguientes suposiciones para el comportamiento de una partícula en un fluido:
- Flujo laminar
- Partículas esféricas
- Material homogéneo (uniforme en composición)
- Superficies suaves
- Las partículas no interfieren entre sí.
En el caso de las moléculas , se utiliza la ley de Stokes para definir su radio y diámetro de Stokes .
La unidad CGS de viscosidad cinemática se denominó "stokes" por su trabajo.
Aplicaciones
La ley de Stokes es la base del viscosímetro de esfera descendente , en el que el fluido está estacionario en un tubo de vidrio vertical. Se permite que una esfera de tamaño y densidad conocidos descienda a través del líquido. Si se selecciona correctamente, alcanza la velocidad terminal, que se puede medir por el tiempo que tarda en pasar dos marcas en el tubo. La detección electrónica se puede utilizar para fluidos opacos. Conociendo la velocidad terminal, el tamaño y la densidad de la esfera y la densidad del líquido, se puede utilizar la ley de Stokes para calcular la viscosidad del fluido. En el experimento clásico se utiliza normalmente una serie de rodamientos de bolas de acero de diferentes diámetros para mejorar la precisión del cálculo. El experimento de la escuela utiliza glicerina o jarabe dorado como fluido, y la técnica se utiliza industrialmente para comprobar la viscosidad de los fluidos utilizados en los procesos. Varios experimentos escolares a menudo implican variar la temperatura y / o concentración de las sustancias utilizadas para demostrar los efectos que esto tiene sobre la viscosidad. Los métodos industriales incluyen muchos aceites diferentes y líquidos poliméricos como soluciones.
La importancia de la ley de Stokes queda ilustrada por el hecho de que jugó un papel fundamental en la investigación que condujo a al menos tres premios Nobel. [4]
La ley de Stokes es importante para comprender la natación de microorganismos y espermatozoides ; también, la sedimentación de pequeñas partículas y organismos en el agua, bajo la fuerza de la gravedad. [4]
En el aire, la misma teoría puede usarse para explicar por qué pequeñas gotas de agua (o cristales de hielo) pueden permanecer suspendidas en el aire (como nubes) hasta que crecen hasta un tamaño crítico y comienzan a caer como lluvia (o nieve y granizo). [5] Se puede hacer un uso similar de la ecuación en el asentamiento de partículas finas en agua u otros fluidos. [ cita requerida ]
Velocidad terminal de la esfera que cae en un fluido
A la velocidad terminal (o de asentamiento) , el exceso de fuerza F g debido a la diferencia entre el peso y la flotabilidad de la esfera (ambos causados por la gravedad [6] ) viene dada por:
con ρ p y ρ f las densidades de masa de la esfera y el fluido, respectivamente, y g la aceleración gravitacional . Si se requiere el equilibrio de fuerzas F d = F g y se despeja la velocidad v, se obtiene la velocidad terminal v s . Tenga en cuenta que dado que el exceso de fuerza aumenta con R 3 y la resistencia de Stokes aumenta con R , la velocidad terminal aumenta con R 2 y, por lo tanto, varía mucho con el tamaño de partícula, como se muestra a continuación. Si una partícula solo experimenta su propio peso mientras cae en un fluido viscoso, entonces se alcanza una velocidad terminal cuando la suma de las fuerzas de fricción y de flotación sobre la partícula debido al fluido equilibra exactamente la fuerza gravitacional . Esta velocidad v (m / s) viene dada por: [6]
(verticalmente hacia abajo si ρ p > ρ f , hacia arriba si ρ p < ρ f ), donde:
- g es la intensidad del campo gravitacional (m / s 2 )
- R es el radio de la partícula esférica (m)
- ρ p es la densidad de masa de la partícula (kg / m 3 )
- ρ f es la densidad de masa del fluido (kg / m 3 )
- μ es la viscosidad dinámica (kg / (m * s)).
Derivación
Flujo constante de Stokes
En el flujo de Stokes , con un número de Reynolds muy bajo , se desprecian los términos de aceleración convectiva en las ecuaciones de Navier-Stokes . Entonces, las ecuaciones de flujo se convierten, para un flujo constante incompresible : [7]
dónde:
- p es la presión del fluido (en Pa),
- u es la velocidad del flujo (en m / s), y
- ω es la vorticidad (en s −1 ), definida como
Mediante el uso de algunas identidades de cálculo vectorial , se puede demostrar que estas ecuaciones dan como resultado las ecuaciones de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector de vorticidad: [7]
- y
Las fuerzas adicionales como las de la gravedad y la flotabilidad no se han tenido en cuenta, pero se pueden agregar fácilmente ya que las ecuaciones anteriores son lineales, por lo que se puede aplicar una superposición lineal de soluciones y fuerzas asociadas.
Flujo transversal alrededor de una esfera
Para el caso de una esfera en un flujo uniforme de campo lejano , es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas cilíndrico ( r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección media del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicular al eje z . El origen está en el centro de la esfera. Debido a que el flujo es simétrico alrededor del eje z , es independiente del acimut φ .
En este sistema cilíndrico de coordenadas, el flujo incompresible se puede describir con una función de corriente Stokes ψ , en función de r y z : [8] [9]
con u r y u z las componentes de la velocidad del flujo en la dirección r y z , respectivamente. El componente de velocidad azimutal en la dirección φ es igual a cero, en este caso axisimétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitado por una superficie de algún valor constante ψ , es igual a 2π ψ y es constante. [8]
Para este caso de un flujo axisimétrico, el único componente distinto de cero del vector de vorticidad ω es el azimutal φ –componente ω φ [10] [11]
El operador de Laplace , aplicado a la vorticidad ω φ , se convierte en este sistema de coordenadas cilíndrico con axisimetría: [11]
A partir de las dos ecuaciones anteriores, y con las condiciones de contorno adecuadas, para una velocidad de flujo uniforme de campo lejano u en la dirección z y una esfera de radio R , se encuentra que la solución es [12]
La solución de la velocidad en componentes y coordenadas cilíndricas es la siguiente:
La solución de la vorticidad en coordenadas cilíndricas es la siguiente:
La solución de la presión en coordenadas cilíndricas es la siguiente:
La solución de la presión en coordenadas esféricas es la siguiente:
La fórmula de la presión también se llama potencial dipolo en análogos a la electrostática.
Una formulación más general, con un vector de velocidad de campo lejano arbitrario , en coordenadas cartesianas sigue con:
En esta formulación, el término no conservador representa una especie del llamado Stokeslet . El Stokeslet es la función de los Verdes de las ecuaciones de flujo de Stokes. El término conservador es igual al campo de gradiente de dipolo . La fórmula de la vorticidad es una especie de Fórmula Biot-Savart , que también se utiliza en electromagnetismo .
La siguiente fórmula describe el tensor de tensión viscoso para el caso especial de stokes-flow. Es necesario en el cálculo de la fuerza que actúa sobre la partícula. En coordenadas cartesianas el vector-gradientees idéntica a la matriz jacobiana . La matrizrepresenta la matriz de identidad .
La fuerza que actúa sobre la esfera se calcula por integral de superficie, donde representa el vector unitario radial de coordenadas esféricas :
Flujo rotacional alrededor de una esfera
Otros tipos de flujo de Stokes
Aunque el líquido es estático y la esfera se mueve con cierta velocidad, con respecto al marco de la esfera, la esfera está en reposo y el líquido fluye en la dirección opuesta al movimiento de la esfera.
Ver también
- Relación de Einstein (teoría cinética)
- Leyes científicas que llevan el nombre de personas
- Arrastre la ecuación
- Viscosimetría
- Diámetro esférico equivalente
- Deposición (geología)
Fuentes
- Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66396-2.
- Cordero, H. (1994). Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45868-9. Publicado originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
Referencias
- ^ Stokes, GG (1851). "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de péndulos" . Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 9, parte ii: 8-106. Código Bibliográfico : 1851TCaPS ... 9 .... 8S . La fórmula para la velocidad terminal ( V ) aparece en la p. [52], ecuación (127).
- ^ Batchelor (1967), p. 233.
- ^ Laidler, Keith J .; Meiser, John H. (1982). Química Física . Benjamin / Cummings. pag. 833. ISBN 0-8053-5682-7.
- ^ a b Dusenbery, David (2009). Vivir a microescala: la física inesperada de ser pequeño . Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC 225874255 .
- ^ Hadley, Peter. "¿Por qué no caen las nubes?" . Instituto de Física del Estado Sólido, TU Graz . Consultado el 30 de mayo de 2015 .
- ↑ a b Lamb (1994), §337, p. 599.
- ↑ a b Batchelor (1967), sección 4.9, p. 229.
- ↑ a b Batchelor (1967), sección 2.2, p. 78.
- ^ Cordero (1994), §94, p. 126.
- ^ Batchelor (1967), sección 4.9, p. 230
- ↑ a b Batchelor (1967), apéndice 2, p. 602.
- ^ Cordero (1994), §337, p. 598.