La lógica subjetiva es un tipo de lógica probabilística que tiene en cuenta explícitamente la incertidumbre epistémica y la confianza en la fuente. En general, la lógica subjetiva es adecuada para modelar y analizar situaciones que involucran incertidumbre y fuentes relativamente poco confiables. [1] [2] [3] Por ejemplo, se puede utilizar para modelar y analizar redes de confianza y redes bayesianas .
Los argumentos en lógica subjetiva son opiniones subjetivas sobre variables de estado que pueden tomar valores de un dominio (también conocido como espacio de estado), donde un valor de estado puede considerarse como una proposición que puede ser verdadera o falsa. Una opinión binomial se aplica a una variable de estado binaria y se puede representar como un PDF Beta (Función de densidad de probabilidad). Una opinión multinomial se aplica a una variable de estado de múltiples valores posibles y se puede representar como un PDF de Dirichlet (Función de densidad de probabilidad). A través de la correspondencia entre opiniones y distribuciones Beta / Dirichlet, la lógica subjetiva proporciona un álgebra para estas funciones. Las opiniones también están relacionadas con la representación de creencias en la teoría de creencias de Dempster-Shafer .
Un aspecto fundamental de la condición humana es que nadie puede determinar con absoluta certeza si una proposición sobre el mundo es verdadera o falsa. Además, siempre que se expresa la verdad de una proposición, siempre lo hace un individuo y nunca se puede considerar que represente una creencia general y objetiva. Estas ideas filosóficas se reflejan directamente en el formalismo matemático de la lógica subjetiva.
Opiniones subjetivas
Las opiniones subjetivas expresan creencias subjetivas sobre la verdad de los valores / proposiciones estatales con grados de incertidumbre epistémica y pueden indicar explícitamente la fuente de la creencia cuando sea necesario. Una opinión generalmente se denota como dónde es la fuente de la opinión, y es la variable de estado a la que se aplica la opinión. La variable puede tomar valores de un dominio (también llamado espacio de estado), por ejemplo, denotado como . Se supone que los valores de un dominio son exhaustivos y mutuamente inconexos, y se supone que las fuentes tienen una interpretación semántica común de un dominio. La fuente y la variable son atributos de una opinión. La indicación de la fuente puede omitirse siempre que sea irrelevante.
Opiniones binomiales
Dejar ser un valor de estado en un dominio binario. Una opinión binomial sobre la verdad del valor estatal es el cuádruple ordenado dónde:
: masa de creencias | es la creencia de que es verdad. |
: masa de incredulidad | es la creencia de que Es falso. |
: masa de incertidumbre | es la cantidad de creencia no comprometida, también interpretada como incertidumbre epistémica . |
: tasa básica | es la probabilidad previa en ausencia de creencia o incredulidad. |
Estos componentes satisfacen y . Las características de varias clases de opinión se enumeran a continuación.
Una opinión | dónde | es una opinión absoluta que es equivalente a Boolean TRUE, |
dónde | es una opinión absoluta que es equivalente a Boolean FALSE, | |
dónde | es una opinión dogmática que equivale a una probabilidad tradicional, | |
dónde | es una opinión incierta que expresa grados de incertidumbre epistémica , y | |
dónde | es una opinión vacía que expresa una incertidumbre epistémica total o una vacuidad total de creencia. |
La probabilidad proyectada de una opinión binomial se define como .
Las opiniones binomiales se pueden representar en un triángulo equilátero como se muestra a continuación. Un punto dentro del triángulo representa untriple. Los ejes b , d , u van desde un borde hasta el vértice opuesto indicado por la etiqueta Creencia, Incredulidad o Incertidumbre. Por ejemplo, una opinión positiva fuerte está representada por un punto hacia el vértice Creencia inferior derecho. La tasa base, también llamada probabilidad previa, se muestra como un puntero rojo a lo largo de la línea base, y la probabilidad proyectada,, se forma proyectando la opinión sobre la base, paralela a la línea del proyector de tarifa base. Las opiniones sobre tres valores / proposiciones X, Y y Z se visualizan en el triángulo de la izquierda, y sus PDF Beta equivalentes (Funciones de densidad de probabilidad) se visualizan en los gráficos de la derecha. También se muestran los valores numéricos y las descripciones cualitativas verbales de cada opinión.
El PDF Beta normalmente se denota como dónde y son sus dos parámetros de fuerza. El PDF Beta de una opinión binomial es la funcion dónde es el peso previo no informativo, también llamado unidad de evidencia, [4] normalmente establecido en.
Opiniones multinomiales
Dejar ser una variable de estado que puede tomar valores de estado . Una opinión multinomial sobre es la tupla compuesta , dónde es una distribución de la masa de creencias sobre los posibles valores de estado de , es la masa de incertidumbre, y es la distribución de probabilidad previa (tasa base) sobre los posibles valores de estado de . Estos parámetros satisfacen y así como .
Las opiniones trinomiales pueden visualizarse simplemente como puntos dentro de un tetraedro , pero las opiniones con dimensiones mayores que el trinomio no se prestan a una visualización simple.
Los PDF de Dirichlet normalmente se indican como dónde es una distribución de probabilidad sobre los valores estatales de , y son los parámetros de fuerza. El PDF de Dirichlet de una opinión multinomial es la funcion donde los parámetros de fuerza vienen dados por , dónde es el peso previo no informativo, también llamado unidad de evidencia, [4] normalmente establecido en.
Operadores
La mayoría de los operadores de la tabla siguiente son generalizaciones de la lógica binaria y los operadores de probabilidad. Por ejemplo, la suma es simplemente una generalización de la suma de probabilidades. Algunos operadores solo son significativos para combinar opiniones binomiales, y algunos también se aplican a opiniones multinomiales. [5] La mayoría de los operadores son binarios, pero el complemento es unario y la abducción es ternaria. Consulte las publicaciones de referencia para obtener detalles matemáticos de cada operador.
Operador de lógica subjetiva | Notación de operador | Operador lógico proposicional / binario |
---|---|---|
Adición [6] | Unión | |
Resta [6] | Diferencia | |
Multiplicación [7] | Conjunción / Y | |
División [7] | Inconjunción / UN-AND | |
Multiplicación [7] | Disyunción / OR | |
Codivisión [7] | Disyunción / UN-OR | |
Complemento [2] [3] | NO | |
Deducción [1] | Modus ponens | |
Teorema subjetivo de Bayes [1] [8] | Contraposición | |
Secuestro [1] | Modus tollens | |
Transitividad / descuento [1] | n / A | |
Fusión acumulativa [1] | n / A | |
Fusión de restricciones [1] | n / A |
La combinación de fuente transitiva puede indicarse en forma compacta o expandida. Por ejemplo, la ruta de confianza transitiva del analista / fuente a través de la fuente a la variable se puede denotar como en forma compacta, o como en forma expandida. Aquí, expresa que tiene cierta confianza / desconfianza en la fuente , mientras que expresa que tiene una opinión sobre el estado de la variable que se da como un consejo a . La forma expandida es la más general y corresponde directamente a la forma en que se forman las expresiones lógicas subjetivas con operadores.
Propiedades
En caso de que las opiniones de los argumentos sean equivalentes a VERDADERO o FALSO booleano, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo es siempre igual al del correspondiente operador lógico proposicional / binario. De manera similar, cuando las opiniones de los argumentos son equivalentes a las probabilidades tradicionales, el resultado de cualquier operador lógico subjetivo es siempre igual al del operador de probabilidad correspondiente (cuando existe).
En caso de que las opiniones del argumento contengan grados de incertidumbre, los operadores que involucran multiplicación y división (incluida la deducción, la abducción y el teorema de Bayes) producirán opiniones derivadas que siempre tienen una probabilidad proyectada correcta pero posiblemente con una varianza aproximada cuando se ven como PDF Beta / Dirichlet. [1] Todos los demás operadores producen opiniones en las que las probabilidades proyectadas y la varianza son siempre analíticamente correctas.
Las diferentes fórmulas lógicas que tradicionalmente son equivalentes en lógica proposicional no necesariamente tienen opiniones iguales. Por ejemploen general, aunque la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, expresada como, se mantiene en la lógica proposicional binaria. Esto no es ninguna sorpresa ya que los correspondientes operadores de probabilidad tampoco son distributivos. Sin embargo, la multiplicación es distributiva sobre la suma, como se expresa por. Las leyes de De Morgan también se cumplen, por ejemplo, expresadas por.
La lógica subjetiva permite un cálculo muy eficiente de modelos matemáticamente complejos. Esto es posible mediante la aproximación de las funciones analíticamente correctas. Si bien es relativamente sencillo multiplicar analíticamente dos PDF Beta en forma de un PDF Beta conjunto , cualquier cosa más compleja que eso se vuelve rápidamente intratable. Cuando se combinan dos PDF Beta con algún operador / conectivo, el resultado analítico no siempre es un PDF Beta y puede involucrar series hipergeométricas . En tales casos, la lógica subjetiva siempre se aproxima al resultado como una opinión que es equivalente a un PDF Beta.
Aplicaciones
La lógica subjetiva es aplicable cuando la situación a analizar se caracteriza por una considerable incertidumbre epistémica debido a un conocimiento incompleto. De esta manera, la lógica subjetiva se convierte en una lógica probabilística para probabilidades epistémico-inciertas. La ventaja es que la incertidumbre se conserva a lo largo del análisis y se hace explícita en los resultados para que sea posible distinguir entre conclusiones ciertas e inciertas.
El modelado de redes de confianza y redes bayesianas son aplicaciones típicas de la lógica subjetiva.
Redes de confianza subjetiva
Las redes de confianza subjetiva se pueden modelar con una combinación de operadores de transitividad y fusión. Dejar expresar la ventaja de la confianza de referencia de a , y deja expresar la ventaja de la creencia de a . Una red de confianza subjetiva se puede expresar, por ejemplo, como como se ilustra en la figura siguiente.
Los índices 1, 2 y 3 indican el orden cronológico en el que se forman los bordes de confianza y los consejos. Por lo tanto, dado el conjunto de bordes de confianza con índice 1, el origen de confianza recibe consejos de y , y por lo tanto es capaz de derivar la creencia en variables . Al expresar cada ventaja de la confianza y la ventaja de la creencia como una opinión, es posible que para derivar la creencia en expresado como .
Las redes de confianza pueden expresar la confiabilidad de las fuentes de información y pueden usarse para determinar opiniones subjetivas sobre las variables sobre las que las fuentes brindan información.
La lógica subjetiva basada en la evidencia ( EBSL ) [4] describe un cálculo alternativo de la red de confianza, donde la transitividad de las opiniones (descuento) se maneja aplicando ponderaciones a la evidencia subyacente a las opiniones.
Redes subjetivas bayesianas
En la red bayesiana a continuación, y son variables padre y es la variable secundaria. El analista debe conocer el conjunto de opiniones condicionales conjuntas para aplicar el operador de deducción y derivar la opinión marginal en la variable . Las opiniones condicionales expresan una relación condicional entre las variables principales y la variable secundaria.
La opinión deducida se calcula como . La opinión de prueba conjunta puede calcularse como el producto de opiniones de pruebas independientes sobre y , o como el producto conjunto de opiniones de pruebas parcialmente dependientes.
Redes subjetivas
La combinación de una red de confianza subjetiva y una red bayesiana subjetiva es una red subjetiva. La red de confianza subjetiva se puede utilizar para obtener de diversas fuentes las opiniones que se utilizarán como opiniones de entrada a la red bayesiana subjetiva, como se ilustra en la figura siguiente.
La red bayesiana tradicional no suele tener en cuenta la fiabilidad de las fuentes. En las redes subjetivas, la confianza en las fuentes se tiene en cuenta explícitamente.
Referencias
- ^ a b c d e f g h A. Jøsang. Lógica subjetiva: un formalismo para razonar bajo incertidumbre . Springer Verlag, 2016
- ^ a b A. Jøsang. Razonamiento artificial con lógica subjetiva. Actas del segundo taller australiano sobre razonamiento con sentido común , Perth 1997. PDF
- ^ a b A. Jøsang. Una lógica para probabilidades inciertas. Revista internacional de incertidumbre, confusión y sistemas basados en el conocimiento . 9 (3), págs. 279–311, junio de 2001. PDF
- ^ a b c Skoric, B .; Zannone, N. (2016). "Reputación basada en flujo con incertidumbre: lógica subjetiva basada en evidencias". Revista Internacional de Seguridad de la Información . 15 : 381–402. arXiv : 1402,3319 . doi : 10.1007 / s10207-015-0298-5 .
- ^ A. Jøsang. Lógica probabilística bajo incertidumbre. Proceedings of Computing: The Australian Theory Symposium (CATS'07) , Ballarat, enero de 2007. PDF
- ^ a b D. McAnally y A. Jøsang. Suma y resta de creencias. Actas de la conferencia sobre procesamiento de información y gestión de la incertidumbre en sistemas basados en el conocimiento (IPMU2004) , Perugia, julio de 2004.
- ^ a b c d A. Jøsang y D. McAnally. Multiplicación y Comultiplicación de Creencias. Revista Internacional de Razonamiento Aproximado , 38/1, págs. 19–51, 2004.
- ^ A. Jøsang. Generalización del teorema de Bayes en lógica subjetiva . 2016 IEEE International Conference on Multisensor Fusion and Integration for Intelligent Systems (MFI 2016) , Baden-Baden, Alemania, 2016.
enlaces externos
- Lógica subjetiva de Audun Jøsang
- Marco de experimentación de lógica subjetiva basado en operadores de lógica subjetiva en la evaluación de la confianza: un estudio empírico de F. Cerutti, LM Kaplan, TJ Norman, N. Oren y A. Toniolo