Superficie (matemáticas)

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado.
Encuentre fuentes: Matemáticas "superficiales" - noticias · periódicos · libros · académico · JSTOR ( mayo de 2016 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Una esfera es la superficie de una bola sólida , que aquí tiene un radio r

En matemáticas , una superficie es una generalización de un plano , que no es necesariamente plano , es decir, la curvatura no es necesariamente cero. Esto es análogo a una curva que generaliza una línea recta . Hay muchas definiciones más precisas, según el contexto y las herramientas matemáticas que se utilizan para analizar la superficie.

El concepto matemático de superficie es una idealización de lo que se entiende por superficie en ciencia , gráficos por computadora y lenguaje común.

Definiciones [ editar ]

A menudo, una superficie se define mediante ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos. Este es el caso de la gráfica de una función continua de dos variables. El conjunto de ceros de una función de tres variables es una superficie, que se llama superficie implícita . ^[1] Si la función definitoria de tres variables es un polinomio , la superficie es una superficie algebraica . Por ejemplo, la esfera unitaria es una superficie algebraica, como puede ser definida por la ecuación implícita

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

Una superficie también puede definirse como la imagen , en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no sea una curva ). En este caso, se dice que se tiene una superficie paramétrica , que está parametrizada por estas dos variables, llamadas parámetros . Por ejemplo, la esfera unitaria puede ser parametrizada por los ángulos de Euler , también llamados longitud $u$ y latitud $v$ por

{\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}

Las ecuaciones paramétricas de superficies suelen ser irregulares en algunos puntos. Por ejemplo, todos menos dos puntos de la esfera unitaria son la imagen, por la parametrización anterior, de exactamente un par de ángulos de Euler ( módulo $2 π$ ). Para los dos puntos restantes (los polos norte y sur ), uno tiene $cos v = 0$ , y la longitud $u$ puede tomar cualquier valor. Además, hay superficies para las que no puede existir una única parametrización que cubra toda la superficie. Por lo tanto, a menudo se consideran superficies que están parametrizadas por varias ecuaciones paramétricas, cuyas imágenes cubren la superficie. Esto está formalizado por el concepto de variedad: en el contexto de las variedades, típicamente en topología y geometría diferencial , una superficie es una variedad de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto del plano euclidiano (ver Superficie (topología) y Superficie (geometría diferencial) ). Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas , que no están contenidas en ningún otro espacio. Por otro lado, esto excluye superficies que tienen singularidades., como el vértice de una superficie cónica o los puntos donde una superficie se cruza.

En geometría clásica , una superficie se define generalmente como el lugar geométrico de un punto o una línea. Por ejemplo, una esfera es el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia dada de un punto fijo, llamado centro; una superficie cónica es el lugar de una línea que pasa por un punto fijo y cruza una curva ; una superficie de revolución es el lugar geométrico de una curva que gira alrededor de una línea. Una superficie reglada es el lugar de una línea en movimiento que satisface algunas restricciones; en la terminología moderna, una superficie reglada es una superficie, que es una unión de líneas.

Terminología [ editar ]

En este artículo, se consideran y comparan varios tipos de superficies. Por tanto, es necesaria una terminología inequívoca para distinguirlos. Por lo tanto, llamamos superficies topológicas a las superficies que son variedades de dimensión dos (las superficies consideradas en Superficie (topología) ). Llamamos superficies diferenciables a las superficies que son variedades diferenciables (las superficies consideradas en Superficie (geometría diferencial) ). Toda superficie diferenciable es una superficie topológica, pero lo contrario es falso.

Por simplicidad, a menos que se indique lo contrario, "superficie" significará una superficie en el espacio euclidiano de dimensión 3 o en $R 3$ . Una superficie que no se supone que esté incluida en otro espacio se llama superficie abstracta .

Ejemplos [ editar ]

La gráfica de una función continua de dos variables, definida sobre una conectada subconjunto abierto de $R 2$ es una superficie topológica . Si la función es diferenciable , el gráfico es una superficie diferenciable .
Un plano es tanto una superficie algebraica como una superficie diferenciable. También es una superficie reglada y una superficie de revolución .
Un cilindro circular (es decir, el lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y es paralelo a una dirección dada) es una superficie algebraica y una superficie diferenciable.
Un cono circular (lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y pasa por un punto fijo, el vértice , que está fuera del plano del círculo) es una superficie algebraica que no es una superficie diferenciable. Si se quita el ápice, el resto del cono es la unión de dos superficies diferenciables.
La superficie de un poliedro es una superficie topológica, que no es una superficie diferenciable ni una superficie algebraica.
Un paraboloide hiperbólico (la gráfica de la función $z = xy$ ) es una superficie diferenciable y una superficie algebraica. También es una superficie reglada y, por esta razón, se utiliza a menudo en arquitectura .
Un hiperboloide de dos hojas es una superficie algebraica y la unión de dos superficies diferenciables que no se cruzan.

Superficie paramétrica [ editar ]

Una superficie paramétrica es la imagen de un subconjunto abierto del plano euclidiano (típicamente ) por una función continua , en un espacio topológico , generalmente un espacio euclidiano de dimensión al menos tres. Por lo general, se supone que la función es continuamente diferenciable , y este será siempre el caso en este artículo. $\mathbb {R} ^{2}$

Específicamente, una superficie paramétrica está dada por tres funciones de dos variables $u$ y $v$ , llamadas parámetros $\mathbb {R} ^{3}$

{\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v)\\y&=f_{2}(u,v)\\z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}

Como la imagen de dicha función puede ser una curva (por ejemplo, si las tres funciones son constantes con respecto a $v$ ), se requiere una condición adicional, generalmente que, para casi todos los valores de los parámetros, la matriz jacobiana

{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\\\end{bmatrix}}

tiene rango dos. Aquí "casi todos" significa que los valores de los parámetros donde el rango es dos contienen un subconjunto abierto denso del rango de la parametrización. Para superficies en un espacio de mayor dimensión, la condición es la misma, excepto por el número de columnas de la matriz jacobiana.

Plano tangente y vector normal [ editar ]

A point $p$ where the above Jacobian matrix has rank two is called regular, or, more properly, the parametrization is called regular at $p$ .

The tangent plane at a regular point $p$ is the unique plane passing through $p$ and having a direction parallel to the two row vectors of the Jacobian matrix. The tangent plane is an affine concept, because its definition is independent of the choice of a metric. In other words, any affine transformation maps the tangent plane to the surface at a point to the tangent plane to the image of the surface at the image of the point.

The normal line, or simply normal at a point of a surface is the unique line passing through the point and perpendicular to the tangent plane. A normal vector is a vector which is parallel to the normal.

For other differential invariants of surfaces, in the neighborhood of a point, see Differential geometry of surfaces.

Irregular point and singular point[edit]

A point of a parametric surface which is not regular is irregular. There are several kinds of irregular points.

It may occur that an irregular point becomes regular, if one changes the parametrization. This is the case of the poles in the parametrization of the unit sphere by Euler angles: it suffices to permute the role of the different coordinate axes for changing the poles.

On the other hand, consider the circular cone of parametric equation

{\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}

The apex of the cone is the origin $(0, 0, 0)$ , and is obtained for $t = 0$ . It is an irregular point that remains irregular, whichever parametrization is chosen (otherwise, there would exist a unique tangent plane). Such an irregular point, where the tangent plane is undefined, is said singular.

There is another kind of singular points. There are the self-crossing points, that is the points where the surface crosses itself. In other words, these are the points which are obtained for (at least) two different values of the parameters.

Graph of a bivariate function[edit]

Let $z = f (x, y)$ be a function of two real variables. This is a parametric surface, parametrized as

{\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}

Every point of this surface is regular, as the two first columns of the Jacobian matrix form the identity matrix of rank two.

Rational surface[edit]

A rational surface is a surface that may be parametrized by rational functions of two variables. That is, if $f i (t, u)$ are, for $i = 0, 1, 2, 3$ , polynomials in two indeterminates, then the parametric surface, defined by

{\begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,,\end{aligned}}

is a rational surface.

A rational surface is an algebraic surface, but most algebraic surfaces are not rational.

Implicit surface[edit]

An implicit surface in a Euclidean space (or, more generally, in an affine space) of dimension 3 is the set of the common zeros of a differentiable function of three variables

f(x,y,z)=0.

Implicit means that the equation defines implicitly one of the variables as a function of the other variables. This is made more exact by the implicit function theorem: if $f (x 0, y 0, z 0) = 0$ , and the partial derivative in $z$ of $f$ is not zero at $(x 0, y 0, z 0)$ , then there exists a differentiable function $φ (x, y)$ such that

f(x,y,\varphi (x,y))=0

in a neighbourhood of $(x 0, y 0, z 0)$ . In other words, the implicit surface is the graph of a function near a point of the surface where the partial derivative in $z$ is nonzero. An implicit surface has thus, locally, a parametric representation, except at the points of the surface where the three partial derivatives are zero.

Regular points and tangent plane[edit]

A point of the surface where at least one partial derivative of $f$ is nonzero is called regular. At such a point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ , the tangent plane and the direction of the normal are well defined, and may be deduced, with the implicit function theorem from the definition given above, in § Tangent plane and normal vector. The direction of the normal is the gradient, that is the vector

\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].

The tangent plane is defined by its implicit equation

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

Singular point[edit]

A singular point of an implicit surface (in $\mathbb {R} ^{3}$ ) is a point of the surface where the implicit equation holds and the three partial derivatives of its defining function are all zero. Therefore, the singular points are the solutions of a system of four equations in three indeterminates. As most such systems have no solution, many surfaces do not have any singular point. A surface with no singular point is called regular or non-singular.

The study of surfaces near their singular points and the classification of the singular points is singularity theory. A singular point is isolated if there is no other singular point in a neighborhood of it. Otherwise, the singular points may form a curve. This is in particular the case for self-crossing surfaces.

Algebraic surface[edit]

Originally, an algebraic surface was a surface which may be defined by an implicit equation

f(x,y,z)=0,

where $f$ is a polynomial in three indeterminates, with real coefficients.

The concept has been extended in several directions, by defining surfaces over arbitrary fields, and by considering surfaces in spaces of arbitrary dimension or in projective spaces. Abstract algebraic surfaces, which are not explicitly embedded in another space, are also considered.

Surfaces over arbitrary fields[edit]

Polynomials with coefficients in any field are accepted for defining an algebraic surface. However, the field of coefficients of a polynomial is not well defined, as, for example, a polynomial with rational coefficients may also be considered as a polynomial with real or complex coefficients. Therefore, the concept of point of the surface has been generalized in the following way:^[2]

Given a polynomial $f (x, y, z)$ , let $k$ be the smallest field containing the coefficients, and $K$ be an algebraically closed extension of $k$ , of infinite transcendence degree.^[3] Then a point of the surface is an element of $K 3$ which is a solution of the equation

f(x,y,z)=0.

If the polynomial has real coefficients, the field $K$ is the complex field, and a point of the surface that belongs to $\mathbb {R} ^{3}$ (a usual point) is called a real point. A point that belongs to $k 3$ is called rational over $k$ , or simply a rational point, if $k$ is the field of rational numbers.

Projective surface[edit]

A projective surface in a projective space of dimension three is the set of points whose homogeneous coordinates are zeros of a single homogeneous polynomial in four variables. More generally, a projective surface is a subset of a projective space, which is a projective variety of dimension two.

Projective surfaces are strongly related to affine surfaces (that is, ordinary algebraic surfaces). One passes from a projective surface to the corresponding affine surface by setting to one some coordinate or indeterminate of the defining polynomials (usually the last one). Conversely, one passes from an affine surface to its associated projective surface (called projective completion) by homogenizing the defining polynomial (in case of surfaces in a space of dimension three), or by homogenizing all polynomials of the defining ideal (for surfaces in a space of higher dimension).

In higher dimensional spaces[edit]

One cannot define the concept of an algebraic surface in a space of dimension higher than three without a general definition of an algebraic variety and of the dimension of an algebraic variety. In fact, an algebraic surface is an algebraic variety of dimension two.

More precisely, an algebraic surface in a space of dimension $n$ is the set of the common zeros of at least $n - 2$ polynomials, but these polynomials must satisfy further conditions that may be not immediate to verify. Firstly, the polynomials must not define a variety or an algebraic set of higher dimension, which is typically the case if one of the polynomials is in the ideal generated by the others. Generally, $n - 2$ polynomials define an algebraic set of dimension two or higher. If the dimension is two, the algebraic set may have several irreducible components. If there is only one component the $n - 2$ polynomials define a surface, which is a complete intersection. If there are several components, then one needs further polynomials for selecting a specific component.

Most authors consider as an algebraic surface only algebraic varieties of dimension two, but some also consider as surfaces all algebraic sets whose irreducible components have the dimension two.

In the case of surfaces in a space of dimension three, every surface is a complete intersection, and a surface is defined by a single polynomial, which is irreducible or not, depending on whether non-irreducible algebraic sets of dimension two are considered as surfaces or not.

Abstract algebraic surface[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (May 2016)

Rational surfaces are algebraic surfaces[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (May 2016)

Topological surface[edit]

In topology, a surface is generally defined as a manifold of dimension two. This means that a topological surface is a topological space such that every point has a neighborhood that is homeomorphic to an open subset of a Euclidean plane.

Every topological surface is homeomorphic to a polyhedral surface such that all facets are triangles. The combinatorial study of such arrangements of triangles (or, more generally, of higher-dimensional simplexes) is the starting object of algebraic topology. This allows the characterization of the properties of surfaces in terms of purely algebraic invariants, such as the genus and homology groups.

The homeomorphism classes of surfaces have been completely described (see Surface (topology)).

Differentiable surface[edit]

Fractal surface[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (April 2016)

In computer graphics[edit]