Topología de cadena

La topología de cadenas , una rama de las matemáticas , es el estudio de estructuras algebraicas en la homología de espacios de bucle libre . El campo fue iniciado por Moira Chas y Dennis Sullivan  ( 1999 ).

Mientras que la cohomología singular de un espacio siempre tiene una estructura de producto, esto no es cierto para la homología singular de un espacio. Sin embargo, es posible construir tal estructura para una variedad orientada de dimensión . Este es el llamado producto de intersección . Intuitivamente, uno puede describirlo de la siguiente manera: clases dadas y , toman su producto y lo hacen transversal a la diagonal . La intersección es entonces una clase en , el producto de la intersección de y . Una forma de hacer que esta construcción sea rigurosa es usar estratifolds .${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización d}$${\ estilo de visualización x \ en H_ {p} (M)}$${\ estilo de visualización y \ en H_ {q} (M)}$${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$${\displaystyle H_{p+qd}(M)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$

Otro caso, donde la homología de un espacio tiene un producto, es el espacio de bucle (basado) de un espacio . Aquí el espacio en sí tiene un producto. ${\ estilo de visualización \ Omega X}$${\ estilo de visualización X}$

pasando primero por el primer bucle y luego por el segundo. No existe una estructura de producto análoga para el espacio de bucle libre de todos los mapas desde hasta , ya que los dos bucles no necesitan tener un punto común. Un sustituto del mapa es el mapa ${\ estilo de visualización LX}$${\ estilo de visualización S^{1}}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización m}$

donde es el subespacio de , donde el valor de los dos bucles coincide en 0 y se define de nuevo al componer los bucles.${\displaystyle {\rm {Mapa}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$${\ estilo de visualización LM \ veces LM}$${\ estilo de visualización \ gamma}$

el par de pantalones