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Área de superficie

El área de la superficie de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. [1] La definición matemática de área de superficie en presencia de superficies curvas es considerablemente más complicada que la definición de longitud de arco de curvas unidimensionales, o del área de superficie para poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas ), para las cuales el área de la superficie es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera , se les asigna un área de superficie utilizando su representación como superficies paramétricas.. Esta definición de superficie se basa en métodos de cálculo infinitesimal e implica derivadas parciales y doble integración .

Una esfera de radio r tiene un área de superficie de 4 πr 2 .

Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general de superficie a principios del siglo XX. Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría de medidas geométricas , que estudia varias nociones de área de superficie para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.

Definición

Si bien las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa de área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función

S ↦ A ( S ) {\ Displaystyle S \ mapsto A (S)} S \mapsto A(S)

que asigna un número real positivo a una determinada clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área de la superficie es su aditividad : el área del todo es la suma de las áreas de las partes . Más rigurosamente, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S 1 ,…, S r que no se superponen excepto en sus límites, entonces

A ( S ) = A ( S 1 ) + ⋯ + A ( S r ) . {\ Displaystyle A (S) = A (S_ {1}) + \ cdots + A (S_ {r}).} A(S) = A(S_1) + \cdots + A(S_r).

Las áreas de superficie de formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente . Dado que el área de superficie es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser las mismas y el área debe depender solo de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área de la superficie es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos . Estas propiedades caracterizan de manera única el área de la superficie para una amplia clase de superficies geométricas llamadas lisas por partes . Estas superficies constan de un número finito de piezas que se pueden representar en forma paramétrica.

S D : r → = r → ( tu , v ) , ( tu , v ) ∈ D {\ Displaystyle S_ {D}: {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (u, v), \ quad (u, v) \ in D} S_D: \vec{r}=\vec{r}(u,v), \quad (u,v)\in D

con una función continuamente diferenciable r → . {\ Displaystyle {\ vec {r}}.} \vec{r}. El área de una pieza individual está definida por la fórmula

A ( S D ) = ∬ D | r → tu × r → v | D tu D v . {\ Displaystyle A (S_ {D}) = \ iint _ {D} \ left | {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right | \, du \, dv.} A(S_D) = \iint_D\left |\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right | \, du \, dv.

Así, el área de S D se obtiene integrando la longitud del vector normal r → tu × r → v {\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v}} \vec{r}_u\times\vec{r}_va la superficie sobre la región D apropiada en el plano uv paramétrico . El área de toda la superficie se obtiene sumando las áreas de las piezas, utilizando la aditividad del área de la superficie. La fórmula principal puede especializarse para diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de gráficos z = f ( x , y ) y superficies de revolución .

Farol Schwarz con METRO {\ Displaystyle M} M cortes axiales y norte {\ Displaystyle N} Nvértices radiales. El límite del área como METRO {\ Displaystyle M} M y norte {\ Displaystyle N} Ntienden al infinito no convergen. En particular, no converge al área del cilindro.

Una de las sutilezas del área de la superficie, en comparación con la longitud del arco de las curvas, es que el área de la superficie no se puede definir simplemente como el límite de áreas de formas poliédricas que se aproximan a una superficie lisa dada. Hermann Schwarz demostró que ya para el cilindro, diferentes opciones de aproximación de superficies planas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como la linterna Schwarz . [2] [3]

Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron varios enfoques para una definición general de área de superficie a fines del siglo XIX y principios del XX . Si bien para las superficies lisas por partes existe una noción natural única de área de superficie, si una superficie es muy irregular o rugosa, es posible que no sea posible asignarle un área en absoluto. Un ejemplo típico lo da una superficie con picos esparcidos por todas partes de forma densa. Muchas superficies de este tipo ocurren en el estudio de los fractales . Las extensiones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares se estudian en la teoría de la medida geométrica . Un ejemplo específico de tal extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.

Fórmulas comunes

Áreas superficiales de sólidos comunes
Forma Ecuación Variables
Cubo 6 s 2 {\ Displaystyle 6s ^ {2} \,} 6s^2 \, s = longitud lateral
Cuboides 2 ( ℓ w + ℓ h + w h ) {\ Displaystyle 2 (\ ell w + \ ell h + wh) \,} 2(\ell w + \ell h + wh) \, ℓ = largo, w = ancho, h = alto
Prisma triangular B h + l ( pag + q + r ) {\ Displaystyle bh + l (p + q + r)} {\displaystyle bh+l(p+q+r)} b = longitud de la base del triángulo, h = altura del triángulo, l = distancia entre las bases triangulares, p , q , r = lados del triángulo
Todos los prismas 2 B + PAG h {\ Displaystyle 2B + Ph \,} 2B + Ph \, B = el área de una base, P = el perímetro de una base, h = altura
Esfera 4 π r 2 = π D 2 {\ Displaystyle 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2} \,} 4\pi r^2 = \pi d^2\, r = radio de la esfera, d = diámetro
Luna esférica 2 r 2 θ {\ Displaystyle 2r ^ {2} \ theta \,} 2r^2\theta \, r = radio de la esfera, θ = ángulo diedro
Toro ( 2 π r ) ( 2 π R ) = 4 π 2 R r {\ Displaystyle (2 \ pi r) (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ {2} Rr} (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 Rr r = radio menor (radio del tubo), R = radio mayor (distancia del centro del tubo al centro del toro)
Cilindro cerrado 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r ( r + h ) {\ Displaystyle 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh = 2 \ pi r (r + h) \,} 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h) \, r = radio de la base circular, h = altura del cilindro
Superficie lateral de un cono π r ( r 2 + h 2 ) = π r s {\ Displaystyle \ pi r \ left ({\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right) = \ pi rs \,} \pi r \left(\sqrt{r^2+h^2}\right) = \pi rs \, s = r 2 + h 2 {\ Displaystyle s = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} s = \sqrt{r^2+h^2}

s = altura inclinada del cono,
r = radio de la base circular,
h = altura del cono

Superficie total de un cono π r ( r + r 2 + h 2 ) = π r ( r + s ) {\ Displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right) = \ pi r (r + s) \,} \pi r \left(r + \sqrt{r^2+h^2}\right) = \pi r(r + s) \, s = altura inclinada del cono,

r = radio de la base circular,
h = altura del cono

Pirámide B + PAG L 2 {\ Displaystyle B + {\ frac {PL} {2}}} B + \frac{PL}{2} B = área de la base, P = perímetro de la base, L = altura inclinada
Pirámide cuadrada B 2 + 2 B s = B 2 + 2 B ( B 2 ) 2 + h 2 {\ Displaystyle b ^ {2} + 2bs = b ^ {2} + 2b {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} } b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}} b = longitud de la base, s = altura inclinada, h = altura vertical
Pirámide rectangular l w + l ( w 2 ) 2 + h 2 + w ( l 2 ) 2 + h 2 {\ Displaystyle lw + l {\ sqrt {\ left ({\ frac {w} {2}} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} + w {\ sqrt {\ left ({\ frac {l} {2}} \ derecha) ^ {2} + h ^ {2}}}} lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}} ℓ = largo, w = ancho, h = alto
Tetraedro 3 a 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}} {\sqrt {3}}a^{2} a = longitud lateral
Superficie de revolución 2 π ∫ a B F ( X ) 1 + ( F ′ ( X ) ) 2 D X {\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} {f (x) {\ sqrt {1+ (f ^ {\ prime} (x)) ^ {2}}} dx}} {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f^{\prime }(x))^{2}}}dx}}
Superficie paramétrica ∬ D | r → tu × r → v | D A {\ Displaystyle \ iint \ límites _ {D} \ left \ vert {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right \ vert dA} {\displaystyle \iint \limits _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA} r → {\ Displaystyle {\ vec {r}}} {\vec {r}} = ecuación vectorial paramétrica de superficie

r → tu {\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {u}} {\vec {r}}_{u} = derivada parcial de r → {\ Displaystyle {\ vec {r}}} {\vec {r}} con respecto a tu {\ Displaystyle u} u

r → v {\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {v}} {\displaystyle {\vec {r}}_{v}} = derivada parcial de r → {\ Displaystyle {\ vec {r}}} {\vec {r}} con respecto a v {\ Displaystyle v} v

D {\ Displaystyle D} D = región de sombra

Relación de áreas de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura.

Un cono, esfera y cilindro de radio r y altura h .

Las fórmulas dadas a continuación se pueden usar para mostrar que el área de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 2: 3 , como sigue.

Sea r el radio y h la altura (que es 2 r para la esfera).

Superficie de la esfera = 4 π r 2 = ( 2 π r 2 ) × 2 Área de la superficie del cilindro = 2 π r ( h + r ) = 2 π r ( 2 r + r ) = ( 2 π r 2 ) × 3 {\ Displaystyle {\ begin {array} {rlll} {\ text {Área de superficie de la esfera}} & = 4 \ pi r ^ {2} && = (2 \ pi r ^ {2}) \ times 2 \\ {\ text {Área de la superficie del cilindro}} & = 2 \ pi r (h + r) & = 2 \ pi r (2r + r) & = (2 \ pi r ^ {2}) \ times 3 \ end {array}} } {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}

El descubrimiento de esta relación se le atribuye a Arquímedes . [4]

En Quimica

Superficie de partículas de diferentes tamaños.

El área de la superficie es importante en la cinética química . El aumento del área de superficie de una sustancia generalmente aumenta la velocidad de una reacción química . Por ejemplo, el hierro en un polvo fino se quemará , mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable como para usarse en estructuras. Para diferentes aplicaciones, se puede desear una superficie mínima o máxima.

En biologia

La membrana interna de la mitocondria tiene una gran superficie debido a los pliegues, lo que permite tasas más altas de respiración celular ( micrografía electrónica ).

El área de superficie de un organismo es importante en varias consideraciones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión . Los animales usan sus dientes para triturar la comida en partículas más pequeñas, aumentando el área de superficie disponible para la digestión. El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades , lo que aumenta enormemente el área disponible para la absorción. Los elefantes tienen orejas grandes , lo que les permite regular su propia temperatura corporal. En otros casos, los animales necesitarán minimizar el área de superficie; por ejemplo, la gente cruza los brazos sobre el pecho cuando hace frío para minimizar la pérdida de calor.

La relación entre el área de la superficie y el volumen (SA: V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que el área de la superficie, lo que limita la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular hasta los espacios intersticiales. oa otras células. De hecho, al representar una celda como una esfera idealizada de radio r , el volumen y el área de la superficie son, respectivamente, V = (4/3) πr 3 y SA = 4 πr 2 . Por tanto, la relación de superficie a volumen resultante es 3 / r . Por tanto, si una celda tiene un radio de 1 µm, la relación SA: V es 3; mientras que si el radio de la celda es de 10 μm, entonces la relación SA: V se convierte en 0,3. Con un radio de celda de 100, la relación SA: V es 0.03. Por lo tanto, el área de la superficie cae abruptamente al aumentar el volumen.

Ver también

  • Longitud del perímetro
  • Teoría BET , técnica para la medición de la superficie específica de materiales.
  • Área esférica
  • Integral de superficie

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Superficie" . MathWorld .
  2. ^ "Paradoja de Schwarz" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2017 .
  3. ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 15 de diciembre de 2011 . Consultado el 24 de julio de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
  4. ^ Rorres, Chris. "Tumba de Arquímedes: Fuentes" . Instituto Courant de Ciencias Matemáticas. Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2006 . Consultado el 2 de enero de 2007 .
  • Yu.D. Burago; VA Zalgaller; LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Área" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

  • Vídeo de superficie en Thinkwell

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