Ola de Stokes

En dinámica de fluidos , una onda de Stokes es una onda superficial no lineal y periódica sobre una capa de fluido no viscoso de profundidad media constante. Este tipo de modelado tiene sus orígenes a mediados del siglo XIX cuando Sir George Stokes , utilizando un enfoque de series de perturbaciones , ahora conocido como la expansión de Stokes , obtuvo soluciones aproximadas para el movimiento ondulatorio no lineal.

Elevación de la superficie de una ola de aguas profundas según la teoría de tercer orden de Stokes . La pendiente de la onda es: ka  = 0,3, siendo k el número de onda y a la amplitud de la onda . Típicas de estas ondas de gravedad superficiales son las crestas afiladas y las depresiones planas .

Ensayo de modelos con ondas periódicas en el tanque de remolque de olas del Laboratorio de Ingeniería Oceánica Jere A. Chase, Universidad de New Hampshire .

Agujero ondulado y cachorros cerca de la desembocadura del río Araguari en el noreste de Brasil. La vista es oblicua hacia la boca desde el avión a aproximadamente 100 pies (30 m) de altitud. ^[1] Las ondulaciones que siguen detrás del frente de perforación aparecen como ondas de Stokes moduladas lentamente .

La teoría de las olas de Stokes tiene un uso práctico directo para las olas en aguas intermedias y profundas. Se utiliza en el diseño de estructuras costeras y marinas , con el fin de determinar la cinemática de las olas ( elevación de la superficie libre y velocidades de flujo ). La cinemática de las olas se necesita posteriormente en el proceso de diseño para determinar las cargas de las olas en una estructura. ^[2] Para ondas largas (en comparación con la profundidad), y utilizando solo unos pocos términos en la expansión de Stokes, su aplicabilidad se limita a ondas de pequeña amplitud . En aguas tan poco profundas, una teoría de ondas cnoidales a menudo proporciona mejores aproximaciones de ondas periódicas.

Si bien, en sentido estricto, onda de Stokes se refiere a ondas periódicas progresivas de forma permanente, el término también se utiliza en relación con ondas estacionarias ^[3] e incluso para ondas aleatorias . ^{[4] [5]}

Ejemplos de

Los ejemplos siguientes describen las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad (sin efectos de tensión superficial ) en el caso de un movimiento ondulatorio puro, es decir, sin una corriente media ambiental.

Ola Stokes de tercer orden en aguas profundas

Onda Stokes de tercer orden en aguas profundas bajo la acción de la gravedad. La pendiente de la ola es: ka  = 0.3.

Los tres armónicos que contribuyen a la elevación de la superficie de una ola de aguas profundas, según la teoría de tercer orden de Stokes. La pendiente de la ola es: ka  = 0.3. Para la visibilidad, la escala vertical se distorsiona en un factor de cuatro, en comparación con la escala horizontal.
Descripción:
• la línea azul oscuro es la elevación de la superficie de la onda de Stokes de tercer orden,
• la línea negra es el componente fundamental de la onda, con el número de onda k ( longitud de onda λ, k  = 2π / λ),
• la línea azul claro es la armónico a 2  k (longitud de onda ½ λ), y
• la línea roja es el armónico a 3  k (longitud de onda ⅓ λ).

Según la teoría de tercer orden de Stokes, la superficie libre elevación η , el potencial de velocidad Φ, la velocidad de fase (o celeridad) c y la onda de fase θ son, por una progresiva onda de gravedad superficial en aguas profundas - es decir, la capa de fluido tiene infinito profundidad: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$

con:

X	: la coordenada horizontal;
z	: la coordenada vertical, con la dirección z positiva hacia arriba, en oposición a la dirección de la gravedad de la Tierra, y z  = 0 correspondiente a la elevación media de la superficie;
t	: hora;
a	: la amplitud de onda de primer orden ;
k	: el número de onda angular , k  = 2π /  λ siendo λ la longitud de onda ;
ω	: la frecuencia angular , ω  = 2π /  τ donde τ es el período , y
gramo	: la fuerza de la gravedad de la Tierra, una constante en esta aproximación.

El parámetro de expansión ka se conoce como pendiente de la onda. La velocidad de fase aumenta al aumentar la no linealidad ka de las ondas. La altura de ola H , que es la diferencia entre la elevación de la superficie η en una cresta y una vaguada , es: ^[7]

${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$

Tenga en cuenta que los términos de segundo y tercer orden en el potencial de velocidad Φ son cero. Sólo en el cuarto orden aparecen contribuciones que se desvían de la teoría de primer orden, es decir, la teoría de ondas de Airy . ^[6] Hasta el tercer orden, el campo de velocidad orbital u  =  ∇ Φ consiste en un movimiento circular del vector de velocidad en cada posición ( x , z ). Como resultado, la elevación de la superficie de las ondas de aguas profundas es en una buena aproximación trocoidal , como ya lo señaló Stokes (1847) . ^[8]

Stokes observó además que aunque (en esta descripción euleriana ) el campo de velocidad orbital de tercer orden consiste en un movimiento circular en cada punto, las trayectorias lagrangianas de las parcelas de fluidos no son círculos cerrados. Esto se debe a la reducción de la amplitud de la velocidad al aumentar la profundidad por debajo de la superficie. Esta deriva lagrangiana de las parcelas de fluidos se conoce como deriva de Stokes . ^[8]

Onda Stokes de segundo orden en profundidad arbitraria

La relación S = a ₂ / a de la amplitud a ₂ del armónico con el doble del número de onda (2  k ), a la amplitud a del fundamental , de acuerdo con la teoría de segundo orden de Stokes para ondas de gravedad superficiales. En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es el parámetro de Stokes S dividido por la inclinación de la onda ka (con k  = 2π / λ).
Descripción:
• la línea azul es válida para la profundidad del agua arbitraria, mientras que
• la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (la profundidad del agua es pequeña en comparación con la longitud de onda), y
• la línea verde de puntos y guiones es el límite asintótico para aguas profundas ondas.

La elevación de la superficie η y el potencial de velocidad Φ son, según la teoría de segundo orden de Stokes de las ondas de gravedad superficiales en una capa de fluido de profundidad media h : ^{[6] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\,\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$

Observe que para una profundidad finita, el potencial de velocidad Φ contiene una deriva lineal en el tiempo, independiente de la posición ( x y z ). Tanto esta deriva temporal como el término de doble frecuencia (que contiene sen 2θ) en Φ desaparecen para las ondas de aguas profundas.

Parámetros de Stokes y Ursell

La relación S de las amplitudes de superficie libre en segundo y primer orden, según la teoría de segundo orden de Stokes, es: ^[6]

${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$

En aguas profundas, para kh grandes, la relación S tiene la asíntota

${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$

Para ondas largas, es decir, kh pequeñas , la relación S se comporta como

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$

o, en términos de la altura de ola H = 2 a y longitud de onda λ = 2π / k :

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$  con  ${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$

Aquí U es el parámetro de Ursell (o parámetro de Stokes). Para las ondas largas ( λ » h ) de pequeña altura H , es decir, U « 32π ² /3 ≈ 100 , de segundo orden teoría Stokes es aplicable. De lo contrario, para ondas bastante largas ( λ> 7 h ) de altura apreciable H, es más apropiada una descripción de onda cnoidal . ^[6] Según Hedges, la teoría de Stokes de quinto orden es aplicable para U <40 , y por lo demás es preferible la teoría de ondas cnoidales de quinto orden . ^{[10] [11]}

Relación de dispersión de tercer orden

Mejora no lineal de la velocidad de fase c  = ω /  k , de acuerdo con la teoría de tercer orden de Stokes para ondas de gravedad superficiales , y utilizando la primera definición de celeridad de Stokes, en comparación con la velocidad de fase de la teoría lineal c ₀ . En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es la mejora no lineal de la velocidad de fase ( c  -  c ₀ ) /  c ₀ dividida por la inclinación de la onda ka al cuadrado .
Descripción:
• la línea azul continua es válida para la profundidad del agua arbitraria,
• la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (la profundidad del agua es pequeña en comparación con la longitud de onda), y
• la línea verde de puntos y guiones es el límite asintótico para aguas profundas ondas.

Para las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad, la relación de dispersión de tercer orden es, según la primera definición de celeridad de Stokes : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}=&\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\qquad {\text{with}}\\\sigma =&\tanh \,kh.\end{aligned}}}$

Esta relación de dispersión de tercer orden es una consecuencia directa de evitar términos seculares , al insertar la solución de Stokes de segundo orden en las ecuaciones de tercer orden (de la serie de perturbaciones para el problema de ondas periódicas).

En aguas profundas (longitud de onda corta en comparación con la profundidad):

${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$

y en aguas poco profundas (longitudes de onda largas en comparación con la profundidad):

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

Como se muestra arriba , la expansión de Stokes de onda larga para la relación de dispersión solo será válida para valores suficientemente pequeños del parámetro Ursell: U ≪ 100 .

Descripción general

El enfoque de Stokes al problema de las ondas no lineales

Ondas en el patrón de estela de Kelvin generadas por un barco en el Maas-Waalkanaal en los Países Bajos. Las ondas transversales en este patrón de estela de Kelvin son ondas de Stokes casi planas.

Barco de la NOAA Delaware II con mal tiempo en Georges Bank . Si bien estas olas del océano son aleatorias , y no las olas de Stokes (en sentido estricto), indican las típicas crestas afiladas y depresiones planas que se encuentran en las ondas de gravedad superficiales no lineales.

Un problema fundamental para encontrar soluciones para las ondas de gravedad superficiales es que las condiciones de contorno deben aplicarse en la posición de la superficie libre , que no se conoce de antemano y, por lo tanto, es parte de la solución que se debe encontrar. Sir George Stokes resolvió este problema de ondas no lineales en 1847 al expandir las cantidades de flujo potencial relevantes en una serie de Taylor alrededor de la elevación superficial media (o inmóvil). ^[12] Como resultado, las condiciones de contorno se pueden expresar en términos de cantidades en la elevación de la superficie media (o aún) (que es fija y conocida).

A continuación, se busca una solución para el problema de las ondas no lineales (incluida la expansión de la serie de Taylor alrededor de la elevación media o constante de la superficie) mediante una serie de perturbaciones, conocida como expansión de Stokes , en términos de un pequeño parámetro, la mayoría de las veces la inclinación de la onda. . Los términos desconocidos en la expansión se pueden resolver secuencialmente. ^{[6] [8]} A menudo, solo se necesita una pequeña cantidad de términos para proporcionar una solución de precisión suficiente para fines de ingeniería. ^[11] Las aplicaciones típicas se encuentran en el diseño de estructuras costeras y mar adentro , y de barcos .

Otra propiedad de las ondas no lineales es que la velocidad de fase de las ondas no lineales depende de la altura de la onda . En un enfoque de series de perturbaciones, esto da lugar fácilmente a una variación secular espuria de la solución, en contradicción con el comportamiento periódico de las ondas. Stokes resolvió este problema expandiendo también la relación de dispersión en una serie de perturbaciones, mediante un método ahora conocido como el método de Lindstedt-Poincaré . ^[6]

Aplicabilidad

Validez de varias teorías sobre ondas de agua periódicas, según Le Méhauté (1976). ^[13] El área celeste da el rango de validez de la teoría de ondas cnoidales ; amarillo claro para la teoría de ondas de Airy ; y las líneas discontinuas azules delimitan el orden requerido en la teoría de ondas de Stokes. El sombreado gris claro proporciona la extensión del rango mediante aproximaciones numéricas utilizando la teoría de función de flujo de quinto orden , para ondas altas ( H  > ¼ H de _ruptura ).

La teoría de ondas de Stokes , cuando se utiliza un orden bajo de la expansión de la perturbación (por ejemplo, hasta el segundo, tercer o quinto orden), es válida para ondas no lineales en aguas intermedias y profundas, es decir, para longitudes de onda ( λ ) no grandes en comparación con la media. profundidad ( h ). En aguas poco profundas , la expansión de Stokes de orden bajo se rompe (da resultados poco realistas) para una amplitud de onda apreciable (en comparación con la profundidad). Entonces, las aproximaciones de Boussinesq son más apropiadas. Otras aproximaciones a las ecuaciones de ondas de tipo Boussinesq (multidireccionales) conducen, para la propagación de ondas unidireccionales, a la ecuación de Korteweg-de Vries o la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony . Al igual que las soluciones de ondas de Stokes (casi) exactas, ^[14] estas dos ecuaciones tienen soluciones de ondas solitarias ( solitones ), además de las soluciones de ondas periódicas conocidas como ondas cnoidales . ^[11]

Extensiones modernas

Ya en 1914, Wilton extendió la expansión de Stokes para ondas de gravedad superficiales de aguas profundas al décimo orden, aunque introdujo errores en el octavo orden. ^[15] Una teoría de quinto orden para la profundidad finita fue derivada por De en 1955. ^[16] Para uso de ingeniería, las formulaciones de quinto orden de Fenton son convenientes, aplicables tanto a la primera como a la segunda definición de Stokes de velocidad de fase (celeridad). ^[17] La demarcación entre cuando la teoría de Stokes de quinto orden es preferible a la teoría de ondas cnoidales de quinto orden es para los parámetros de Ursell por debajo de aproximadamente 40. ^{[10] [11]}

Son posibles diferentes elecciones para el marco de referencia y los parámetros de expansión en enfoques similares a los de Stokes para el problema de las ondas no lineales. En 1880, Stokes mismo invertidas las variables dependientes e independientes, tomando el potencial de velocidad y función de corriente como las variables independientes, y las coordenadas ( x , z ) como las variables dependientes, con x y z siendo las coordenadas horizontal y vertical respectivamente. ^[18] Esto tiene la ventaja de que la superficie libre, en un marco de referencia en el que la onda es estable (es decir, se mueve con la velocidad de fase), se corresponde con una línea en la que la función de la corriente es una constante. Entonces, la ubicación de la superficie libre se conoce de antemano, y no una parte desconocida de la solución. La desventaja es que se reduce el radio de convergencia de la expansión de la serie reformulada. ^[19]

Otro enfoque es utilizar el marco de referencia lagrangiano , siguiendo las parcelas fluidas . Las formulaciones lagrangianas muestran una mayor convergencia, en comparación con las formulaciones tanto en el marco euleriano como en el marco con el potencial y la función de flujo como variables independientes. ^{[20] [21]}

Crapper obtuvo en 1957 una solución exacta para ondas capilares puras no lineales de forma permanente y para una profundidad de fluido infinita. Tenga en cuenta que estas ondas capilares, que son ondas cortas forzadas por la tensión superficial , si los efectos de la gravedad son despreciables, tienen depresiones afiladas y planas. crestas. Esto contrasta con las ondas de gravedad superficiales no lineales, que tienen crestas afiladas y depresiones planas. ^[22]

Varias propiedades integrales de las ondas de Stokes en aguas profundas en función de la inclinación de las olas. ^[23] La pendiente de la ola se define como la relación entre la altura de la ola H y la longitud de onda λ. Las propiedades de la onda se hacen adimensionales utilizando el número de onda k = 2π / λ , la aceleración gravitacional gy la densidad del fluido ρ .
Se muestran la densidad de energía cinética T , la densidad de energía potencial V , la densidad de energía total E  =  T  +  V , la densidad de impulso de la onda horizontal I y la mejora relativa de la velocidad de fase c . Las densidades de energía de las olas T , V y E se integran en profundidad y se promedian en una longitud de onda, por lo que son energías por unidad de área horizontal; la densidad de impulso de la onda I es similar. Las líneas negras punteadas muestran 1/16 ( kH ) ² y 1/8 ( kH ) ² , siendo los valores de las propiedades integrales derivados de la teoría de ondas de Airy (lineal) . La altura máxima de ola ocurre para una pendiente de ola H / λ ≈ 0.1412 , por encima de la cual no existen ondas gravitatorias superficiales periódicas. ^[24]
Nótese que las propiedades de ola mostradas tienen un máximo para una altura de ola menor que la altura máxima de ola (ver, por ejemplo, Longuet-Higgins 1975 ; Cokelet 1977 ).

Mediante el uso de modelos informáticos, la expansión de Stokes para las ondas gravitatorias superficiales ha continuado, hasta el orden alto (117º) según Schwartz (1974) . Schwartz ha encontrado que la amplitud de una (o un ₁ ) de los primer orden fundamentales alcanza un máximo antes de la máxima altura de ola H se alcanza. En consecuencia, la inclinación de la onda ka en términos de amplitud de onda no es una función monótona hasta la onda más alta, y Schwartz utiliza en su lugar kH como parámetro de expansión. Para estimar la ola más alta en aguas profundas, Schwartz ha utilizado aproximantes de Padé y diagramas de Domb-Sykes para mejorar la convergencia de la expansión de Stokes. Williams ( 1981 , 1985 ) proporciona tablas ampliadas de ondas de Stokes en varias profundidades, calculadas por un método diferente (pero de acuerdo con los resultados de otros ).

Existen varias relaciones exactas entre las propiedades integrales, como la energía cinética y potencial , el momento de la onda horizontal y el estrés por radiación , como lo encontró Longuet-Higgins (1975) . Muestra, para ondas de aguas profundas, que muchas de estas propiedades integrales tienen un máximo antes de que se alcance la altura máxima de onda (en apoyo de los hallazgos de Schwartz). Cokelet (1978)error de harvtxt: sin destino: CITEREFCokelet1978 ( ayuda ), utilizando un método similar al de Schwartz, calculó y tabuló propiedades integrales para una amplia gama de profundidades de agua finitas (todas alcanzando máximos por debajo de la altura de ola más alta). Además, estas propiedades integrales juegan un papel importante en las leyes de conservación de las ondas de agua, a través del teorema de Noether . ^[25]

En 2005, Hammack, Henderson y Segur proporcionaron la primera evidencia experimental de la existencia de ondas progresivas tridimensionales de forma permanente en aguas profundas, es decir, patrones de ondas progresivas bidimensionales y bidimensionales de forma permanente. ^[26] La existencia de estas ondas tridimensionales constantes de aguas profundas se reveló en 2002, a partir de un estudio de bifurcación de ondas bidimensionales de Stokes realizado por Craig y Nicholls, utilizando métodos numéricos. ^[27]

Convergencia e inestabilidad

Convergencia

La convergencia de la expansión de Stokes fue probada por primera vez por Levi-Civita (1925) para el caso de ondas de pequeña amplitud, en la superficie libre de un fluido de profundidad infinita. Esto fue ampliado poco después por Struik (1926) para el caso de ondas de profundidad finita y de pequeña amplitud. ^[28]

Cerca del final del siglo XX, se demostró que para las ondas de amplitud finita, la convergencia de la expansión de Stokes depende en gran medida de la formulación del problema de las ondas periódicas. Por ejemplo, una formulación inversa del problema de ondas periódicas como lo usa Stokes, con las coordenadas espaciales en función del potencial de velocidad y la función de la corriente , no converge para ondas de gran amplitud. Mientras que otras formulaciones convergen mucho más rápidamente, por ejemplo, en el marco de referencia euleriano (con el potencial de velocidad o la función de la corriente en función de las coordenadas espaciales). ^[19]

Ola mas alta

Stokes olas de máxima altura de ola en aguas profundas, bajo la acción de la gravedad.

La pendiente máxima de la ola, para olas periódicas y de propagación de aguas profundas, es H / λ ≈ 0.1412 , por lo que la altura de la ola es aproximadamente un séptimo (1/7) de la longitud de onda λ. ^[24] Y las ondas de gravedad superficiales de esta altura máxima tienen una cresta de onda aguda , con un ángulo de 120 ° (en el dominio de los fluidos), también para una profundidad finita, como lo mostró Stokes en 1880. ^[18]

John Henry Michell ya hizo una estimación precisa de la pendiente más alta de las olas en aguas profundas ( H / λ ≈ 0,142 ) en 1893 , utilizando un método numérico. ^[29] Malcolm A. Grant, en 1973, publicó un estudio más detallado del comportamiento de la ola más alta cerca de la cresta de esquinas afiladas. ^[30] La existencia de la ola más alta en aguas profundas con una cresta en ángulo agudo. de 120 ° fue probado por John Toland en 1978. ^[31] La convexidad de η (x) entre los sucesivos máximos con una cresta en ángulo agudo de 120 ° fue probada independientemente por CJ Amick et al y Pavel I. Plotnikov en 1982. ^{[32] [33]}

La onda de Stokes más alta, bajo la acción de la gravedad, se puede aproximar con la siguiente representación simple y precisa de la elevación de la superficie libre η ( x , t ): ^[34]

${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$  con  ${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$  por ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$

y desplazado horizontalmente sobre un número entero de longitudes de onda para representar las otras ondas en el tren de ondas regular. Esta aproximación tiene una precisión de 0,7% en todas partes, en comparación con la solución "exacta" para la ola más alta. ^[34]

Otra aproximación precisa, aunque menos precisa que la anterior, del movimiento del fluido en la superficie de la onda más pronunciada es por analogía con el movimiento de un péndulo en un reloj de pie . ^[35]

Inestabilidad

En aguas más profundas, las ondas de Stokes son inestables. ^[36] Esto fue demostrado por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir en 1967. ^{[37] [38]} La inestabilidad de Benjamin-Feir es una inestabilidad modulacional o de banda lateral, con las modulaciones de banda lateral propagándose en la misma dirección como onda portadora ; las ondas se vuelven inestables en aguas más profundas para una profundidad relativa kh > 1.363 (con k el número de onda y h la profundidad media del agua). ^[39] La inestabilidad de Benjamin-Feir se puede describir con la ecuación no lineal de Schrödinger , insertando una onda de Stokes con bandas laterales. ^[36] Posteriormente, con un análisis más refinado, se ha demostrado, teórica y experimentalmente, que la onda de Stokes y sus bandas laterales exhiben recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou : una alternancia cíclica entre modulación y demodulación. ^[40]

En 1978 Longuet-Higgins , mediante el modelado numérico de ondas y modulaciones totalmente no lineales (que se propagan en la dirección de la onda portadora), presentó un análisis detallado de la región de inestabilidad en aguas profundas: tanto para superarmónicos (para perturbaciones en el espacio escalas más pequeñas que la longitud de onda${\displaystyle 2\pi /k}$) ^[41] y subarmónicos (para perturbaciones en las escalas espaciales mayores que${\displaystyle 2\pi /k}$). ^[42] En los estudios de Longuet-Higgins sobre el movimiento ondulatorio bidimensional, así como en los estudios posteriores de modulaciones tridimensionales realizados por McLean et al., Se encontraron nuevos tipos de inestabilidades, que se asocian con interacciones de ondas resonantes entre cinco (o más) componentes de onda. ^{[43] [44] [45]}

Expansión de Stokes

Ecuaciones de gobierno para un flujo potencial

En muchos casos, el flujo oscilatorio en el interior del fluido de las ondas superficiales se puede describir con precisión utilizando la teoría del flujo potencial , además de las capas límite cerca de la superficie libre y el fondo (donde la vorticidad es importante debido a los efectos viscosos , consulte la capa límite de Stokes ). ^[46] Entonces, la velocidad de flujo u se puede describir como el gradiente de un potencial de velocidad Φ :

${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi .}$

( A )

En consecuencia, asumiendo un flujo incompresible , el campo de velocidad u está libre de divergencia y el potencial de velocidad Φ satisface la ecuación de Laplace ^[46]

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

( B )

en el fluido interior.

La región de fluido se describe utilizando tridimensionales coordenadas cartesianas ( x , y , z ), con x y y las coordenadas horizontales, y z la coordenada vertical - con el positivo z -dirección oponerse a la dirección de la aceleración de la gravedad . El tiempo se denota con t . La superficie libre está ubicada en z = η ( x , y , t ) , y la parte inferior de la región del fluido está en z = - h ( x , y ) .

Las condiciones de contorno de superficie libre para ondas de gravedad superficiales , utilizando una descripción de flujo potencial , consisten en una condición de contorno cinemática y dinámica . ^[47] La condición de frontera cinemática asegura que el componente normal de la velocidad de flujo del fluido ,${\displaystyle {\bf {u}}=[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$en notación matricial, en la superficie libre es igual a la componente de velocidad normal del movimiento de superficie libre z = η ( x , y , t ) :

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$

( C )

La condición de frontera dinámica establece que, sin efectos de tensión superficial , la presión atmosférica justo encima de la superficie libre es igual a la presión del fluido justo debajo de la superficie. Para un flujo de potencial inestable, esto significa que la ecuación de Bernoulli debe aplicarse en la superficie libre. En caso de una presión atmosférica constante, la condición de frontera dinámica se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}+g\,\eta =0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t),}$

( D )

donde la presión atmosférica constante se ha tomado igual a cero, sin pérdida de generalidad .

Ambas condiciones de contorno contienen el potencial Φ así como la elevación de la superficie η . Una condición de frontera (dinámica) en términos de solo el potencial Φ se puede construir tomando la derivada material de la condición de frontera dinámica y usando la condición de frontera cinemática: ^{[46] [47] [48]}

${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$

${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$

${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$

( E )

En la parte inferior de la capa de fluido, la impermeabilidad requiere que el componente normal de la velocidad del flujo desaparezca: ^[46]

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial n}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial y}}\right)^{2}}}}\,\left\{{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial h}{\partial x}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial h}{\partial y}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right\}=0,\qquad {\text{ at }}z=-h(x,y),}$

( F )

donde h ( x , y ) es la profundidad del lecho debajo del datum z = 0 y n es el componente de coordenadas en la dirección normal al lecho .

Para ondas permanentes por encima de un lecho horizontal, la profundidad media h es una constante y la condición de contorno en el lecho se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$

Serie de Taylor en las condiciones de contorno de superficie libre

Las condiciones de contorno de superficie libre (D) y (E) se aplican a la elevación de superficie libre aún desconocida z = η ( x , y , t ) . Pueden transformarse en condiciones de contorno a una elevación fija z = constante mediante el uso de expansiones en serie de Taylor del campo de flujo alrededor de esa elevación. ^[46] Sin pérdida de generalidad, la elevación media de la superficie, alrededor de la cual se desarrollan las series de Taylor, puede tomarse en z = 0 . Esto asegura que la expansión esté alrededor de una elevación en la proximidad de la elevación real de la superficie libre. Levi-Civita (1925) demostró la convergencia de la serie de Taylor para el movimiento de onda estable de pequeña amplitud .

Se utiliza la siguiente notación: la serie de Taylor de algún campo f ( x , y , z , t ) alrededor de z = 0 - y evaluado en z = η ( x , y , t ) - es: ^[49]

${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$

con subíndice cero que significa evaluación en z = 0 , por ejemplo: [ f ] ₀ = f ( x , y , 0, t ) .

Aplicando la expansión de Taylor a la condición de contorno de superficie libre Ec. (E) en términos del potencial Φ da: ^{[46] [49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right){\biggr ]}_{0}\\&\quad +\cdots =0,\end{aligned}}}$

( G )

mostrando términos hasta productos triples de η , Φ y u , como se requiere para la construcción de la expansión de Stokes hasta tercer orden O (( ka ) ³ ). Aquí, ka es la pendiente de la onda, con k un número de onda característico y una amplitud de onda característica para el problema en estudio. Los campos eta , Φ y u se supone que son O ( ka ).

La condición de contorno dinámica de superficie libre Eq. (D) se puede evaluar en términos de cantidades en z = 0 como: ^{[46] [49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\,\eta \right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}{\biggr ]}_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{3}\Phi }{\partial t\,\partial z^{2}}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}\right)\right]_{0}+\cdots =0.\end{aligned}}}$

( H )

Las ventajas de estas expansiones de la serie de Taylor emergen completamente en combinación con un enfoque de serie de perturbaciones, para ondas débilmente no lineales ( ka ≪ 1) .

Enfoque de serie de perturbaciones

Las series de perturbaciones se expresan en términos de un pequeño parámetro de orden ε ≪ 1 , que posteriormente resulta ser proporcional a (y del orden de) la pendiente de la onda ka , consulte la solución de la serie en esta sección . ^[50] Entonces, toma ε = ka :

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$

Cuando se aplican en las ecuaciones de flujo, deben ser válidas independientemente del valor particular de ε . Al igualar en potencias de ε , cada término proporcional a ε a una determinada potencia tiene que ser igual a cero. Como ejemplo de cómo funciona el enfoque de series de perturbaciones, considere la condición de frontera no lineal (G) ; se convierte en: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno resultantes en z = 0 para los tres primeros órdenes son:

Primer orden:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}=0,}$

( J1 )

Segundo orden:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right),}$

( J2 )

Tercer orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}}$

( J3 )

De manera similar, a partir de la condición de frontera dinámica (H) , las condiciones en z = 0 en los órdenes 1, 2 y 3 se convierten en:

Primer orden:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+g\,\eta _{1}=0,}$

( K1 )

Segundo orden:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial t}}+g\,\eta _{2}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2},}$

( K2 )

Tercer orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial t}}+g\,\eta _{3}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\\&-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z^{2}}}-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2}\right).\end{aligned}}}$

( K3 )

Para las ecuaciones lineales (A) , (B) y (F), la técnica de perturbación da como resultado una serie de ecuaciones independientes de las soluciones de perturbación en otros órdenes:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} _{j}&=&{\boldsymbol {\nabla }}\Phi _{j},\\[1ex]\nabla ^{2}\Phi _{j}&=&0,\\[1ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{j}}{\partial n}}&=&0\quad {\text{ at }}z=-h,\end{array}}\right\}\qquad {\text{for all orders }}j\in \mathbb {N} ^{+}.}$

( L )

Las ecuaciones de perturbación anteriores se pueden resolver secuencialmente, es decir, comenzando con el primer orden, luego continuando con el segundo orden, tercer orden, etc.

Aplicación a ondas periódicas progresivas de forma permanente.

"> Reproducir medios

Animación de olas empinadas de Stokes en aguas profundas, con una longitud de onda de aproximadamente el doble de la profundidad del agua, durante tres períodos de olas sucesivos . La altura de la ola es el 90% de la altura máxima de la ola.
Descripción de la animación : Los puntos blancos son partículas fluidas, seguidas en el tiempo. En el caso mostrado aquí, la media euleriano horizontal velocidad debajo de la onda a través es cero. ^[51]