En matemáticas , un número superabundante (a veces abreviado como SA ) es un cierto tipo de número natural . Un número natural n se llama superabundante precisamente cuando, para todo m < n
donde σ denota la función de suma de divisores (es decir, la suma de todos los divisores positivos de n , incluido el propio n ). Los primeros números sobreabundantes son 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , ... (secuencia A004394 en la OEIS ). Por ejemplo, el número 5 no es un número sobreabundante porque para 1, 2, 3, 4 y 5, el sigma es 1, 3, 4, 7, 6 y 7/4> 6/5.
Leonidas Alaoglu y Paul Erdős ( 1944 ) definieron números sobreabundantes . Sin que Alaoglu y Erdős supieran, se suprimieron unas 30 páginas del artículo de Ramanujan de 1915 "Highly Composite Numbers". Esas páginas se publicaron finalmente en The Ramanujan Journal 1 (1997), 119-153. En la sección 59 de ese artículo, Ramanujan define números generalizados altamente compuestos , que incluyen los números sobreabundantes.
Propiedades
Leonidas Alaoglu y Paul Erdős ( 1944 ) demostraron que si n es sobreabundante, entonces existen a k y a 1 , a 2 , ..., a k tal que
donde p i es el i -ésimo número primo, y
Es decir, demostraron que si n es sobreabundante, la descomposición prima de n tiene exponentes no crecientes (el exponente de un primo mayor nunca es mayor que el de un primo menor) y que todos los primos hastason factores de n . Entonces, en particular, cualquier número superabundante es un número entero par, y es un múltiplo del k -ésimo primorial
De hecho, el último exponente a k es igual a 1 excepto cuando n es 4 o 36.
Los números sobreabundantes están estrechamente relacionados con los números altamente compuestos . No todos los números superabundantes son números muy compuestos. De hecho, solo 449 números superabundantes y altamente compuestos son iguales (secuencia A166981 en la OEIS ). Por ejemplo, 7560 es muy compuesto pero no superabundante. Por el contrario, 1163962800 es sobreabundante pero no muy compuesto.
Alaoglu y Erdős observaron que todos los números sobreabundantes son muy abundantes .
No todos los números superabundantes son números de Harshad . La primera excepción es el número 105 de SA, 149602080797769600. La suma de dígitos es 81, pero 81 no se divide uniformemente en este número de SA.
Los números sobreabundantes también son de interés en relación con la hipótesis de Riemann y con el teorema de Robin de que la hipótesis de Riemann es equivalente al enunciado de que
para todo n mayor que la excepción más grande conocida, el número superabundante 5040. Si esta desigualdad tiene un contraejemplo mayor, probando que la hipótesis de Riemann es falsa, el contraejemplo más pequeño debe ser un número superabundante ( Akbary & Friggstad 2009 ).
No todos los números sobreabundantes son colosalmente abundantes .
Extensión
El generalizado-los números super abundantes son aquellos que para todos , dónde es la suma de la -ésimas potencias de los divisores de .
1-los números superabundantes son números superabundantes. Los números 0-super abundantes son números altamente compuestos.
Por ejemplo, los números 2-super abundantes generalizados son 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240,… (A208767 en OEIS)
Referencias
- Briggs, Keith (2006), "Números abundantes y la hipótesis de Riemann", Experimental Mathematics , 15 : 251-256.
- Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes y la hipótesis de Riemann", American Mathematical Monthly , 116 (3): 273-275, doi : 10.4169 / 193009709X470128.
- Alaoglu, Leonidas ; Erdős, Paul (1944), "Sobre números muy compuestos y similares", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 56 (3): 448–469, doi : 10.2307 / 1990319 , JSTOR 1990319.
enlaces externos
- MathWorld: número superabundante