Superficie de revolución

Término matemático

Una porción de la curva x = 2 + cos z rotó alrededor del eje z

Una superficie de revolución es una superficie en el espacio euclidiano creada al girar una curva (la generatriz ) alrededor de un eje de rotación . ^[1]

Ejemplos de superficies de revolución generadas por una línea recta son superficies cilíndricas y cónicas dependiendo de si la línea es paralela al eje o no. Un círculo que gira alrededor de cualquier diámetro genera una esfera de la que entonces es un gran círculo , y si el círculo gira alrededor de un eje que no interseca el interior de un círculo, entonces genera un toro que no se interseca a sí mismo ( un toro de anillo ).

Propiedades

Las secciones de la superficie de revolución hechas por planos a través del eje se denominan secciones meridionales . Cualquier sección meridional puede considerarse generatriz en el plano determinado por ella y el eje. ^[2]

Las secciones de la superficie de revolución formadas por planos que son perpendiculares al eje son círculos.

Algunos casos especiales de hiperboloides (de una o dos hojas) y paraboloides elípticos son superficies de revolución. Estos pueden identificarse como aquellas superficies cuadráticas cuyas secciones transversales perpendiculares al eje son circulares.

Fórmula de área

Si la curva está descrita por las funciones paramétricas x ( t ) , y ( t ) , con t en algún intervalo [ a , b ] , y el eje de revolución es el eje y , entonces el área A _y está dada por la integral

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$

a condición de que x ( t ) no es nunca negativo entre los puntos extremos de una y b . Esta fórmula es el equivalente en cálculo del teorema del centroide de Pappus . ^[3] La cantidad

${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$

proviene del teorema de Pitágoras y representa un pequeño segmento del arco de la curva, como en la fórmula de la longitud del arco . La cantidad 2π x ( t ) es la ruta de (el centroide de) este pequeño segmento, como lo requiere el teorema de Pappus.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y ( t ) nunca sea negativo, el área está dada por ^[4]

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$

Si la curva continua es descrita por la función y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , entonces la integral se convierte en

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$

para la revolución alrededor del eje x , y

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$

por revolución alrededor del y eje x (proporcionado un ≥ 0 ). Estos provienen de la fórmula anterior. ^[5]

Por ejemplo, la superficie esférica con radio unitario es generada por la curva y ( t ) = sin ( t ) , x ( t ) = cos ( t ) , cuando t varía por encima de [0, π] . Por lo tanto, su área es

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$

Para el caso de la curva esférica con radio r , y ( x ) = √ r ² - x ² girado alrededor del eje x

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$

Una superficie mínima de revolución es la superficie de revolución de la curva entre dos puntos dados que minimiza el área de la superficie . ^[6] Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produce esta superficie mínima de revolución. ^[6]

Sólo hay dos superficies mínimas de revolución ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y el catenoide . ^[7]

Expresiones coordinadas

Una superficie de revolución dada al girar una curva descrita por alrededor del eje x puede describirse de manera más simple en coordenadas cilíndricas por . En coordenadas cartesianas, esto produce la parametrización en términos de y como . Si, en cambio, giramos la curva alrededor del eje y, entonces la curva se describe en coordenadas cilíndricas mediante , dando la expresión en términos de los parámetros y . ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle r=f(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (f(z)\cos(\theta ),f(z)\sin(\theta ),z)}$${\displaystyle z=f(r)}$${\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),f(r))}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

Si xey se definen en términos de un parámetro , entonces obtenemos una parametrización en términos de y . Si y son funciones de , entonces la superficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje x se describe en coordenadas cilíndricas mediante la ecuación paramétrica , y la superficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje y se describe mediante . En coordenadas cartesianas, estos (respectivamente) se convierten en y . Las fórmulas anteriores para el área de superficie siguen luego tomando la integral de superficie de la función constante 1 sobre la superficie usando estas parametrizaciones.${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (r,\theta ,z)=(y(t),\theta ,x(t))}$${\displaystyle (r,\theta ,z)=(x(t),\theta ,y(t))}$${\displaystyle (y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t))}$${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),x(t)\sin(\theta ),y(t))}$

Geodésicas en una superficie de revolución

Los meridianos son siempre geodésicos en una superficie de revolución. Otras geodésicas se rigen por la relación de Clairaut . ^[8]

Toroides

Artículo principal: Toroide

Un toroide generado a partir de un cuadrado.

Una superficie de revolución con un agujero en el interior, donde el eje de revolución no se cruza con la superficie, se llama toroide. ^[9] Por ejemplo, cuando se gira un rectángulo alrededor de un eje paralelo a uno de sus bordes, se produce un anillo hueco de sección cuadrada. Si la figura girada es un círculo , entonces el objeto se llama toro .

Aplicaciones de superficies de revolución

El uso de superficies de revolución es esencial en muchos campos de la física y la ingeniería. Cuando ciertos objetos se diseñan digitalmente, revoluciones como estas se pueden usar para determinar el área de la superficie sin el uso de medir la longitud y el radio del objeto que se está diseñando.

Ver también

• Superficie del canal , una generalización de una superficie de revolución
• Cuerno de Gabriel
• Helicoide generalizado
• Limón (geometría) , superficie de revolución de un arco circular
• Superficie de Liouville , otra generalización de una superficie de revolución
• Sólido de revolución
• Esferoide
• Integral de superficie
• Superficie de traslación (geometría diferencial)

Referencias

1. Middlemiss; Marcas; Inteligente. "15-4. Superficies de la revolución". Geometría analítica (3ª ed.). pag. 378. LCCN  68015472 .
2. Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath and Co., pág. 227
3. Thomas, George B. "6.7: Área de una superficie de revolución; 6.11: Los teoremas de Pappus". Cálculo (3ª ed.). págs. 206–209, 217–219. LCCN 69016407 . 
4. Singh, RR (1993). Matemáticas de ingeniería (6 ed.). Tata McGraw-Hill. pag. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.
5. Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (Ed. Alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617 , ISBN 0-87150-341-7
6. Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de revolución" . MathWorld .
7. Weisstein, Eric W. "Catenoid" . MathWorld .
8. Pressley, Andrew. "Capítulo 9 - Geodésicas". Geometría diferencial elemental , 2ª ed., Springer, Londres, 2012, págs. 227–230.
9. Weisstein, Eric W. "Toroide" . MathWorld .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie de la revolución" . MathWorld .
• "Surface de révolution" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).