En las áreas matemáticas de la teoría y el análisis de números , se dice que una secuencia infinita o una función eventualmente tiene una cierta propiedad , si no tiene dicha propiedad en todas sus instancias ordenadas, pero la tendrá después de que algunas instancias hayan pasado. [1] El uso del término "eventualmente" puede reformularse a menudo como "para números suficientemente grandes", [2] y también puede extenderse a la clase de propiedades que se aplican a elementos de cualquier conjunto ordenado (como secuencias y subconjuntos de).
Notación
La forma general donde se encuentra la frase eventualmente (o lo suficientemente grande ) aparece como sigue:
- eventualmente es cierto para ( es cierto para lo suficientemente grande)
que en realidad es una abreviatura de:
- tal que es verdad
o algo más formalmente:
Esto no significa necesariamente que un valor particular para se sabe, pero solo que tal existe. [1] La frase "suficientemente grande" no debe confundirse con las frases " arbitrariamente grande " o " infinitamente grande". Para obtener más información, consulte Arbitrariamente grande # Arbitrariamente grande frente a suficientemente grande frente a infinitamente grande .
Motivación y definición
Para una secuencia infinita, a menudo uno está más interesado en los comportamientos a largo plazo de la secuencia que en los comportamientos que exhibe al principio. En cuyo caso, una forma de capturar formalmente este concepto es decir que la secuencia posee una cierta propiedad eventualmente , o de manera equivalente, que la propiedad es satisfecha por una de sus subsecuencias. , para algunos . [3]
Por ejemplo, la definición de una secuencia de números reales convergiendo a algún límite es:
- Por cada número positivo , existe un número positivo tal que para todos , .
Cuando el término "eventualmente " se usa como una abreviatura de "existe un número positivo tal que para todos ", la definición de convergencia se puede reformular de forma más sencilla como:
- Por cada número positivo , finalmente . [1]
Aquí, observe que el conjunto de números enteros que no satisfacen esta propiedad es un conjunto finito; es decir, el conjunto está vacío o tiene un elemento máximo. Como resultado, el uso de "eventualmente" en este caso es sinónimo de la expresión "para todos menos un número finito de términos" - un caso especial de la expresión "para casi todos los términos" (aunque "casi todos" también puede ser utilizado para permitir infinitas excepciones también).
En el nivel básico, se puede pensar en una secuencia como una función con números naturales como su dominio , y la noción de "eventualmente" se aplica también a funciones en conjuntos más generales, en particular a aquellas que tienen un orden sin el elemento mayor. .
Más específicamente, si es tal conjunto y hay un elemento en tal que la función se define para todos los elementos mayores que , luego se dice que tiene alguna propiedad eventualmente si hay un elemento tal que siempre que , tiene dicha propiedad. Esta noción se utiliza, por ejemplo, en el estudio de los campos de Hardy , que son campos formados por funciones reales, cada una de las cuales tiene ciertas propiedades eventualmente.
Ejemplos de
- "Todos los primos por encima de 2 son impares" se puede escribir como "Eventualmente, todos los primos son impares".
- Finalmente, todos los números primos son congruentes con ± 1 mod 6.
- El cuadrado de un primo es eventualmente congruente con 1 mod 24 (dado que el primo está por encima de 3).
- El factorial de un número entero eventualmente termina en 0 (dado que el número entero está por encima de 4).
Trascendencia
Cuando una secuencia o función tiene una propiedad eventualmente, puede tener implicaciones útiles en el contexto de probar algo con relación a esa secuencia. Por ejemplo, en el contexto del comportamiento asintótico de ciertas funciones, puede ser útil saber si eventualmente se comporta de manera diferente a lo que se observaría o podría observarse computacionalmente, ya que de lo contrario esto no se podría notar. [ cita requerida ]
El término "eventualmente" también se puede incorporar en muchas definiciones matemáticas para hacerlas más concisas. Estos incluyen las definiciones de algunos tipos de límites (eventualmente se aplica un límite arbitrario) y la notación Big O para describir el comportamiento asintótico. [1]
Otros usos en matemáticas
- Un colector de 3 se llama suficientemente grande si contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente incrustada . Esta propiedad es el requisito principal para que un colector de 3 se denomine colector Haken .
- La lógica temporal introduce un operador que puede usarse para expresar declaraciones interpretables como: Cierta propiedad eventualmente se mantendrá en un momento futuro en el tiempo.
Ver también
Referencias
- ^ a b c d "El glosario definitivo de jerga matemática superior - eventualmente" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Suficientemente grande" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Eventualmente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .