| Geometría |
|---|
 |
| Geometros |
La construcción con regla y compás , también conocida como construcción con regla y compás o construcción clásica , es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando solo una regla idealizada y un par de brújulas .
La regla idealizada, conocida como una regla , se supone que es de longitud infinita, tener sólo un borde, y no hay marcas en ella. Se supone que la brújula no tiene un radio máximo o mínimo, y se supone que se "colapsa" cuando se levanta de la página, por lo que no se puede utilizar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, utilizando un procedimiento de varios pasos, una distancia se puede transferir incluso con la brújula colapsada; consulte el teorema de equivalencia de la brújula . Sin embargo, tenga en cuenta que si bien una brújula que no colapsa sostenida contra una regla puede parecer equivalente a marcar Eso , la construcción de neusis todavía es inadmisible y esto es lo que realmente significa sin marcar: ver Reglas marcablesmás abajo.) Más formalmente, las únicas construcciones permitidas son las otorgadas por los primeros tres postulados de Euclides .
Resulta ser el caso de que cada punto construible usando regla y compás también puede construirse usando solo brújula.
Los antiguos matemáticos griegos concibieron por primera vez las construcciones con regla y compás, y una serie de problemas antiguos en geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles, pero la mayoría no. Algunos de los problemas más famosos de regla y brújula fueron probados imposibles por Pierre Wantzel en 1837, utilizando la teoría matemática de campos .
A pesar de las pruebas de imposibilidad existentes , algunos persisten en intentar solucionar estos problemas. [1] Muchos de estos problemas se pueden resolver fácilmente siempre que se permitan otras transformaciones geométricas: por ejemplo, es posible duplicar el cubo usando construcciones geométricas, pero no es posible usando solo regla y compás.
En términos de álgebra , una longitud es construible si y solo si representa un número construible , y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y solo si se puede escribir usando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas pero sin raíces de orden superior.
Herramientas de regla y brújula [ editar ]
La "regla" y el "compás" de las construcciones de regla y compás son idealizaciones de reglas y brújulas en el mundo real:
- La regla es infinitamente larga, pero no tiene marcas y solo tiene una regla, a diferencia de las reglas ordinarias. Solo se puede usar para dibujar un segmento de línea entre dos puntos o para extender un segmento existente.
- La brújula se puede abrir de forma arbitraria, pero (a diferencia de algunas brújulas reales ) no tiene marcas. Los círculos solo se pueden dibujar a partir de dos puntos determinados: el centro y un punto en el círculo. La brújula puede colapsar o no cuando no dibuja un círculo.
Las brújulas reales no colapsan y las construcciones geométricas modernas a menudo utilizan esta característica. Una "brújula colapsada" parecería ser un instrumento menos poderoso. Sin embargo, según el teorema de equivalencia de la brújula en la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides , no se pierde potencia al usar una brújula colapsada. Aunque la proposición es correcta, sus pruebas tienen una historia larga y accidentada. [2]
Cada construcción debe ser exacta . "Observarlo" (esencialmente mirar la construcción y adivinar su precisión, o usar alguna forma de medida, como las unidades de medida en una regla) y acercarse no cuenta como una solución.
Cada construcción debe terminar . Es decir, debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más estrechas.
Expresado de esta manera, las construcciones con regla y compás parecen ser un juego de salón , más que un problema práctico serio; pero el propósito de la restricción es asegurar que se pueda demostrar que las construcciones son exactamente correctas.
Historia [ editar ]
Los antiguos matemáticos griegos intentaron por primera vez construcciones con regla y compás, y descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, proporciones y raíces cuadradas de longitudes determinadas. [3] : pág. 1 También podrían construir la mitad de un ángulo dado , un cuadrado cuya área es el doble que la de otro cuadrado, un cuadrado con la misma área que un polígono dado y un polígono regular con 3, 4 o 5 lados [3] : p . xi (o uno con el doble de lados de un polígono dado [3] : págs. 49–50). Pero no podían construir un tercio de un ángulo dado excepto en casos particulares, o un cuadrado con la misma área que un círculo dado, o un polígono regular con otros números de lados. [3] : pág. xi Tampoco podrían construir el lado de un cubo cuyo volumen sería el doble del volumen de un cubo con un lado dado. [3] : pág. 29
Hipócrates y Menaecmo demostraron que el volumen del cubo se puede duplicar al encontrar las intersecciones de hipérbolas y parábolas , pero no se pueden construir con regla y compás. [3] : pág. 30 En el siglo V a. C., Hipias usó una curva que llamó cuadratriz para trisecar el ángulo general y cuadrar el círculo, y Nicomedes en el siglo II a. C. mostró cómo usar una concoide para trisecar un ángulo arbitrario; [3] : pág. 37 pero estos métodos tampoco se pueden seguir con solo regla y compás.
No se avanzó en los problemas no resueltos durante dos milenios, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular con 17 lados; cinco años más tarde mostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados sea construible. [3] : págs. 51 y sigs.
En 1837, Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, [4] basándose en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También mostró que la condición de constructibilidad suficiente de Gauss para polígonos regulares también es necesaria. [5]
Luego, en 1882, Lindemann demostró que es un número trascendental y, por lo tanto, es imposible con regla y compás construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado. [3] : pág. 47
Las construcciones básicas [ editar ]
Todas las construcciones con regla y compás consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas utilizando los puntos, líneas y círculos que ya se han construido. Estos son:
- Creando la línea a través de dos puntos existentes
- Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto
- Crear el punto que es la intersección de dos líneas no paralelas existentes
- Crear uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan)
- Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan).
Por ejemplo, comenzando con solo dos puntos distintos, podemos crear una línea o cualquiera de dos círculos (a su vez, usando cada punto como centro y pasando por el otro punto). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Dibujar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos completa la construcción de un triángulo equilátero.
Por tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría es equivalente a un álgebra axiomática , reemplazando sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss fue el primero en darse cuenta de esto y lo utilizó para probar la imposibilidad de algunas construcciones; sólo mucho más tarde Hilbert encontró un conjunto completo de axiomas para la geometría .
Construcciones de regla y compás muy utilizadas [ editar ]
Las construcciones de regla y compás más utilizadas incluyen:
- Construir la bisectriz perpendicular a partir de un segmento
- Encontrar el punto medio de un segmento.
- Dibujar una línea perpendicular desde un punto a una línea.
- Bisecar un ángulo
- Reflejando un punto en una línea
- Construir una línea a través de un punto tangente a un círculo
- Construyendo un círculo a través de 3 puntos no colineales
- Dibujar una línea a través de un punto dado paralelo a una línea dada.
Puntos y longitudes construibles [ editar ]
| Construcciones con regla y compás correspondientes a operaciones algebraicas | ||
|---|---|---|
x = a · b (teorema de la intersección) | x = a / b (teorema de la intersección) | x = √ a (teorema de Pitágoras) |
Mucho de lo que se puede construir está cubierto en el teorema de intersección de Tales .
Podríamos asociar un álgebra a nuestra geometría usando un sistema de coordenadas cartesianas hecho de dos líneas y representar puntos de nuestro plano mediante vectores . Finalmente, podemos escribir estos vectores como números complejos.
Usando las ecuaciones para líneas y círculos, se puede mostrar que los puntos en los que se cruzan se encuentran en una extensión cuadrática del campo más pequeño F que contiene dos puntos en la línea, el centro del círculo y el radio del círculo. Es decir, que son de la forma x + y √ k , donde x , y , y k están en F .
Dado que el campo de puntos construibles está cerrado bajo raíces cuadradas , contiene todos los puntos que se pueden obtener mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de números complejos con coeficientes racionales. Mediante el párrafo anterior, se puede demostrar que cualquier punto constructivo puede obtenerse mediante tal secuencia de extensiones. Como corolario de esto, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y por lo tanto de cualquier longitud construible) es una potencia de 2. En particular, cualquier punto (o longitud) construible es un número algebraico , aunque no todo número algebraico es construible; por ejemplo, 3 √ 2 es algebraico pero no construible. [4]
Ángulos construibles [ editar ]
Existe una biyección entre los ángulos que son construibles y los puntos que son construibles en cualquier círculo construible. Los ángulos que son construibles forman un grupo abeliano bajo el módulo de adición 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos en el círculo unitario visto como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, seno o coseno) es construible como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados ) es construible porque
como lo descubrió Gauss . [6]
El grupo de ángulos construibles se cierra bajo la operación que divide los ángulos por la mitad (que corresponde a sacar raíces cuadradas en los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse partiendo de dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos o un producto de una potencia de dos y un conjunto de primos de Fermat distintos . Además, existe un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.
Construcciones con regla y compás como aritmética compleja [ editar ]
Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano , seleccionar cualquiera de ellos para que se llame 0 y otro para que se llame 1 , junto con una elección arbitraria de orientación, nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos .
Dada cualquier interpretación de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construibles usando construcciones válidas de regla y compás solamente son precisamente los elementos del campo más pequeño que contiene el conjunto original de puntos y cerrados bajo las operaciones complejas de raíz cuadrada y conjugada (para evitar ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con un argumento complejo menor que π). Los elementos de este campo son precisamente aquellos que pueden expresarse como fórmula en los puntos originales utilizando únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , conjugado complejo yraíz cuadrada , que se ve fácilmente como un subconjunto denso numerable del plano. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una construcción simple de regla y compás. A partir de una fórmula de este tipo, es sencillo producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Las construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a atajos en tales cálculos.
De manera equivalente (y sin necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos) podemos decir que, dada una elección arbitraria de orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de razones complejas dadas por las razones de las diferencias entre dos pares de puntos cualesquiera. El conjunto de proporciones que se pueden construir con regla y compás a partir de tal conjunto de proporciones es precisamente el campo más pequeño que contiene las proporciones originales y se cierra tomando conjugados complejos y raíces cuadradas.
Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o razón z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son construibles ya que pueden expresarse como
Duplicar el cubo y la trisección de un ángulo (excepto para ángulos especiales como cualquier φ tal que φ / 2π es un número racional con denominador no divisible por 3) requieren razones que son la solución de ecuaciones cúbicas , mientras que cuadrar el círculo requiere un trascendental proporción. Ninguno de estos se encuentra en los campos descritos, por lo que no existe una construcción de regla y compás para estos.
Construcciones imposibles [ editar ]
Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. [7] Sin embargo, con los métodos modernos, se ha demostrado que estas construcciones con regla y compás son lógicamente imposibles de realizar. (Los problemas en sí mismos, sin embargo, tienen solución, y los griegos sabían cómo resolverlos sin la restricción de trabajar solo con regla y compás).
Cuadrando el círculo [ editar ]
El más famoso de estos problemas, cuadrar el círculo , también conocido como la cuadratura del círculo, implica construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo regla y compás.
Se ha demostrado que la cuadratura del círculo es imposible, ya que implica generar un número trascendental , es decir, √ π . Solo se pueden construir ciertos números algebraicos con regla y compás solamente, es decir, aquellos construidos a partir de números enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. La frase "cuadrar el círculo" se usa a menudo para significar "hacer lo imposible" por esta razón.
Sin la restricción de requerir una solución solo con regla y compás, el problema se puede resolver fácilmente mediante una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos, y se resolvió muchas veces en la antigüedad. [8]
Un método que se acerca mucho a la aproximación de la "cuadratura del círculo" se puede lograr utilizando un triángulo de Kepler .
Duplicar el cubo [ editar ]
Duplicar el cubo es la construcción, usando solo una regla y un compás, del borde de un cubo que tiene el doble del volumen de un cubo con un borde dado. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de números enteros mediante sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible usando una regla con dos marcas y un compás.
Trisección de ángulo [ editar ]
La trisección de ángulo es la construcción, usando solo una regla y un compás, de un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, el ángulo 2π / 5 radianes (72 ° = 360 ° / 5) se puede trisecar, pero el ángulo de π / 3 radianes (60 ° ) no se puede trisecar. [9] El problema general de la trisección también se resuelve fácilmente cuando se permite una regla con dos marcas (una construcción neusis ).
Distancia a una elipse [ editar ]
Se puede construir el segmento de línea desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de un círculo , pero el segmento desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de una elipse de excentricidad positiva no se puede construir en general. [10]
El problema de Alhazen [ editar ]
En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró el teorema de que no existe una construcción de regla y compás para la solución general del antiguo problema de Alhazen (problema del billar o reflejo de un espejo esférico). [11] [12]
Construyendo polígonos regulares [ editar ]
Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono ) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son. Esto llevó a la pregunta: ¿Es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?
Carl Friedrich Gauss en 1796 demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años más tarde demostró que un polígono regular de n lados se puede construir con regla y compás si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos . Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria , pero no ofreció ninguna prueba de este hecho, que fue proporcionada por Pierre Wantzel en 1837. [5]
Los primeros polígonos regulares construibles tienen los siguientes números de lados:
- 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272 ... (secuencia A003401 en la OEIS )
Se sabe que hay una infinidad de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un n -gon regular es construible, entonces también lo es un regular 2 n -gon y, por lo tanto, un regular 4 n -gon, 8 n -gon , etc.). Sin embargo, solo hay 31 n- gones regulares construibles conocidos con un número impar de lados.
Construir un triángulo a partir de tres puntos o longitudes característicos dados [ editar ]
Dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices , los puntos medios de sus lados , los pies de sus altitudes , los pies de sus bisectrices angulares internas y su circuncentro , centroide , ortocentro e incentro . Estos se pueden tomar de tres en tres para producir 139 problemas distintos y no triviales de construir un triángulo a partir de tres puntos. [13]De estos problemas, tres involucran un punto que puede construirse de manera única a partir de los otros dos puntos; 23 puede construirse de forma no única (de hecho, para un número infinito de soluciones), pero solo si las ubicaciones de los puntos obedecen a ciertas restricciones; en 74 el problema es construible en el caso general; y en 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.
Doce longitudes clave de un triángulo son las tres longitudes de los lados, las tres altitudes , las tres medianas y las tres bisectrices de los ángulos . Junto con los tres ángulos, estos dan 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales dan lugar a un triángulo construible, 30 de las cuales no lo hacen y dos de las cuales están indefinidas. [14] : págs. 201–203
Construcciones restringidas [ editar ]
Se han realizado varios intentos para restringir las herramientas permitidas para las construcciones bajo varias reglas, con el fin de determinar qué es todavía construible y cómo se puede construir, así como determinar los criterios mínimos necesarios para poder construir todo lo que compás y regla. lata.
Construir con solo regla o solo compás [ editar ]
Es posible (de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni ) construir cualquier cosa con solo una brújula si se puede construir con una regla y un compás, siempre que los datos dados y los datos que se encuentren consistan en puntos discretos (no líneas o círculos ). La verdad de este teorema depende de la verdad del axioma de Arquímedes, [15] que no es de primer orden por naturaleza.
Es imposible sacar una raíz cuadrada con solo una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se pueden construir con un compás; pero (según el teorema de Poncelet-Steiner ) dado un solo círculo y su centro, se pueden construir.
Construcciones extendidas [ editar ]
Los antiguos griegos clasificaron las construcciones en tres categorías principales, según la complejidad de las herramientas necesarias para su solución. Si una construcción usaba solo una regla y un compás, se llamaba plana; si también requería una o más secciones cónicas (distintas del círculo), entonces se llamaba sólido; la tercera categoría incluía todas las construcciones que no entraban en ninguna de las otras dos categorías. [16] Esta categorización encaja muy bien con el punto de vista algebraico moderno. Un número complejo que se puede expresar usando solo las operaciones de campo y las raíces cuadradas (como se describe arriba ) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye también la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.
En el lenguaje de los campos, un número complejo que es plano tiene un grado una potencia de dos y se encuentra en una extensión de campo que se puede dividir en una torre de campos donde cada extensión tiene un grado dos. Un número complejo que tiene una construcción sólida tiene un grado con factores primos de solo dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que está en la parte superior de una torre de campos donde cada extensión tiene un grado 2 o 3.
Construcciones sólidas [ editar ]
Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir usando una regla, un compás y una herramienta de dibujo cónica (posiblemente hipotética) que pueda dibujar cualquier cónica con foco, directriz y excentricidad ya construidos. El mismo conjunto de puntos a menudo se puede construir utilizando un conjunto más pequeño de herramientas. Por ejemplo, usando un compás, una regla y una hoja de papel en la que tenemos la parábola y = x 2 junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga un sólido construcción. Del mismo modo, una herramienta que puede dibujar cualquier elipse con focos y ejes mayores ya construidos (piense en dos alfileres y un trozo de cuerda) es igual de poderosa. [17]
Los antiguos griegos sabían que doblar el cubo y trisecar un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una construcción sólida del 7-gon regular. La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.
Un n -gon regular tiene una construcción sólida si y solo si n = 2 j 3 k m donde m es un producto de distintos números primos de Pierpont (primos de la forma 2 r 3 s +1). El conjunto de tales n es la secuencia
- 7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42 , 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70 , 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90 , 91, 95, 97 ... (secuencia A051913 en la OEIS )
El conjunto de n para el que un n -gon regular no tiene una construcción sólida es la secuencia
- 11 , 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50 , 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 ... (secuencia A048136 en la OEIS )
Al igual que la pregunta con los números primos de Fermat, es una pregunta abierta si hay un número infinito de números primos de Pierpont.
Trisección de ángulo [ editar ]
¿Qué pasaría si, junto con la regla y el compás, tuviéramos una herramienta que pudiera (solo) trisecar un ángulo arbitrario? Tales construcciones son construcciones sólidas, pero existen números con construcciones sólidas que no se pueden construir con una herramienta de este tipo. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con una herramienta de este tipo. [18] Por otro lado, cada n-gon regular que tenga una construcción sólida puede construirse usando una herramienta de este tipo.
Origami [ editar ]
La teoría matemática del origami es más poderosa que la construcción de regla y compás. Los pliegues que satisfacen los axiomas de Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas usando una brújula y una herramienta de dibujo cónica. Por lo tanto, el origami también se puede usar para resolver ecuaciones cúbicas (y por lo tanto ecuaciones cuárticas) y, por tanto, resolver dos de los problemas clásicos. [19]
Gobernantes marcables [ editar ]
Arquímedes , Nicomedes y Apolonio dieron construcciones que implicaban el uso de una regla marcable. Esto les permitiría, por ejemplo, tomar un segmento de línea, dos líneas (o círculos) y un punto; y luego dibuje una línea que pase por el punto dado y cruce las dos líneas dadas, de modo que la distancia entre los puntos de intersección sea igual al segmento dado. Esto los griegos llamaron neusis ("inclinación", "tendencia" o "raya"), porque la nueva línea tiende al punto. En este esquema expandido, podemos trisecar un ángulo arbitrario (ver la trisección de Arquímedes ) o extraer una raíz cúbica arbitraria (debido a Nicomedes). Por eso,cualquier distancia cuya relación con una distancia existente sea la solución de ununa ecuación cúbica o cuártica es construible. Usando una regla marcable, los polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono , son construibles; y John H. Conway y Richard K. Guy dan construcciones para varios de ellos. [20]
La construcción neusis es más poderosa que una herramienta de dibujo cónico, ya que se pueden construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, con esta herramienta se pueden resolver algunas quínticas que no se pueden resolver con radicales . [21] Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreducible de grado primo mayor o igual a 7 usando la construcción neusis, por lo que no es posible construir un 23-gon o 29-gon regular usando esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el 11-gon regular, pero no dieron una construcción. [22] Todavía está abierto en cuanto a si un 25-gon o 31-gon regular es construible usando esta herramienta.
Cálculo de dígitos binarios [ editar ]
En 1998, Simon Plouffe dio un algoritmo de regla y brújula que se puede utilizar para calcular dígitos binarios de ciertos números. [23] El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente impráctico después de unos 20 dígitos binarios.
Ver también [ editar ]
- Círculo de Carlyle
- Criptografía geométrica
- Geometrografia
- Lista de software de geometría interactiva , la mayoría de ellos muestran construcciones de regla y compás
- Matemáticas del plegado de papel
- Underwood Dudley , un matemático que se ha dedicado a recopilar pruebas de regla y compás falsas.
Referencias [ editar ]
- ^ Underwood Dudley (1983), "Qué hacer cuando llega el trisector" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 5 (1): 20-25, doi : 10.1007 / bf03023502
- ^ Godfried Toussaint, "Una nueva mirada a la segunda proposición de Euclides", The Mathematical Intelligencer , vol. 15, núm. 3, (1993), págs. 12-24.
- ^ a b c d e f g h i Atrevido, Benjamín. Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos , Publicaciones de Dover, 1982 (orig. 1969).
- ↑ a b Wantzel, Pierre-Laurent (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372 . Consultado el 3 de marzo de 2014 .
- ↑ a b Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970]. Gobernante y Ronda . Mineola, Nueva York: Dover. págs. 29-30. ISBN 978-0-486-42515-3.
- ^ Weisstein, Eric W. "Ángulos de trigonometría - Pi / 17" . MathWorld .
- ^ Stewart, Ian. Teoría de Galois . pag. 75.
- ^ * Cuadrando el círculo en MacTutor
- ^ Instrucciones para trisecar un ángulo de 72˚.
- ^ Azad, H. y Laradji, A., "Algunas construcciones imposibles en geometría elemental", Mathematical Gazette 88, noviembre de 2004, 548–551.
- ^ Neumann, Peter M. (1998), "Reflexiones sobre la reflexión en un espejo esférico", American Mathematical Monthly , 105 (6): 523-528, doi : 10.1080 / 00029890.1998.12004920 , JSTOR 2589403 , MR 1626185
- ^ Highfield, Roger (1 de abril 1997), "Don resuelve el último puzzle dejado por los antiguos griegos" , Electronic Telegraph , 676 , archivados desde el original el 23 de noviembre de 2004 , recuperado 2008-09-24
- ^ Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkoviċ y Predrag Janičiċ. "Lista de Wernick: una actualización final", Forum Geometricorum 16, 2016, págs. 69–80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf
- ^ Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
- ^ Avron, Arnon (1990). "Sobre estricta constructibilidad fuerte con solo una brújula". Revista de geometría . 38 (1–2): 12–15. doi : 10.1007 / BF01222890 .
- ^ TL Heath, "Una historia de las matemáticas griegas, volumen I"
- ^ P. Hummel, "Construcciones sólidas usando elipses", The Pi Mu Epsilon Journal , 11 (8), 429 - 435 (2003)
- ^ Gleason, Andrew : "Trisección de ángulo, el heptágono y el triskaidecágono", Amer. Matemáticas. Mensual 95 (1988), no. 3, 185-194.
- ^ Fila, T. Sundara (1966). Ejercicios geométricos en plegado de papel . Nueva York: Dover.
- ^ Conway, John H. y Richard Guy: El libro de los números
- ^ A. Baragar, "Construcciones con una regla de dos muescas", The American Mathematical Monthly , 109 (2), 151 - 164 (2002).
- ^ E. Benjamin, C. Snyder, "Sobre la construcción del endecágono regular por regla y compás marcados", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 156 (3), 409 - 424 (2014).
- ^ Simon Plouffe (1998). "El cálculo de ciertos números con una regla y un compás" . Diario de secuencias de enteros . 1 . ISSN 1530-7638 .
Enlaces externos [ editar ]
- Construcciones de polígonos regulares por Dr. Math en The Math Forum @ Drexel
- Construcción con la brújula solo al cortar el nudo
- Trisección de ángulo de Hipócrates al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Trisección de ángulo" . MathWorld .
