Sustracción

La resta es una operación aritmética que representa la operación de eliminar objetos de una colección. La resta se indica con el signo menos , - . Por ejemplo, en la imagen adyacente, hay 5 - 2 manzanas, es decir, 5 manzanas de las que se han quitado 2, lo que da como resultado un total de 3 manzanas. Por tanto, la diferencia de 5 y 2 es 3; es decir, 5 - 2 = 3 . Si bien se asocia principalmente con números naturales en aritmética , la resta también puede representar eliminar o disminuir cantidades físicas y abstractas utilizando diferentes tipos de objetos, incluidos números negativos , fracciones ,números , vectores , decimales, funciones y matrices irracionales . ^{[1] [2]}

" 5 - 2 = 3" (verbalmente, "cinco menos dos es tres")

Cartel en el exterior de una tienda en Burdeos con la sustracción publicitaria del 20% del precio del segundo perfume comprado.

La resta sigue varios patrones importantes. Es anticomutativo , lo que significa que cambiar el orden cambia el signo de la respuesta. Tampoco es asociativo , lo que significa que cuando uno resta más de dos números, el orden en el que se realiza la resta es importante. Debido a que 0 es la identidad aditiva , la resta no cambia un número. La resta también obedece a reglas predecibles sobre operaciones relacionadas, como la suma y la multiplicación . Todas estas reglas se pueden probar , comenzando con la resta de números enteros y generalizando a través de los números reales y más allá. Las operaciones binarias generales que siguen estos patrones se estudian en álgebra abstracta .

Realizar restas en números naturales es una de las tareas numéricas más simples. La resta de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños. En la educación primaria, por ejemplo, a los estudiantes se les enseña a restar números en el sistema decimal , comenzando con un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles.

En álgebra avanzada y en álgebra computacional , una expresión que implica una resta como A - B generalmente se trata como una notación abreviada para la suma A + (- B ) . Por lo tanto, A - B contiene dos términos, a saber, A y - B . Esto permite un uso más fácil de la asociatividad y la conmutatividad .

Notación y terminología

Resta de números del 0 al 10. Etiquetas de línea = minuendo. Eje X = sustraendo. Eje Y = diferencia.

La resta generalmente se escribe usando el signo menos "-" entre los términos; ^[3] es decir, en notación infija . El resultado se expresa con un signo igual . Por ejemplo,

${\displaystyle 2-1=1}$ (pronunciado como "dos menos uno es igual a uno")

${\displaystyle 4-2=2}$ (pronunciado como "cuatro menos dos es igual a dos")

${\displaystyle 6-3=3}$ (pronunciado como "seis menos tres es igual a tres")

${\displaystyle 4-6=-2}$ (pronunciado como "cuatro menos seis es igual a dos menos")

También hay situaciones en las que se "entiende" la resta, aunque no aparezca ningún símbolo:

• Una columna de dos números, con el número más bajo en rojo, generalmente indica que el número más bajo en la columna debe restarse, con la diferencia escrita debajo, debajo de una línea. Esto es más común en contabilidad.

Formalmente, el número que se resta se conoce como sustraendo , ^{[4] [5]} mientras que el número del que se resta es el minuendo . ^{[4] [5]} El resultado es la diferencia . ^{[4] [5] [2] [6]}

Toda esta terminología se deriva del latín . " Resta " es una palabra inglesa derivada del verbo latino subtrahere , que a su vez es un compuesto de sub "from under" y trahere "to pull". Entonces, restar es sacar de abajo o quitar . ^{[7] El} uso del sufijo gerundivo -nd da como resultado "sustraendo", "cosa a restar". ^[a] Asimismo, de minuere "reducir o disminuir", se obtiene "minuendo", que significa "cosa a disminuir".

De enteros y números reales

Enteros

Imagina un segmento de recta de longitud b con el extremo izquierdo etiquetado como a y el extremo derecho etiquetado como c . A partir de a , se dan pasos b hacia la derecha para llegar a c . Este movimiento a la derecha se modela matemáticamente mediante la suma :

a + b = c .

Desde c , se dan b pasos hacia la izquierda para volver a a . Este movimiento a la izquierda está modelado por resta:

c - b = a .

Ahora, un segmento de línea etiquetado con los números 1 , 2 y 3 . Desde la posición 3, no se dan pasos hacia la izquierda para permanecer en 3, por lo que 3-0 = 3 . Se necesitan 2 pasos hacia la izquierda para llegar a la posición 1, por lo que 3 - 2 = 1 . Esta imagen es inadecuada para describir lo que sucedería después de dar 3 pasos a la izquierda de la posición 3. Para representar tal operación, la línea debe extenderse.

Para restar números naturales arbitrarios , se comienza con una línea que contiene todos los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Desde 3, se necesitan 3 pasos hacia la izquierda para llegar a 0, por lo que 3 - 3 = 0 . Pero 3 - 4 sigue siendo válida, ya que de nuevo sale de la línea. Los números naturales no son un contexto útil para la resta.

La solución es considerar la recta numérica entera (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). De esta manera, se necesitan 4 pasos a la izquierda desde 3 para llegar a -1:

3-4 = −1 .

Números naturales

La resta de números naturales no es cerrada : la diferencia no es un número natural a menos que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Por ejemplo, 26 no se puede restar de 11 para dar un número natural. Tal caso utiliza uno de dos enfoques:

1. Concluya que 26 no se puede restar de 11; la resta se convierte en una función parcial .
2. Da la respuesta como un número entero que representa un número negativo , por lo que el resultado de restar 26 de 11 es −15.

Numeros reales

El campo de los números reales se puede definir especificando solo dos operaciones binarias, suma y multiplicación, junto con operaciones unarias que producen inversos aditivos y multiplicativos . La resta de un número real (el sustraendo) de otro (el minuendo) se puede definir como la suma del minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Por ejemplo, 3 - π = 3 + (- π ) . Alternativamente, en lugar de requerir estas operaciones unarias, las operaciones binarias de resta y división pueden tomarse como básicas.

Propiedades

Anticommutatividad

La resta es anti-conmutativa , lo que significa que si uno invierte los términos en una diferencia de izquierda a derecha, el resultado es el negativo del resultado original. Simbólicamente, si un y b son dos números, entonces

a - b = - ( b - a) .

No asociatividad

La resta no es asociativa , lo que surge cuando se intenta definir una resta repetida. En general, la expresión

" a - b - c "

pueden ser definidos para significar o bien ( un - b ) - c o un - ( b - c ), pero estas dos posibilidades conducen a diferentes respuestas. Para resolver este problema, se debe establecer un orden de operaciones , con diferentes órdenes que arrojan diferentes resultados.

Predecesor

En el contexto de los enteros, la resta de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a , el entero ( a - 1) es el entero más grande menor que a , también conocido como el predecesor de a .

Unidades de medida

Al restar dos números con unidades de medida como kilogramos o libras , deben tener la misma unidad. En la mayoría de los casos, la diferencia tendrá la misma unidad que los números originales.

Porcentajes

Los cambios en los porcentajes se pueden informar en al menos dos formas, cambio de porcentaje y cambio de punto porcentual . El cambio porcentual representa el cambio relativo entre las dos cantidades como un porcentaje, mientras que el cambio en puntos porcentuales es simplemente el número obtenido al restar los dos porcentajes. ^{[8] [9] [10]}

Como ejemplo, suponga que el 30% de los aparatos fabricados en una fábrica son defectuosos. Seis meses después, el 20% de los widgets están defectuosos. El cambio porcentual es20% - 30%/30% = - 1/3 = −33+1/3%, mientras que el cambio en puntos porcentuales es de −10 puntos porcentuales.

En informática

El método de los complementos es una técnica que se usa para restar un número de otro usando solo la suma de números positivos. Este método se usó comúnmente en calculadoras mecánicas y todavía se usa en computadoras modernas .

Dígito binario	Unos complemento
0	1
1	0

Para restar un número binario y (el sustraendo) de otro número x (el minuendo), el complemento a unos de y se suma a x y uno se suma a la suma. A continuación, se descarta el primer dígito "1" del resultado.

El método de complementos es especialmente útil en binario (base 2) ya que el complemento de unos se obtiene muy fácilmente invirtiendo cada bit (cambiando "0" a "1" y viceversa). Y sumar 1 para obtener el complemento a dos se puede hacer simulando un acarreo en el bit menos significativo. Por ejemplo:

 01100100 (x, es igual al decimal 100)- 00010110 (y, es igual a 22 decimal)

se convierte en la suma:

 01100100 (x)+ 11101001 (complemento a unidades de y)+ 1 (para obtener el complemento a dos)—————————— 101001110

Al eliminar el "1" inicial se obtiene la respuesta: 01001110 (igual al decimal 78)

La enseñanza de la resta en las escuelas

Los métodos utilizados para enseñar la resta a la escuela primaria varían de un país a otro, y dentro de un país, se adoptan diferentes métodos en diferentes momentos. En lo que se conoce en los Estados Unidos como matemáticas tradicionales , se enseña un proceso específico a los estudiantes al final del primer año (o durante el segundo año) para usar con números enteros de varios dígitos, y se extiende en el cuarto o en el cuarto año. quinto grado para incluir representaciones decimales de números fraccionarios.

En América

Casi todas las escuelas estadounidenses actualmente enseñan un método de resta mediante el uso de préstamos o reagrupamiento (el algoritmo de descomposición) y un sistema de marcas llamado muletas. ^{[11] [12]} Aunque se conocía un método de pedir prestado y se había publicado en libros de texto anteriormente, el uso de muletas en las escuelas estadounidenses se extendió después de que William A. Brownell publicara un estudio, afirmando que las muletas eran beneficiosas para los estudiantes que usaban este método. ^[13] Este sistema se popularizó rápidamente, desplazando a los otros métodos de resta que se usaban en Estados Unidos en ese momento.

En Europa

Algunas escuelas europeas emplean un método de resta llamado método austriaco, también conocido como método de sumas. No hay préstamos en este método. También hay muletas (marcas para ayudar a la memoria), que varían según el país. ^{[14] [15]}

Comparando los dos métodos principales

Ambos métodos dividen la resta como un proceso de resta de un dígito por valor posicional. Comenzando con un dígito menos significativo, una resta del sustraendo:

s _j s _{j −1} ... s ₁

desde el minuendo

m _k m _{k −1} ... m ₁ ,

donde cada s _i y m _i es un dígito, procede escribiendo m ₁ - s ₁ , m ₂ - s ₂ , y así sucesivamente, siempre que s _i no exceda m _i . De lo contrario, m _i aumenta en 10 y se modifica algún otro dígito para corregir este aumento. El método americano corrige intentando disminuir el dígito del minuendo m _{i +1} en uno (o continuando el préstamo hacia la izquierda hasta que haya un dígito distinto de cero del cual pedir prestado). El método europeo corrige aumentando el dígito del sustraendo s _{i +1} en uno.

Ejemplo: 704-512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}$

El minuendo es 704, el sustraendo es 512. Los dígitos del minuendo son m ₃ = 7 , m ₂ = 0 y m ₁ = 4 . Los dígitos del sustraendo son s ₃ = 5 , s ₂ = 1 y s ₁ = 2 . Comenzando en el lugar de uno, 4 no es menor que 2, por lo que la diferencia 2 se escribe en el lugar de uno del resultado. En el lugar de la decena, 0 es menor que 1, por lo que el 0 se incrementa en 10 y la diferencia con 1, que es 9, se escribe en el lugar de la decena. El método americano corrige el aumento de diez reduciendo el dígito en el lugar de las centenas del minuendo en uno. Es decir, el 7 se tacha y se reemplaza por un 6. Luego, la resta procede en el lugar de las centenas, donde 6 no es menor que 5, por lo que la diferencia se escribe en el lugar de las centenas del resultado. Ahora hemos terminado, el resultado es 192.

El método austriaco no reduce el 7 a 6. Más bien aumenta el dígito del sustraendo de centenas en uno. Se hace una pequeña marca cerca o debajo de este dígito (según la escuela). Luego, la resta procede preguntando qué número, cuando se aumenta en 1 y se le suma 5, da 7. La respuesta es 1 y se escribe en el lugar de las centenas del resultado.

Hay una sutileza adicional en que el estudiante siempre emplea una tabla de resta mental en el método americano. El método austriaco a menudo anima al estudiante a usar mentalmente la tabla de sumas al revés. En el ejemplo anterior, en lugar de sumar 1 a 5, obtener 6 y restar eso de 7, se le pide al estudiante que considere qué número, cuando se aumenta en 1 y se le suma 5, da 7.

Resta a mano

Método austriaco

Ejemplo:

• 1 + ... = 3

• La diferencia está escrita debajo de la línea.

• 9 + ... = 5
  La suma requerida (5) es demasiado pequeña.

• Entonces, le agregamos 10 y ponemos un 1 debajo del siguiente lugar más alto en el sustraendo.

• 9 + ... = 15
  Ahora podemos encontrar la diferencia como antes.

• (4 + 1) + ... = 7

• La diferencia está escrita debajo de la línea.

• La diferencia total.

Resta de izquierda a derecha

Ejemplo:

• 7 - 4 = 3
  Este resultado solo está escrito a lápiz.

• Debido a que el siguiente dígito del minuendo es más pequeño que el sustraendo, restamos uno de nuestro número escrito a lápiz y mentalmente sumamos diez al siguiente.

• 15 - 9 = 6

• Debido a que el siguiente dígito del minuendo no es más pequeño que el sustraendo, mantenemos este número.

• 3 - 1 = 2

Método americano

En este método, cada dígito del sustraendo se resta del dígito que está encima, comenzando de derecha a izquierda. Si el número superior es demasiado pequeño para restarle el número inferior, le sumamos 10; este 10 se "toma prestado" del dígito superior a la izquierda, del cual restamos 1. Luego pasamos a restar el siguiente dígito y pedir prestado según sea necesario, hasta que se hayan restado todos los dígitos. Ejemplo:

• 3-1 = ...

• Escribimos la diferencia debajo de la línea.

• 5 - 9 = ... ¡
  El minuendo (5) es demasiado pequeño!

• Entonces, le agregamos 10. El 10 se "toma prestado" del dígito de la izquierda, que baja en 1.

• 15 - 9 = ...
  Ahora la resta funciona y escribimos la diferencia debajo de la línea.

• 6 - 4 = ...

• Escribimos la diferencia debajo de la línea.

• La diferencia total.

Opere primero

Una variante del método estadounidense en el que todos los préstamos se realizan antes de toda resta. ^[dieciséis]

Ejemplo:

• 1-3 = no es posible.
  Agregamos un 10 al 1. Debido a que el 10 se "toma prestado" del 5 cercano, el 5 se reduce en 1.

• 4 - 9 = no es posible.
  Entonces procedemos como en el paso 1.

• Trabajando de derecha a izquierda:
  11 - 3 = 8

• 14 - 9 = 5

• 6 - 4 = 2

Diferencias parciales

El método de diferencias parciales es diferente de otros métodos de resta vertical porque no se toma prestado ni se lleva a cabo. En su lugar, se colocan signos más o menos dependiendo de si el minuendo es mayor o menor que el sustraendo. La suma de las diferencias parciales es la diferencia total. ^[17]

Ejemplo:

• El número menor se resta del mayor:
  700 - 400 = 300
  Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo más.

• El número menor se resta del mayor:
  90 - 50 = 40
  Debido a que el minuendo es menor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo menos.

• El número menor se resta del mayor:
  3 - 1 = 2
  Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo más.

• +300 - 40 + 2 = 262

Métodos no verticales

Contando

En lugar de encontrar la diferencia dígito a dígito, se pueden contar los números entre el sustraendo y el minuendo. ^[18]

Ejemplo: 1234 - 567 = se puede encontrar mediante los siguientes pasos:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Sume el valor de cada paso para obtener la diferencia total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Romper la resta

Otro método útil para la aritmética mental es dividir la resta en pequeños pasos. ^[19]

Ejemplo: 1234 - 567 = se puede resolver de la siguiente manera:

• 1234 - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

Mismo cambio

El mismo método de cambio utiliza el hecho de que sumar o restar el mismo número del minuendo y del sustraendo no cambia la respuesta. Uno simplemente suma la cantidad necesaria para obtener ceros en el sustraendo. ^[20]

Ejemplo:

"1234 - 567 =" se puede resolver de la siguiente manera:

• 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

Ver también

• Decremento
• Aritmética elemental
• Método de complementos
• Numero negativo
• Signos más y menos

Notas

1. "Subtraendo" se acorta con el sufijo latino flexional -us, por ejemplo, quedando sin declinar como en numerus subtrahendus "el número a restar".

Referencias

1. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Resta" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
3. "Lista de símbolos matemáticos comunes y aritméticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-17 . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
4. Schmid, Hermann (1974). Computación decimal (1 ed.). Binghamton, Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-76180-8.
5. Schmid, Hermann (1983) [1974]. Computación decimal (1 (reimpresión) ed.). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0.
6. "Resta" . www.mathsisfun.com . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
7. "Resta" . Diccionario de inglés de Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford. (Se requiere suscripción o membresía en una institución participante ).
8. Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West (2014) Maestros frente al público: lo que piensan los estadounidenses sobre las escuelas y cómo solucionarlos Brookings Institution Press, p. 163
9. Janet Kolodzy (2006) Periodismo de convergencia: redacción y presentación de informes en los medios de comunicación Rowman & Littlefield Publishers, p. 180
10. David Gillborn (2008) Racismo y educación: ¿coincidencia o conspiración? Routledge p. 46
11. Paul Klapper (1916). La enseñanza de la aritmética: un manual para profesores . págs.  80 - . Consultado el 11 de marzo de 2016 .
12. Susan Ross y Mary Pratt-Cotter. 2000. "Resta en los Estados Unidos: una perspectiva histórica", The Mathematics Educator 8 (1): 4–11. pag. 8: "Esta nueva versión del algoritmo de descomposición [es decir, el uso de la muleta de Brownell] ha dominado tan completamente el campo que es raro ver cualquier otro algoritmo utilizado para enseñar la resta en la actualidad [en Estados Unidos]".
13. Ross, Susan C .; Pratt-Cotter, Mary (1999). "Resta desde una perspectiva histórica". Escuela de Ciencias y Matemáticas . 99 (7): 389–93.
14. Klapper 1916, págs. 177–.
15. David Eugene Smith (1913). La enseñanza de la aritmética . Ginn. págs.  77 - . Consultado el 11 de marzo de 2016 .
16. Las muchas formas de aritmética en UCSMP Everyday Mathematics Archivado el 25 de febrero de 2014 en la Wayback Machine Subtraction: Trade First
17. Resta de diferencias parciales Archivado el 23 de junio de 2014 en la Wayback Machine ; Las muchas formas de la aritmética en UCSMP Everyday Mathematics Archivado el 25 de febrero de 2014 en la Wayback Machine Subtraction: Partial Differences
18. Las muchas formas de aritmética en UCSMP Everyday Mathematics Archivado el 25 de febrero de 2014 en la Wayback Machine Subtraction: Counting Up
19. Las muchas formas de aritmética en UCSMP Everyday Mathematics Archivado el 25 de febrero de 2014 en la Wayback Machine Restracción: resta de izquierda a derecha
20. Las muchas formas de aritmética en la resta de matemáticas cotidianas de UCSMP : la misma regla de cambio

Bibliografía

• Brownell, WA (1939). El aprendizaje como reorganización: un estudio experimental en aritmética de tercer grado, Duke University Press.
• Resta en los Estados Unidos: una perspectiva histórica, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator , vol. 8, N ° 1 (publicación original) y Vol. 10, No. 1 (reimpresión) PDF

enlaces externos

• "Resta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Las hojas de trabajo imprimibles: Resta de hojas de trabajo , uno de resta de dígitos , dos de resta de dígitos , cuatro de resta de dígitos , y Más Resta Hojas de trabajo
• Juego de resta al cortar el nudo
• Resta en un ábaco japonés seleccionado de Abacus: Mystery of the Bead