Norma uniforme

Este artículo trata sobre la norma del espacio funcional. Para la distancia del espacio vectorial de dimensión finita, consulte Distancia de Chebyshev . Para conocer la norma de uniformidad en combinatoria aditiva, consulte la norma de Gowers .

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El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en R ² donde la norma sup es igual a una constante positiva fija.

En análisis matemático , la norma uniforme (o norma sup ) asigna a real o complejos -valued funciones acotadas f definida en un conjunto S el número no negativo

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in S\,\right\}.}$

Esta norma también se llama la norma supremum, la norma Chebyshev, la norma infinita o, cuando el supremum es de hecho el máximo, la norma máxima . El nombre "norma uniforme" se deriva del hecho de que una secuencia de funciones converge por debajo de la métrica derivada de la norma uniforme si y solo si converge a uniformemente . ^[1]${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

La métrica generada por esta norma se llama métrica de Chebyshev , en honor a Pafnuty Chebyshev , quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente.

Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la llamada métrica extendida obtenida todavía permite definir una topología en el espacio funcional en cuestión.

Si f es una función continua en un intervalo cerrado , o más generalmente un compacto conjunto, entonces es limitada y el extremo superior en la definición anterior se consigue mediante la Weierstrass valor extremo teorema , así que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llama norma máxima . En particular, para el caso de un vector en un espacio de coordenadas de dimensión finita , toma la forma${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}$

La razón del subíndice "∞" es que siempre que f es continua

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$

donde

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$

donde D es el dominio de f (y la integral equivale a una suma si D es un conjunto discreto ).

La función binaria

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$

es entonces una métrica en el espacio de todas las funciones limitadas (y, obviamente, cualquiera de sus subconjuntos) en un dominio particular. Una secuencia { f _n  : n = 1, 2, 3, ...} converge uniformemente a una función f si y solo si

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}$

Podemos definir conjuntos cerrados y cierres de conjuntos con respecto a esta topología métrica; Los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan cierres uniformemente cerrados y cierres cierres uniformes . El cierre uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones convergentes uniformemente en A. Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es el cierre uniforme del conjunto de polinomios en .${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Para funciones continuas complejas en un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C * .

Ver también

• Continuidad uniforme
• Espacio uniforme
• Distancia de Chebyshev

Referencias

1. Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. págs.  151 . ISBN 0-07-054235-X.