En matemáticas , un número superior altamente compuesto es un número natural que tiene más divisores que cualquier otro número escalado en relación con alguna potencia positiva del número en sí . Es una restricción más fuerte que la de un número altamente compuesto , que se define por tener más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.
Se enumeran los primeros 10 números superiores altamente compuestos y su factorización.
# factores primos | SHCN n | factorización prima | exponentes primos | # divisores d ( n ) | factorización primordial | |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 |
2 | 6 | 2 ⋅ 3 | 1,1 | 2 2 | 4 | 6 |
3 | 12 | 2 2 ⋅ 3 | 2,1 | 3 × 2 | 6 | 2 ⋅ 6 |
4 | 60 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 | 2,1,1 | 3 × 2 2 | 12 | 2 ⋅ 30 |
5 | 120 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 | 3,1,1 | 4 × 2 2 | dieciséis | 2 2 ⋅ 30 |
6 | 360 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 | 3,2,1 | 4 × 3 × 2 | 24 | 2 ⋅ 6 ⋅ 30 |
7 | 2520 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | 3,2,1,1 | 4 × 3 × 2 2 | 48 | 2 ⋅ 6 ⋅ 210 |
8 | 5040 | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | 4,2,1,1 | 5 × 3 × 2 2 | 60 | 2 2 ⋅ 6 ⋅ 210 |
9 | 55440 | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 | 4,2,1,1,1 | 5 × 3 × 2 3 | 120 | 2 2 ⋅ 6 ⋅ 2310 |
10 | 720720 | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 | 4,2,1,1,1,1 | 5 × 3 × 2 4 | 240 | 2 2 ⋅ 6 ⋅ 30030 |
Para un número n superior altamente compuesto, existe un número real positivo ε tal que para todos los números naturales k menores que n tenemos
y para todos los números naturales k mayores que n tenemos
donde d (n) , la función divisor , denota el número de divisores de n . El término fue acuñado por Ramanujan (1915). [1]
Los primeros 15 números superiores altamente compuestos, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (secuencia A002201 en la OEIS ) son también los primeros 15 colosalmente números abundantes , que cumplen una condición similar basada en la función de suma de divisores en lugar del número de divisores.
Propiedades
Todos los números superiores altamente compuestos son altamente compuestos .
Una construcción eficaz del conjunto de todos los números superiores altamente compuestos viene dada por el siguiente mapeo monótono de los números reales positivos. [2] Deja
para cualquier número primo p y x real positivo . Luego
- es un número superior altamente compuesto.
Tenga en cuenta que el producto no necesita calcularse indefinidamente, porque si luego , por lo que el producto a calcular se puede cancelar una vez .
También tenga en cuenta que en la definición de , es análogo a en la definición implícita de un número superior altamente compuesto.
Además, para cada número superior altamente compuesto existe un intervalo semiabierto tal que .
Esta representación implica que existe una secuencia infinita de tal que para el n -ésimo número superior altamente compuesto sostiene
El primero son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (secuencia A000705 en la OEIS ). En otras palabras, el cociente de dos números superiores altamente compuestos sucesivos es un número primo.
Radicales superiores altamente compuestas
Los primeros números superiores altamente compuestos se han utilizado a menudo como radicales , debido a su alta divisibilidad para su tamaño. Por ejemplo:
- Binario (base 2)
- Senario (base 6)
- Duodecimal (base 12)
- Sexagesimal (base 60)
Los SHCN más grandes se pueden utilizar de otras formas. 120 aparece como el centenar largo , mientras que 360 aparece como el número de grados en un círculo.
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. "Número superior altamente compuesto" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de marzo de 2021 .
- ^ Ramanujan (1915); ver también URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi
Referencias
- Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos" (PDF) . Proc. London Math. Soc . Serie 2. 14 : 347–409. doi : 10.1112 / plms / s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 .Reimpreso en Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nueva York: Chelsea, págs. 78-129, 1962
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número superior altamente compuesto" . MathWorld .